数学2 圆的对称性随堂练习题

2　圆的对称性

基础过关全练

知识点1　圆的对称性

1.下列说法中,不正确的是 (　　)

A.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形

B.圆绕着它的圆心旋转任意角度,都能与自身重合

C.圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个

D.圆的每一条直径都是它的对称轴

2.如图,正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上,小圆与正方形MNEF各边仅有一个交点,AB与CD是大圆的直径,AB⊥CD,CD⊥MN,则图中阴影部分的面积是(　　)

A.4π　　　　B.3π　　　　C.2π　　　　D.π

知识点2　圆心角、弧、弦之间的关系

3.下列命题是真命题的是 (　　)

A.相等的弦所对的弧相等

B.圆心角相等,其所对的弦相等

C.在同圆或等圆中,圆心角不相等,所对的弦不相等

D.弦相等,它所对的圆心角相等

4.如图所示,在☉O中,,∠A=30°,则∠B=(　　)

A.150°　　　　B.75°　　　　C.60°　　　　D.15°

5.观察下列图形及相应的推理,其中正确的是　(　　)

∵AB=AC,∴.①　　

∵∠AOB=∠COD,∴.②

∵,∴AB=CD.③

∵AB=CD,∴∠AOB=∠COD.④

A.①②　　　　B.③④　　　　C.①③　　　　D.②④

6.(2022广东广州七中期中)如图,已知AB、CD是☉O的直径,,∠BOD=32°,则∠COE的度数为　　　　度. 

7.如图,AB是☉O的弦,C、D为弦AB上的两点,且OC=OD,延长OC、OD分别交☉O于点E、F.求证:.

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8.(2022北京顺义期末,7,)如图,在☉O中,如果,则下列关于弦AB与弦AC之间的关系正确的是              (　　)

A.AB=AC　　　  　B.AB=2AC

C.AB>2AC　　　　D.AB<2AC

9.(2018贵州毕节中考,19,)如图,AB是☉O的直径,C、D为半圆的三等分点,CE⊥AB于点E,则∠ACE的度数为　　　　. 

10.(2022辽宁大连普兰店期末,19,)如图,在☉O中,,∠BOC

=120°.求证:△ABC是等边三角形.

11.(2018黑龙江牡丹江中考,22,)如图,在☉O中,,AD⊥OC于D.求证:AB=2AD.

素养探究全练

12.【推理能力】把一张圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,求所对的圆心角的度数.

13.【推理能力】如图,在☉O中,C,D是直径AB上的两点,且AC=BD,MC⊥AB,ND⊥AB,点M,N在☉O上.

(1)求证:.

(2)若点C,D分别为OA,OB的中点,则成立吗?请说明理由.

答案全解全析

基础过关全练

1.D　圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,所以A说法正确;

圆是一个特殊的中心对称图形,它绕着圆心旋转任意角度都能与自身重合,所以B说法正确;

圆的对称轴是过圆心的直线,这样的直线有无数条,对称中心只有一个,是圆心,所以C说法正确;

直径是线段而不是直线,不能说直径是圆的对称轴,所以D说法错误.故选D.

2.D　利用圆和正方形的对称性,

可知阴影部分的面积恰为大圆面积的四分之一,

即S阴影=π×22=π.

3.C　A项、B项、D项中的结论若要成立,都必须以“在同圆或等圆中”为前提条件,所以A项、B项、D项错误.故选C.

4.B　∵在☉O中,,∴AB=AC,∴∠B=∠C,

又∠A=30°,∴∠B==75°.

5.C　∵在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等,故①正确;③中,

∵,∴,即,∴AB=CD,故③正确;②和④中,不是在同圆或等圆中,故不正确.

6.64

解析　∵∠BOD=32°,∴∠AOC=32°,∵,

∴∠AOE=∠AOC=32°,

∴∠COE=∠AOC+∠AOE=32°+32°=64°,

故答案为64.

7.证明　∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC.

∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,

∴∠AOC=∠BOD,∴.

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8.D　如图,取弧AB的中点D,连接AD,BD,则,

∵,∴,∴AD=BD=AC.

在△ABD中,AD+BD>AB,∴AC+AC>AB,即AB<2AC.故选D.

9.30°

解析　如图,连接OC.

∵AB是直径,,

∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°,

∵OA=OC,∴△AOC是等边三角形,∴∠A=60°,

∵CE⊥OA,∴∠AEC=90°,∴∠ACE=90°-60°=30°.

10.证明　∵,∴∠AOB=∠AOC,∵∠BOC=120°,

∴∠AOB+∠AOC=360°-120°=240°,∴∠AOB=∠AOC=120°,

∴∠AOB=∠AOC=∠BOC,∴AB=AC=BC.∴△ABC是等边三角形.

11.证明　如图,延长AD交☉O于点E,连接OA,OE.

∵OC⊥AD,OA=OE,∴∠EOC=∠AOC,AD=DE,

∴,AE=2AD,

∵,∴,∴AB=AE,∴AB=2AD.

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12.解析　如图,连接BO,过点O作OE⊥AB于点E.

由题意可得EO=BO,AB∥DC,∴∠BOD=∠EBO=30°.∴∠BOC=180°-30°=150°.

故所对的圆心角的度数是150°.

13.解析　(1)证明:如图,连接OM,ON.

∵OA=OB,AC=BD,∴OA-AC=OB-BD,∴OC=OD.

∵MC⊥AB,ND⊥AB,∴∠OCM=∠ODN=90°,

又∵OM=ON,∴Rt△OCM≌Rt△ODN,∴∠AOM=∠BON,∴.

(2)成立.理由如下:

∵C为OA的中点,∴AC=OC=MO,

∴在Rt△MCO中,cos∠COM=,∴∠AOM= 60°.

同理可得∠BON=60°,

∴∠MON=180°-∠AOM-∠BON=60°,

∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°,∴.