2022-2023学年湖北省黄冈中学高一下学期（鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校）期中联考模拟数学试题含解析

2022-2023学年湖北省黄冈中学高一下学期（鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校）期中联考模拟数学试题

一、单选题

1．设集合，，则图阴影区域表示的集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用交集的定义即可求解.

【详解】由题意可知，图阴影区域表示的集合是,

所以.

故选：A.

2．已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于

A．−2 B． C． D．2

【答案】D

【分析】先化复数代数形式，再根据纯虚数概念列式求解.

【详解】因为，所以,即，选D.

【点睛】本题考查纯虚数，考查基本分析求解能力，属基础题.

3．“”的一个充分条件可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】结合分数不等式的解，不等式的性质，及指数函数的性质，利用充分条件逐项判断即可.

【详解】由，即，所以

对选项A，，

所以不一定有，故A不正确，

选项B，由，则，

则或，故B项不正确，

选项C，，

则或，故C不正确，

选项D，由知，

所以，成立，故D正确，

故选：D.

4．已知为锐角，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用诱导公式和二倍角余弦公式直接求解即可.

【详解】.

故选：D.

5．渔民出海打鱼，为了保证运回的鱼的新鲜度（以鱼肉内的主甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度．三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质，进而腐败），鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏．已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间t（分）满足的函数关系式为若出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，出海后30分钟，这种鱼失去的新鲜度为40%，那么若不及时处理，打上船的这种鱼大约在多长时间刚好失去50%的新鲜度（    ）

参考数据:

A．33分钟 B．43分钟 C．50分钟 D．56分钟

【答案】A

【分析】由题意可得：，可得的解析式，再令，利用对数的运算性质求解可得答案.

【详解】解：由题意可得：，解得，

故：

令，可得，两边同时去对数，

故分钟，

故选：A

【点睛】本题主要考查指数型函数模型的实际应用，考查学生数学建模的能力与计算能力，属于中档题.

6．若，，，则的值是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用向量数量积的运算律可求得，由此可求得结果.

【详解】，.

故选：B.

7．定义行列式运算：，若将函数的图象向右平移（）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】【解析】 的图象向右平移个单位后，得的图象,因此,又,所以的最小正值为,选D.

8．在中，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意已知条件，直接使用三角形面积公式即可求解.

【详解】因为，所以，

又因为，所以.

故选：D.

二、多选题

9．已知复数，则（    ）

A．的虚部为1 B． C． D．

【答案】BCD

【分析】根据复数的概念，共轭复数的定义、复数模长以及乘积运算求解即可.

【详解】由题意得z的虚部为，，，.

故选：BCD

10．(多选题)有下列四种变换方式，能将的图象变为的图象的是（    ）

A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变）

B．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度

C．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变）

【答案】AB

【分析】根据正弦型函数的图象变换的规律进行逐一判断即可.

【详解】A：的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到的图象，故本选项符合题意；

B：的图象的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到的图象，再向左平移个单位长度，得到的图象，故本选项符合题意；

C：的图象的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到的图象，再向左平移个单位长度，得到的图象，故本选项不符合题意；

D：的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到的图象，故本选项不符合题意，

故选：AB

11．德国数学家狄里克雷（Dirichlet, Peter Gustav Lejeune，1805~1859）在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄里克雷函数.下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是（    ）

A．

B．的值域为

C．任取一个不为零的有理数T，对任意的恒成立

D．，恒成立

【答案】BC

【解析】结合已知定义可写出函数解析式，然后结合函数的性质即可判断．

【详解】解：由题意可得，

由于为无理数，则，故错误；

结合函数的定义及分段函数的性质可知，函数的值域，故正确；

对于C：任取一个不为零的有理数，当为有理数时，为有理数，则

当为无理数时，为无理数，则，综上可得对任意的恒成立，故C正确；

对于D：若，时，，所以，，则，故D错误；

故选：．

【点睛】本题主要考查了函数的定义及函数的性质的应用，解题的关键是正确理解已知定义，属于基础题．

12．已知函数满足：当时，，当时；当时，（，且）.若函数的图象上关于原点对称的点至少有3对，则（    ）

A．为周期函数

B．的值域为

C．实数的取值范围为

D．实数的取值范围为

【答案】BC

【分析】根据对数函数的图象与性质，结合函数的周期性和函数的图象，逐项判定，即可求解.

【详解】根据题意，依次分析选项：

对于A中，当时，不是周期函数，所以A错误；

对于B中，当时，，此时函数的值域为，

所以函数的值域为，所以B正确；

对于C中，当时，，且当时，，

作出函数在上的部分图象关于原点对称，

若函数的图象上关于原点对称的点至少有3对，

则函数的图象与所作的图象至少有三个交点，

必有，解得，所以C正确，D不正确.

