2022-2023学年湖北省部分普通高中联盟高一下学期期中联考数学试题含解析

2022-2023学年湖北省部分普通高中联盟高一下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．若复数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先求出，进而求出.

【详解】因为，所以，

所以

故选：B

2．如图，在中，D是BC上的点，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由向量的加法和减法原则求解即可.

【详解】.

故选：C.

3．设角的终边经过点，那么等于（    ）

A． B．- C． D．-

【答案】D

【分析】利用任意角三角函数的定义，分别计算和，再根据诱导公式对化简，代入和的值，即可求出结果．

【详解】∵角的终边经过点， =5，

∴=， ，

∴.

故选:D．

4．已知向量，，若，则锐角α为（    ）

A．30° B．60° C．45° D．75°

【答案】A

【分析】利用向量平行列方程，即可求出锐角α.

【详解】因为，所以sin2α，∴sin α＝±．

又α为锐角，所以α＝30°．

故选：A

5．为了得到函数的图像，可以将函数的图像上（    ）

A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位

B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位

C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位

D．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位

【答案】B

【分析】由函数图像的伸缩变换和平移变化规律求解.

【详解】由可知，函数的图像每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图像，再向右平移个单位，得函数的图像.

故选：B

6．在复平面内，点分别对应复数，则（    ）

A． B．1 C． D．i

【答案】D

【分析】根据复数几何意义，求得，再结合复数的除法的运算法则，即可求解.

【详解】由点和分别对应复数，

可得，，

所以.

故选：D.

7．八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中给出下列结论，其中正确的结论为（    ）

A．与的夹角为

B．

C．

D．在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）

【答案】C

【分析】结合正八边形的性质以及向量的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】，所以的夹角为，A选项错误.

由于四边形不是平行四边形，所以，

是等腰直角三角形，所以，，

所以，C选项正确.

结合图像可知在上的投影向量与的方向相反，所以D选项错误.

故选：C

【点睛】8．在中，角、、的对边分别为、、，若，，则是（    ）

A．钝角三角形 B．等边三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【分析】利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状.

【详解】在中，由正弦定理得，而，

∴ ，即，

又∵、为的内角，∴，

又∵，∴，

∴由余弦定理得：，∴，

∴为等边三角形.

故选：B.

二、多选题

9．下列命题中，不正确的是（    ）

A．是一个复数 B．形如的数一定是虚数

C．两个复数一定不能比较大小 D．若，则

【答案】BCD

【分析】根据复数的概念逐项分析即得.

【详解】由复数的定义可知A命题正确；

形如的数，当时，它不是虚数，故B命题错误；

若两个复数全是实数，则可以比较大小，故C命题错误；

两个虚数不能比较大小，故D命题错误．

故选：BCD．

10．已知向量，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】设的坐标，利用向量模的坐标公式及关系，建立方程组解出来即可.

【详解】设，

因为，，

所以，

解得或，

故或．

故选：AC.

11．函数的部分图像如图所示，则（    ）

A． B．

C．函数在上单调递增 D．函数图像的对称轴方程为

【答案】AD

【分析】利用图像判断周期，求出，即可判断选项A；利用特殊点求出，即可判断选项B；得到函数的解析式，分别求出单调区间和对称轴方程，判断选项C、D.

【详解】由图像知函数的周期，解得：，所以A对；

由五点对应法得，因为，所以，所以B错误，所以．

当时，函数单调递减.取，得的一个单调递减区间为，所以C错，

函数图像的对称轴方程为，即，所以D对．

故选：AD

12．下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若．则存在唯一实数，使得

D．若点P为所在平面上一点，若，则面积与面积之比为1：4

【答案】BD

【分析】A、C注意零向量的情况；B由相等向量传递性判断；D由确定的位置，进而判断面积关系.

【详解】A：当为零向量时不一定成立，错误；

B：由条件知：，正确；

C：为零向量时中实数不唯一，错误；

D：由，易知：为平行于的中位线中点，

则且，故面积与面积之比为1：4，正确.

故选：BD

三、填空题

13．已知弧长为的弧所对圆周角为，则这条弧所在圆的半径为____________．

【答案】1

【分析】由弧度制公式求解即可得出答案.

