2023-2024学年湖北省恩施州四校联盟高二上学期期中联考数学试题(含解析 )

这是一份2023-2024学年湖北省恩施州四校联盟高二上学期期中联考数学试题(含解析 )，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.复数z=1+2ii在复平面内对应的点位于
( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.设集合A=xx2-x-6≥0，B=xlgx>0，则A∩B=( )
A. -2,3B. 3,+∞
C. -∞,-2∪1,+∞D. 1,+∞
3.已知直线l1:x+ay-a=0和直线l2:ax-(2a-3)y-1=0，若l1⊥l2，则a的值为
( )
A. 2B. -3C. 0或2D. 1或-3
4.“a=2”是“函数f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函数”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知a=1312,b=lg1213,c=lg312，则
( )
A. c>b>aB. b>c>aC. a>b>cD. b>a>c
6.已知sinx-π6=23，则sin2x+π6=( )
A. 19B. 29C. 79D. -59
7.已知点G是▵ABC的重心，过点G作直线分别与AB,AC两边交于M,N两点(点M,N与点B,C不重合)，设AB=xAM，AC=yAN，则12x-1+12y-1的最小值为
( )
A. 1B. 1+ 22C. 2D. 1+2 2
8.平面内有四条平行线，相邻两条平行线的间距均为2，在每条直线上各取一点围成矩形，则该矩形面积的最小值是( )
A. 9 3B. 16C. 7 5D. 18
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.若{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A. b+c，b，b-cB. a，a+b，a-b
C. a+b，a-b，cD. a+b，a+b+c，c
10.已知函数f(x)=lg3x2-2x，则下列结论正确的是
( )
A. 函数f(x)的单调递增区间是[1,+∞)B. 函数f(x)的值域是R
C. 函数f(x)的图象关于x=1对称D. 不等式f(x)<1的解集是(-1,3)
11.已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为s12，平均数为x1;去掉的两个数据的方差为s22，平均数为x2﹔原样本数据的方差为s2，平均数为x，若x=x2，则下列说法正确的是
( )
A. x=x1
B. 15s2=14s12+s22
C. 剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数
D. 剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数
12.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则
( )
A. 异面直线DD1与B1F所成角的余弦值为55
B. 点P为正方形A1B1C1D1内一点，当DP//平面B1EF时，DP的最小值为322
C. 过点D1，E，F的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面周长为213+2
D. 当三棱锥B1-BEF的所有顶点都在球O的表面上时，球O的表面积为6π
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.平面向量a与b的夹角为135∘，已知a=(-1,1)，b=2，则a-b=______．
14.点P-3,-1到直线l:1+3λx+1+λy-2-4λ=0(λ为任意实数)的距离的最大值是_______．
15.设函数fx=sin2x+π6x∈0,3π2，若函数y=fx-89恰有4个零点，x1，x2，x3，x4，且x116.在锐角▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=2-2csA，则a2bc的取值范围是_______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10.0分)
▵ABC的三个顶点是A4,0，B6,8，C0,2，求：
(1)边BC上的中线所在直线的方程；
(2)边BC上的高所在直线的方程．
18.(本小题12.0分)
在平面直角坐标系中，已知三点A-3,4,B3,2,C1,0．
(1)若点D在线段AB上运动，求直线CD的斜率的取值范围；
(2)若直线l经过点A，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，求直线l的方程．
19.(本小题12.0分)
一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．
(1)求第二次取到绿球的概率；
(2)如果是n个红球，6个绿球，已知取出的2个球都是绿球的概率为512，那么n是多少?
