高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程课后练习题

2.4 圆的方程（精讲）

    考点一 求圆的方程

【例1】（2022·江苏）分别根据下列条件，求圆的方程：

(1)过点，圆心为；

(2)与两坐标轴都相切，且圆心在直线上；

(3)过点，，且圆心在x轴上；

(4)过点，和原点．

【答案】(1)

(2)或.

(3)

(4)

【解析】(1)由题意，圆过点，圆心为，可得半径，所以圆的方程为.

(2)由题意，圆与两坐标轴都相切，且圆心在直线上，

可设圆心为，则，解得或，

若，则圆心为，半径为，圆的方程为；

若，则圆心为，半径为，圆的方程为，

所以圆的方程为或.

(3)由题意，圆过点，，且圆心在x轴上可设圆心为，

由，可得，解得，

即圆心坐标为，半径为，

所以圆的方程为.

(4)由题意，圆过点，和原点，设圆的方程为，

由，解得，所以圆的方程为.

【一隅三反】

1．（2022·贵州·高二学业考试）圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程为.故选：B

2．（2020·北京十五中高二期中）经过三个点的圆的方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由已知得，分别在原点、轴、轴上，，

经过三点圆的半径为，

圆心坐标为的中点，即，圆的标准方程为.故选：C.

3．（2022·江苏·高二单元测试）求满足下列条件的圆的标准方程．

(1)圆心在x轴上，半径为5，且过点；

(2)经过点、，且以线段AB为直径；

(3)圆心在直线y=-2x上，且与直线y=1-x相切于点；

(4)圆心在直线x-2y-3=0上，且过点，．

【答案】(1)或

(2)

(3)

(4)

【解析】(1)设圆的标准方程为．

因为点在圆上，所以，解得a=-2或a=6，

所以所求圆的标准方程为或．

(2)设圆的标准方程为，由题意得，；

又因为点在圆上，所以．

所以所求圆的标准方程为．

(3)设圆心为．

因为圆与直线y=1-x相切于点，所以，

解得a=1．所以所求圆的圆心为，半径．

所以所求圆的方程为．

(4)设点C为圆心，因为点C在直线上，故可设点C的坐标为．

又该圆经过A、B两点，所以．

所以，解得a=-2，

所以圆心坐标为，半径．故所求圆的标准方程为．

考点二 圆的判断

【例2-1】（2022·全国·高二课时练习）下列二元二次方程中，哪些表示圆？如果是圆，求出它的圆心和半径：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5).

【答案】答案见解析；

【解析】(1)因为的二次项的系数不相等，所以方程不表示圆.

(2)由可化为，所以方程表示圆心为，半径为的圆.

(3)因为不是二元二次方程，所以方程不表示圆.

(4)由可化为，所以方程表示圆心为，半径为的圆.

(5)由可化为，所以方程不表示圆.

【例2-2】（2022·江苏·高二单元测试）若方程表示一个圆，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】因为方程表示一个圆

所以，，即，解得或.

所以，实数的取值范围是 故答案为：

【一隅三反】

1．（2022·全国·高二课时练习）若方程表示圆，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【解析】由，整理可得，

因为其表示圆，所以，解得.故答案为：

2．（2021·安徽省六安中学高二期中（理））已知方程所表示的圆中，当圆面积最小时，直线的倾斜角= ________.

【答案】

【解析】方程所表示的圆为，可得当时面积最小，所以直线为，倾斜角为故答案为：

3．（2022·江苏·高二课时练习）下列各方程是否表示圆？若表示圆，求其圆心的坐标和半径．

(1)；

(2)；

(3)．

【答案】(1)是圆，圆心坐标为(2，0)，半径为2；

(2)不表示圆，表示一个点(2，1)；

(3)不表示任何曲线.

【解析】(1)由，可得，所以圆心坐标为(2，0)，半径为2；

(2)由，可得，所以该方程不表示圆，表示一个点(2，1)；

(3)由，可得，所以该方程不表示任何曲线.

考点三 与对称相关的圆的方程

【例3】（2022·全国·高二）与圆C：关于直线对称的圆的方程为（          ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】圆C：的圆心，半径．

设点关于直线的对称点为，

则，所以圆C关于直线的对称圆的方程为，故选:C．

【一隅三反】

1．（2022·江苏·高二）圆：关于直线对称的圆的方程为（       ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】表示以为圆心，以1为半径的圆．

设关于直线对称的点为，则有，解得：，，

所以：关于直线对称的圆的方程为．故选：A．

2．（2022·全国·高二课时练习）（多选）圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】由题意可知圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为（a，－a），

则，解得a＝0或a＝1，

∴所求圆的方程为或,

故选：AD．

3．（2022·全国·高二课时练习）（多选）圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】由题意可知圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为（a，－a），

则，解得a＝0或a＝1，

∴所求圆的方程为或,

故选：AD．

4．（2022·江苏·高二）（多选）圆，则（       ）

A．关于点对称 B．关于直线对称

C．关于直线对称 D．关于直线对称

【答案】ABC

【解析】对于A，由圆的方程知其圆心为，则圆关于点对称，A正确；

对于B，由A知其圆心在轴上，则圆关于轴对称，即关于对称，B正确；

对于C，过圆心，圆关于直线对称，C正确；

对于D，不过圆心，圆不关于直线对称，D错误.故选：ABC.

考点四  点与圆的位置关系

【例4-1】（2022·重庆市）若点在圆内，则实数的取值范围为____________.

【答案】

【解析】由题意得点在圆内，解得所以实数的取值范围为

故答案为：

【例4-2】（2021·山东·高二阶段练习）已知两条直线，的交点在圆的外部，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】由题意，联立，

所以两条直线，的交点，

因为交点在圆的外部，

所以，解得．

故答案为：．

【一隅三反】

1．（2022·全国·高二课时练习）若点（1，1）在圆的外部，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知，解得或a＞3，则实数a的取值范围是，

故选：C.

2．（2022·河南）已知点在圆的外部，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由点在圆外知，即，解得，

又为圆，则，

解得，故.故选：D.

3．（2022·四川·泸县五中高二期中（文））已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意，表示圆

故，即或

点A（1，2）在圆C：外

故，即

故实数m的取值范围为或

即

故选：A