【详解】已知弧长为的弧所对圆周角为，

则所对的圆心角为，

，，

故答案为：1.

14．已知均为锐角，则____________．

【答案】/

【分析】根据正切函数的和角公式，可得，由角的取值范围，可得答案.

【详解】因为，锐角，，所以．

故答案为：.

15．兰州黄河楼，位于黄河兰州段大拐弯处，是一座讲述黄河故事的人文地标，是传承和记录兰州文化的精神产物，展现了甘肃浓厚的历史文化底蕴及黄河文化的独特魅力．某同学为了估算该楼的高度，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距90米的C、D两观测点，且C、D与黄河楼底部B在同一水平面上，在C、D两观测点处测得黄河楼顶部A的仰角分别为，并测得，则黄河楼的估计高度为_____________米．

【答案】90

【分析】根据仰角分别得出,，在中由余弦定理求解即可.

【详解】在中，，所以，

在，，所以，即，

在中，，，

由余弦定理，，

即，解得或（舍去），

即黄河楼的估计高度为米.

故答案为：

16．如图，在等边三角形ABC中，，点N为AC的中点，点M是边CB（包括端点）上的一个动点，则的最大值为___________.

【答案】3

【分析】以AB中点为原点，边所在的直线为轴，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可得到答案.

【详解】以AB中点为原点，边所在的直线为轴，边的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，则，，，AC中点.

设，则，

.

∵在直线上，∴，

∴，

∵，∴当时，的最大值为3.

故答案为：3.

四、解答题

17．已知复数，其中i为虚数单位．

(1)若z是纯虚数，求实数m的值；

(2)若m＝2，设，试求a＋b的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由实部等于0得到实数的值；

（2）把复数整理成的形式，根据复数相等的条件得到的值进而求出．

【详解】（1）由题意可得：，且，；

（2）若m＝2，则，

所以，

，，.

18．已知，，.

（1）求向量，的夹角；

（2）求.

【答案】（1） （2）

【解析】利用平面向量数量积的分配律求出,然后代入夹角公式求解即可;

结合中的值,利用平面向量数量积的性质：进行运算，求出的值,然后再开方即可.

【详解】∵,∴，

∵，,∴,

解得,由平面向量数量积的夹角公式得,

∴,

∵∴.

（2）因为，

所以

∴.

【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其夹角公式;考查运算求解能力;属于中档题、常考题型.

19．已知，为锐角，，.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）已知和的值，可求和的值，诱导公式化简后求值；

（2），展开后代入已知数据即可求值.

【详解】（1），为锐角，，∴，

，∴，则，

则

（2）

20．如图，在菱形中，.

(1)若，求的值；

(2)若，求.

【答案】(1)1

(2)9

【分析】（1）利用向量的线性运算求，结合平面向量的基本定理求得，进而求得.

（2）先求得，然后利用转化法求得.

【详解】（1）因为，

所以，

所以，

所以，

故.

（2），

，

为菱形，，

所以，

.

21．如图，某地计划在一海滩处建造一个养殖场，射线为海岸线，，现用长度为1千米的网依托海岸线围成一个的养殖场

(1)已知，求的长度

(2)问如何选取点，才能使得养殖场的面积最大，并求其最大面积

【答案】(1)千米；

(2)千米时，取得最大值平方千米.

【分析】（1）运用正弦定理可求出的长度；（2）根据面积公式和余弦定理可求.

【详解】（1）在中，由正弦定理可得：

，代入数据得

解之：千米；

（2）在中，由余弦定理可得

令可得，

所以当且仅当时取得

又

千米时，取得最大值平方千米.

22．已知向量，，，函数．

(1)若，求在上的单调递减区间；

(2)若关于的方程在上有3个解，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)．

【分析】(1)化简得，由正弦函数的性质可得函数的单调递减区间为，进而可得在上的单调递减区间；

(2)由题意可得，从而可得，结合题意可得，求解即可.

【详解】（1）解：依题意，，

当时，．

令，

得，

当时，，

故在上的单调递减区间为；

（2）解：依题意，，

则或，

则或．

则，

则，解得，

即的取值范围为．