20.(本小题12.0分)
记▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知asinB+ 3bcsA=0．
(1)求A；
(2)若a=3，sinBsinC=14，求▵ABC的面积．
21.(本小题12.0分)
如图1，已知平面四边形BCMN是矩形，AD//BC，BC=kAB (k>0)，将四边形ADMN沿AD翻折，使平面ADMN⊥平面BCDA，再将▵ABC沿着对角线AC翻折，得到▵AB1C，设顶点B1在平面ABCD上的投影为O．

(1)如图2，当k= 2时，若点B1在MN上，且DM=1，AB>1，证明：AB1⊥平面B1CD，并求AB的长度．
(2)如图3，当k= 3时，若点O恰好落在▵ACD的内部(不包括边界)，求二面角B1-AC-D的余弦值的取值范围．
22.(本小题12.0分)
如图，在八面体PABCDQ中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面PAD//平面QBC，二面角P-AB-C与二面角Q-CD-A的大小都是30∘，AP=CQ= 3，PD⊥AB．
(1)证明：平面PCD//平面QAB；
(2)设G为▵QBC的重心，是否在棱PA上存在点S，使得SG与平面ABCD所成角的正弦值为 3020，若存在，求S到平面ABCD的距离，若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】由复数除法求得 z 后，可得对应点坐标从而确定其象限．
解： z=1+2ii=(1+2i)(-i)i⋅(-i)=2-i ，对应点坐标为 (2,-1) ，在第四象限，
故选：D．
2.【答案】B
【解析】【分析】首先解不等式求出集合 A 、 B ，再根据交集的定义计算可得．
解：由 x2-x-6≥0 ，即 x+2x-3≥0 ，解得 x≥3 或 x≤-2 ，
所以 A=xx2-x-6≥0=-∞,-2∪3,+∞ ，
由 lgx>0 ，即 lgx>lg1 ，解得 x>1 ，所以 B=xlgx>0=1,+∞ ，
所以 A∩B=3,+∞ ．
故选：B
3.【答案】C
【解析】【分析】由两直线垂直的充要条件建立方程求解即可．
解：由 l1⊥l2 ，得 1⋅a+a⋅-(2a-3)=-2a2+4a=0 ，
解得 a=0 ，或 a=2 ．
故选：C．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性的性质是解决本题的关键．
结合函数的单调性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】
解：∵函数f(x)=|x-a|在区间[a,+∞)上为增函数，
∴要使函数f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函数，则a≤2，
∴“a=2”是“函数f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函数”的充分不必要条件．
故选：A．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了比较指对数的大小，应用了指对数运算及性质，属于简单题．
利用指对数的运算，结合指数、对数的性质即可判断大小关系．
【解答】
解：01，c=lg312=-lg32<0，
∴b>a>c，
故选：D．
6.【答案】A
【解析】【分析】由余弦二倍角公式和诱导公式计算．
解：由题意 cs(2x-π3)=1-2sin2(x-π6)=1-2×(23)2=19 ， cs(π3-2x)=cs(2x-π3)=19 ，
所以 sin(2x+π6)=sin[π2-(π3-2x)]=cs(π3-2x)=19 ，
故选：A．
7.【答案】A
【解析】【分析】令 D 是 BC 的中点，连接 AD ，易得 AG=13(yAN+xAM) ，根据三点共线的推论有 x+y=3 ，应用基本不等式求目标式最小值，注意取值条件．
解：若 D 是 BC 的中点，连接 AD ，点G是 ▵ABC 的重心，则 AD 必过 G ，且 AG=23AD ，
由题设 AG=23AD=13(AC+AB)=13(yAN+xAM) ，又 M,G,N 共线，
所以 x+y=3 ，即 2x-1+2y-1=4 ，注意 x,y∈(1,+∞) ，
由 12x-1+12y-1=14(12x-1+12y-1)(2x-1+2y-1)=14(2+2y-12x-1+2x-12y-1)
