2023-2024学年湖北省恩施州高级中学四校联盟高二上学期期中联考数学试题含答案

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命题学校：利川市第一中学
本试卷共4页, 22小题, 满分150分, 考试用时120分钟.
一、单选题：本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．
1．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2. 设集合，则（ ）
A．B．C． D．
3. 已知直线, 互相垂直，则的值为（ ）
A．2 B．1或-3 C．-3 D． 0或2
4. “=2”是“函数在区间上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
5. 已知，则（ ）
A． B． C． D．
6. 已知，则（ ）
A. B． C． D．
7. 已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点M，N与点B，C不重合），设，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
8. 平面内有四条平行线，相邻两条平行线的间距均为2，在每条直线上各取一点围成矩形，则该矩形面积的最小值是（ ）
A. B. 16 C. D. 18
二、多选题：本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分．在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分．
9. 若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的单调递增区间是 B．不等式的解集是
C．函数的图象关于对称 D．函数的值域是
11. 已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为，平均数为;去掉的两个数据的方差为，平均数为﹔原样本数据的方差为，平均数为，若=，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C．剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数
D. 剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数
12. 在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．点为正方形内一点，当平面时，的最大值为
C．过点，，的平面截正方体所得的截面周长为
D．当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为
三、填空题：本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分．
13. 平面向量与的夹角为135°，已知，，则= .
14. 点到直线 ( 为任意实数)的距离的最大值是 .
15. 设函数，若函数恰有4个零点，,,,，且，则的值为 .
16. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且,则的取值范围是 .
四、解答题：本题共 6 小题, 共 70 分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤．
17.(10分) 的三个顶点是，，，求：
（1）边BC上的中线所在直线的方程；
（2）边BC上的高所在直线的方程；
18.（12分）在平面直角坐标系中，已知三点.
（1）若点在线段上运动，求直线的斜率的取值范围；
（2）若直线经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍，求直线的方程.
19.（12分） 一个袋子中有4个红球,6个绿球, 采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.
（1）求第二次取到绿球的概率;
（2）如果是个红球, 6个绿球, 已知取出的2个球都是绿球的概率为，那么是多少?
20.（12分）记的内角的对边分别为，已知．
（1）求A；
（2）若，，求的面积．
21.（12分）如图1，已知平面四边形BCMN是矩形，AD//BC，，将四边形ADMN沿AD翻折，使平面ADMN平面BCDA，再将沿着对角线AC翻折，得到，设顶点在平面上的投影为O.
图1 图2 图3
（1）如图2，当时，若点在MN上，且DM=1，，证明：平面并求AB.
（2）如图3，当时，若点O恰好落在的内部（不包括边界），求二面角的余弦值的取值范围.
22.（12分）如图，在八面体中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，二面角与二面角的大小都是，，．
（1）证明：平面平面；
（2）设为的重心，是否在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求到平面的距离，若不存在，说明理由．