故选：BC.

三、填空题

13．已知函数的最小值为（为自然对数的底数），则________.

【答案】

【分析】根据的最小值为，得到的值，然后分别计算和的值，得到答案.

【详解】函数，

当时，单调递减，当时，单调递增，

因为最小值为，所以

解得，所以.

即

所以，，

所以

故答案为：.

【点睛】本题考查根据分段函数的最值求参数，求分段函数的值，属于简单题.

14．已知是锐角的外接圆圆心，是最大角，若，则的取值范围为________.

【答案】

【分析】利用平面向量的运算，求得，由此求得的取值范围.

【详解】设是中点，根据垂径定理可知，依题意，即，利用正弦定理化简得.由于，所以，即.由于是锐角三角形的最大角，故，故.

【点睛】本小题主要考查平面向量加法、数量积运算，考查正弦定理，考查三角形的内角和定理等知识，综合性较强，属于中档题.

15．已知，则___________.

【答案】/

【分析】由差的正弦公式化简即可得出.

【详解】因为，所以，

整理可得，即.

故答案为：.

16．设是内部一点，且，则与的面积之比为________________.

【答案】

【分析】先作出草图，然后分析出的位置，先考虑长度的比值，最后即可得到面积的比值.

【详解】设为的中点，如图所示，连接，则.又，所以，即为的中点，且，即与的面积之比为.

【点睛】任意三角形中，若为中点，这里可以根据三角形法则或者平行四边形法则得到：.

四、解答题

17．计算

（1）计算：；

（2）计算：

【答案】(1) 10 (2)1

【解析】（1）利用有理指数幂的运算性质化简（2）直接利用对数式的运算性质化简运算．

【详解】（1）原式=

=

=2.5-1+8+0.5=10.

（2）原式==

==.

【点睛】本题考查了指数式的运算性质和对数式的运算性质，解答的关键是熟记有关运算性质，属于容易题．

18．已知函数，将其图像向右平移个单位，再将其图像上每一点的横坐标变为原来的倍，再将每一点的纵坐标变为原来的倍，得到函数的图像

（1）求的最小正周期和对称中心；

（2）求在上的值域.

【答案】(1) , ,(2).

【分析】(1)利用三角函数的图像变换,求解得到再计算最小正周期与对称中心即可.

(2)利用的范围得出的范围,再结合正弦函数的图像求值域即可.

【详解】（1）根据题意

故的最小正周期,

令,解得,故的对称中心为.

（2）当时,,

,

【点睛】本题主要考查了正弦函数的图像变换以及根据定义域求值域的问题等.属于基础题型.

19．已知向量，，，设函数．

(1)求函数的最小正周期；

(2)求函数在上的最大值和最小值．

【答案】(1)

(2)在上的最大值和最小值分别为，

【分析】（1）利用数量积的坐标运算及二倍角的正弦公式，结合辅助角公式及三角函数的周期公式即可求解；

（2）根据（1）的结论及三角函数的性质即可求解.

【详解】（1）因为，，，

所以

,取为锐角．

函数的最小正周期为.

（2）由得，取为锐角．

因为,

所以.

当时，取得最小值为；

当时，取得最大值为．

所以函数在上的最大值和最小值分别为，．

20．如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击

(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里

(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船

【答案】(1)两船相距海里.

(2)巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.

【分析】（1）在中，解三角形得，， 在中，由余弦定理求得.

（2）在中，解三角形得，，得到，在中，由正弦定理求得，结合图形知巡逻艇的追赶方向.

【详解】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时，

由题意知

在中，

由余弦定理得

所以

在中， 由正弦定理得，即

所以（舍去）

所在

又

在中，

由余弦定理得

，

故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里.

（2）当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船，

则

在中，由正弦定理得：

则

所以，

在中，由正弦定理得：

则，故 （舍）

故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.

21．某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β

（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值

（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大

【答案】（1）124m.（2）55m.

【详解】(1)由及AB＋BD＝AD，得，解得H＝＝124.

因此，算出的电视塔的高度H是124m.

(2)由题设知d＝AB，得tanα＝.

由AB＝AD－BD＝，得tanβ＝，

所以tan(α－β)＝，

当且仅当d＝，即d＝＝55时，上式取等号．所以当d＝55时，tan(α－β)最大．因为0<β<α<，则0<α－β<，所以当d＝55时，α－β最大．故所求的d是55m.

22．求证：函数在区间上是减函数．

【答案】证明见解析

【分析】利用函数单调性的定义即可求证.

【详解】设，且，

则,

，且，

又，

,

,即

，

故函数在区间是减函数.