≥14(2+2 2y-12x-1⋅2x-12y-1)=1 ，当且仅当 2y-12x-1=2x-12y-1 ，即 x=y=32 时等号成立，
故目标式最小值为1．
故选：A
8.【答案】B
【解析】【分析】在平行线找到能够成矩形的四点，设角并表示出矩形的边长，由矩形面积公式和三角函数性质求最值，注意等号成立条件即可．
解：如图 ABCD 为矩形，设 ∠EAB=θ ， θ∈0,π2 ，则 AB=2sinθ ， AD=4csθ ，
所以矩形 ABCD 的面积为 S=2sinθ×4csθ=16sin2θ ，
∵θ∈0,π2 ， ∴0<2θ<π ，
∴0所以该矩形面积的最小值为16．
故选：B．
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
利用共面向量定理直接求解．
本题考查共面向量的判断，考查共面向量定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
【解答】
解：{a,b,c}构成空间的一个基底，
对于A，(b+c)+(b-c)=2b，∴b+c，b，b-c共面，故A正确；
对于B，(a+b)+(a-b)=2a，∴a，a+b，a-b共面，故B正确；
对于C，a+b，a-b，c不能共面，故C错误；
对于D，a+b+c=a+b+c，∴a+b，a+b+c，c共面，故D正确．
故选：ABD．
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查复合函数，涉及对数函数性质，二次函数性质，属于中档题．
【解答】
对于A:因为fx=lg3x为增函数，所以求f(x)=lg3x2-2x的单调递增区间即求t=x2-2x的单调递增区间，即1,+∞.又对数函数的定义域有x2-2x>0，解得x∈2,+∞.故函数f(x)的单调递增区间是2,+∞.A错误；
对于B：t=x2-2x，由对数函数的定义域解得：x∈-∞,0⋃2,+∞，则y=lg2t，由于t>0，所以y∈R，即函数f(x)的值域是R，B正确；
对于C:t=x2-2x，关于x=1对称，所以函数f(x)的图象关于x=1对称，故C正确；
对于D:lg3x2-2x<1，即x2-2x>0x2-2x<3，解得：-1,0⋃2,3，故D错误；
故选：BC．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】对于A选项，求出剩下的28个样本数据的和、去掉的两个数据和、原样本数据和，列出方程即可；
对于B选项，写出s12和s22的表达式即可；
对于C选项，根据中位数定义判断即可；
对于D选项，根据分位数定义判断即可．
解：A.剩下的28个样本数据的和为28x1，去掉的两个数据和为2x2，原样本数据和为30x，所以28x1+2x2=30x，因为x=x2，所以x=x1，故 A选项正确；
B.设x1因为x1=x2=x，所以s22=12[(x1-x1)2+(x30-x1)2]，所以28s12+2s22=x1-x12+x2-x12+x3-x12+⋯+x29-x12+x30-x12=30s2，
所以15s2=14s12+s22，故 B选项正确；
C. 剩下28个数据的中位数等于原样本数据的中位数，故C选项错误；
D.去掉2个数据，则剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数，故D正确．
故选：ABD．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了异面直线所成角，面面平行，截面问题，外接球，属于较难题．
A项通过平行线求异面直线所成角即可判断；B项先求点P的轨迹，再求DP的最小值即可判断；C项先由面面平行的性质作出截面再求截面的周长即可判断；D项先找外接球的球心再求球的表面积即可判断．
【解答】
解：对于A项，
∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1//BB1，
∴在Rt△BB1F中，∠BB1F即为异面直线DD1与B1F所成的角，
∴cs∠BB1F=BB1B1F=2 12+22=2 55 ，
∴异面直线DD1与B1F所成角的余弦值为2 55，故A项错误；
对于B项，如图，
取A1D1的中点M，D1C1的中点N，连接MN，DM，DN，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，易证DM // B1F，DN // B1E，
∵DM⊄平面B1EF，B1F⊂平面B1EF，DN⊄平面B1EF，B1E⊂平面B1EF，
∴DM //平面B1EF，DN //平面B1EF，
又∵DM∩DN=D，DM、DN⊂平面DMN，
∴平面DMN //平面B1EF，
又∵DP //平面B1EF，P∈平面A1B1C1D1，
∴P的轨迹为线段MN，
∴在△DMN中，过D作DP⊥MN，垂足为P，此时DP取得最小值，
在Rt△DD1M中，D1M=1，D1D=2，∴DM= 5，
在Rt△DD1N中，D1N=1，D1D=2，∴DN= 5，
在Rt△MD1N中，D1N=1，D1M=1，∴MN= 2，
∴如图，
在Rt△DPN中，DP= DN2-(MN2)2= 5-12=3 22，故B项正确；
对于C项，如图，
过点D1、E、F的平面截正方体ABCD—A1B1C1D1所得的截面图形为五边形D1MEFN，
则：∵平面ADD1A1//平面BCC1B1，平面D1EF⋂平面ADD1A1=D1M ，平面D1EF⋂平面BCC1B1=NF ，∴D1M //NF，同理可得D1N //ME，
如图，以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D—xyz，设AM=m，CN=n，
则M(2,0,m)，N(0,2,n)，E(2,1,0)，F(1,2,0)，D1(0,0,2)，
∴ME=(0,1,-m),D1N=(0,2,n-2),D1M=(2,0,m-2),NF=(1,0,-n)，
∵D1M // NF，D1N //ME，
∴-2m=n-2-2n=m-2⇒m=23n=23,
∴AM=23,CN=23，
∴A1M=43,C1N=43，
∴在Rt△D1A1M中，D1A1=2，A1M=43，∴D1M=2 133，同理：D1N=2 133，
在Rt△MAE中，AM=23，AE=1，∴ME= 133，同理：FN= 133，
在Rt△EBF中，BE=BF=1，∴EF= 2，
∴D1M+D1N+ME+FN+EF=2×2 133+2× 133+ 2=2 13+ 2，
即：过点D1，E，F的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面周长为2 13+ 2，故C项正确；
对于D项，
如图所示，取EF的中点O1，
则O1E=O1F=O1B，过O1作OO1 //BB1，且使得OO1=12BB1=1，
则O为三棱锥B1-BEF的外接球的球心，所以OE为外接球的半径，
∵在Rt△EBF中，EF= 2，
∴R2=OE2=OO12+(EF2)2=12+( 22)2=32，
∴S球O=4πR2=6π，故D项正确．
故选BCD．
13.【答案】 10
【解析】【分析】首先求出a，根据数量积的定义求出a⋅b，再根据a-b= a-b2计算可得．
解：因为a=(-1,1)，所以a= -12+12= 2，
又a与b的夹角为135∘且b=2，
所以a⋅b=a⋅bcs135∘= 2×2×- 22=-2，
所以a-b= a-b2= a2-2a⋅b+b2= 10．
故答案为： 10
14.【答案】2 5
【解析】【分析】首先求出直线l过定点1,1，令A1,1，求出AP，即可得解．
解：直线l:1+3λx+1+λy-2-4λ=0即3x+y-4λ+x+y-2=0，
令3x+y-4=0x+y-2=0，解得x=1y=1，即直线l恒过定点1,1，令A1,1，
则AP= -3-12+-1-12=2 5，
所以点P-3,-1到直线l的距离的最大值是2 5．
故答案为：2 5
15.【答案】4π
【解析】【分析】设t=2x+π6，则t∈[π6,19π6]，求出y=sint(t∈[π6,19π6]的图象与直线y=89有4个交点时对应的t1+2t2+2t3+t4的值，再转化为x1+2x2+2x3+x4的值．
解：设t=2x+π6，则t∈[π6,19π6]，
作出函数y=sinx(x∈[π6,19π6])的图象及直线y=89，如图，它们有4个交点时，
由正弦函数对称性知t1+t2=π，t2+t3=3π，t3+t4=5π，
所以t1+2t2+2t3+t4=9π，
又t1+2t2+2t3+t4=2x1+π6+2(2x2+π6)+2(2x3+π6)+2x4+π6=2(x1+2x2+2x3+x4)+π，
所以x1+2x2+2x3+x4=4π，
故答案为：4π．
16.【答案】[45,1615)
【解析】【分析】由已知求得csA=35，sinA=45，由正弦定理化边为角，a2bc=sin2AsinBsinC，由锐角三角形得出π2-A解：因为sinA=2-2csA，所以sin2A+cs2A=(2-2csA)2+cs2A=1，
5cs2A-8csA+3=0，因为A为锐角，0a2bc=sin2AsinBsinC=sin2AsinBsin(B+A)=sin2AsinB(sinBcsA+csBsinA)
=sin2AcsAsin2B+sinAsinBcsB=2sin2AcsA(1-cs2B)+sinAsin2B
=2sin2AsinAsin2B-csAcs2B+csA=2sin2A-cs(A+2B)+csA，
三角形为锐角三角形，A+B>π20π-Aπ2，π+A<3π2，
cs(π+A)=cs(π-A)=-csA，A+2B=π时，cs(A+2B)=-1，
所以2csA<-cs(A+2B)+csA≤1+csA，
所以2sin2A1+csA≤a2bc<2sin2A2csA，即45≤a2bc<1615，
故答案为：[45,1615)．
17.【答案】解：(1)由题设，BC的中点坐标为(6+02,8+22)=(3,5)，则中线的斜率5-03-4=-5，
则边BC上的中线所在直线的方程为y=-5⋅(x-4)=-5x+20，
所以BC上的中线所在直线的方程为5x+y-20=0．
(2)由题设，边BC的斜率为8-26-0=1，则边BC高的斜率为-1，且过A4,0，
则边BC上的高所在直线的方程为y=-x+4，
所以BC上的高所在直线的方程x+y-4=0．

【解析】【分析】(1)求BC的 中点坐标并求直线斜率，应用点斜式求直线方程；
(2)根据已知求边BC高的斜率，应用点斜式求直线方程．
18.【答案】解：(1)如下示意图，
当点运动到点时，直线的斜率为kBC=2-03-1=1，
当点运动到点时，直线的斜率为kAC=4-0-3-1=-1，
由图知，若点D在线段AB上运动，则直线CD的斜率的取值范围为-∞,-1∪1,+∞．
(2)当截距为均为0时，直线方程为3y+4x=0，符合题意．
当截距不为0时，不妨设直线方程为x2b+yb=1，又直线l经过点A，
故-32b+4b=1，即b=52，所以直线方程为x+2y-5=0．
综上，所求直线方程为3y+4x=0或x+2y-5=0．

【解析】【分析】(1)两点式求出BC,AC的斜率，数形结合求点D在线段AB上运动，求直线CD的斜率的取值范围；
(2)讨论截距是否为0，结合截距式及所过的点求直线方程即可
19.【答案】解：(1)从10个球中不放回地随机取出2个共有10×9=90种，即nΩ=90，
设事件A=“两次取出的都是红球”，则nA=4×3=12，
设事件B=“第一次取出红球，第二次取出绿球”，则nB=6×4=24，
设事件C=“第一次取出绿球，第二次取出红球”，则nC=6×4=24，
设事件D=“两次取出的都是绿球”，则nD=6×5=30，
且事件A,B,C,D两两互斥．
∴第二次取到绿球的概率为PB∪D=30+2490=35．
(2)由题意PD=nDnΩ=512，则nΩ=125nD=72，又nΩ=n+6n+5=72，
∴n=3或-14，n∈N*，即n=3．

【解析】【分析】(1)根据互斥事件的概率、古典概型的概率求法求第二次取到绿球的概率；
(2)由题意有nDnΩ=512(D为两次取出的都是绿球事件)，结合nΩ=n+6n+5和已知列方程求参数即可．
20.【答案】解：(1)因为asinB+ 3bcsA=0，
由正弦定理得sinAsinB+ 3sinBcsA=0，
因为B∈0,π，可得sinB≠0，所以sinA+ 3csA=0，即tanA=- 3．
因为A∈0,π，所以A=2π3．
(2)解法1：由正弦定理asinA=bsinB=csinC，所以bsinB=csinC=3 32=2 3，
可得b=2 3sinB，c=2 3sinC，
因为a=3，sinBsinC=14，所以bc=2 32×sinBsinC=3，
所以▵ABC的面积为S=12bcsinA=12×3× 32=3 34．
解法2：因为sinBsinC=14，且B=π-A-C=π3-C，
所以sinπ3-CsinC=14，
可得sinπ3-CsinC=( 32csC-12sinC)sinC= 32sinCcsC-12sin2C
= 34sin2C-12⋅1-cs2C2= 34sin2C+14cs2C-14=12cs(2C-π3)-14=14，
所以cs2C-π3=1，
因为C∈0,π3，所以2C-π3∈-π3,π3，可得2C-π3=0，所以C=π6，
因此B=π3-C=π6，所以b=c，
因为a=3，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccsA，即9=b2+b2-2b2cs2π3=3b2，
解得b= 3，即b=c= 3，
所以▵ABC的面积为S=12× 3× 3×sin2π3=3 34．

【解析】【分析】(1)根据题意，利用正弦定理化简得sinA+ 3csA=0，得到tanA=- 3，即可求解；
(2)解法1：由正弦定理得到b=2 3sinB，c=2 3sinC，结合题意，求得bc=3，进而求得▵ABC的面积．
解法2：根据题意，求得C=π6，得到b=c，令余弦定理列出方程求得b=c= 3，进而求得▵ABC的面积．
21.【答案】解：(1)∵点B1在平面ABCD上的射影为O且点B1在MN上，
∴点O恰好落在边AD上，
∴平面AB1D⊥平面ACD，
又CD⊥AD，平面AB1D∩平面ACD=AD
∴CD⊥平面AB1D，又AB1⊂平面AB1D，
∴AB1⊥CD，
又∵AB1⊥CB1，CD∩CB1=C，CD⊂平面B1CD，CB1⊂平面B1CD，
∴AB1⊥平面B1CD，B1D⊂平面B1CD，
∴AB1⊥B1D
设AB=x，BC=AD= 2x，则NB1= x2-1，
∵AB1⊥B1D，
∴▵ANB1∼▵B1MD，
∴B1D=MDB1N⋅AB1=x x2-1，
在Rt△B1CD中，x2+(x x2-1)2=( 2x)2，解得x= 2，
∴AB= 2．
(2)作BF⊥AC，交AC于E，交AD于F，如图：

当点O恰好落在▵ACD的内部(不包括边界)时，点O恰好在线段EF上，
又∵B1E⊥AC，EF⊥AC，
∴∠B1EF为二面角B1-AC-D的平面角，
当k= 3时，由▵AEF∼▵CEB，可得EFEB=13，且B1E=EB，∴cs∠B1EF=EOB1E∈0,13，
故二面角B1-AC-D的余弦值的取值范围为0,13.

【解析】【分析】(1)由面面垂直的判定定理得到CD⊥平面AB1D，从而有AB1⊥CD，又AB1⊥CB1，AB1⊥平面B1CD得证；设AB=x，由▵ANB1∼▵B1MD可求出B1D，在Rt△B1CD中，根据勾股定理解出AB的长度；
(2)作BF⊥AC，交AC于E，交AD于F，当点O恰好落在▵ACD的内部(不包括边界)，点O恰好在线段EF上，∠B1EF为二面角B1-AC-D的平面角，由此能求出二面角B1-AC-D的余弦值的取值范围．
22.【答案】解：(1)因为ABCD为正方形，所以AB⊥AD，又PD⊥AB，AD∩PD=D，AD,PD⊂平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，所以∠PAD为二面角P-AB-C的平面角，即∠PAD=30∘，
又平面PAD//平面QBC，AB//CD，
所以CD⊥平面QBC，即∠QCB为二面角Q-CD-A的平面角，即∠QCB=30∘，
如图建立空间直角坐标系，则B2,0,0，C2,2,0，P0,32, 32，Q2,12,- 32，
所以PC=2,12,- 32，AQ=2,12,- 32，即PC=AQ，所以PC//AQ，
因为PC⊄平面QAB，AC⊂平面QAB，所以PC//平面QAB，
又AB//CD，CD⊄平面QAB，AB⊂平面QAB，所以CD//平面QAB，
因为PC∩CD=C，PC,CD⊂平面PCD，
所以平面PCD//平面QAB．
(2)由点S在AP上，设点S0,3m, 3m，其中0所以GS=-2,3m-56, 3m+ 36，平面ABCD的法向量可以为n=0,0,1，
设SG与平面ABCD所成角为θ，
则sinθ=GS⋅nGS⋅n= 3m+ 36 4+3m-562+ 3m+ 362= 3020，
即40m+162=4+3m-562+ 3m+ 362，化简得84m2+52m-11=0，
解得m=16或m=-1114(舍去)，
所以存在点S0,12, 36满足条件，且点S到平面ABCD的距离为 36.

【解析】【分析】(1)依题意可得AB⊥平面PAD，再由面面平行及AB//CD，可得CD⊥平面QBC，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明PC//AQ，即可得到PC//平面QAB，再证明CD//平面QAB，即可得证；
(2)设点S0,3m, 3m，其中0