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北京师大二附中西城实验学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(解析版)
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这是一份北京师大二附中西城实验学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(解析版)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空愿，解答题等内容，欢迎下载使用。
北京师大二附中西城实验学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷（解析版）
一、选择题（每题2分，共16分）
1．随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（1，2） D．（1，﹣2）
3．关于方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
4．将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝2（x+1）2+3 B．y＝2（x﹣1）2+3
C．y＝2（x+1）2﹣3 D．y＝2（x﹣1）2﹣3
5．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．40°
6．将一元二次方程x2﹣6x+5＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝4 B．（x+3）2＝4 C．（x﹣3）2＝5 D．（x+3）2＝5
7．A（﹣，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
8．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），且对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：
①ac＞0；②16a+4b+c＝0；③若m＞n＞0，则x＝1+m时的函数值大于x＝1﹣n时的函数值；④点（﹣，0）一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
二、填空愿（每题2分，共16分）
9．在平面直角坐标系xOy中，点P（2，﹣3）关于原点O对称的点的坐标是 ．
10．若x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣1＝0的一个解，则m＝ ．
11．二次函数y＝x2﹣8x+7的对称轴为直线 ．
12．如图，△ABC中，∠C＝90°．将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A'BC'．若BC′＝3，AC＝4，则AA'＝ ．
13．若抛物线y＝2x2﹣4x+k与x轴有且只有一个公共点，则k的值为 ．
14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC中，已知A（4，0），∠OAB＝120°，对角线AC、BO交点D．将菱形OABC绕点O逆时针方向旋转，每次旋转60°，则旋转2次后，点D的坐标是 ，旋转2022次后．点D的坐标是 ．
三、解答题（共10小题，满分0分）
17．解方程：
（1）（x﹣5）2﹣9＝0；
（2）x2+2x﹣6＝0．
18．已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值．
19．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）作出将△ABC绕点O顺时针旋转180°后的△A2B2C2；
（3）求S△ABC．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于2，求k的取值范围．
21．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x
……
﹣1
0
2
3
4
……
y
……
8
3
m
0
3
……
（1）求m的值和这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）；
（3）当1＜x≤4时，直接写出y的取值范围．
22．如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，射线AB绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）若四边形AECF的面积为36，DE＝2，直接写出AE的长．
23．随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型的农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．河南某地某种粮大户，去年种植优质小麦360亩，平均每亩收益440元．计划今年多承包一些土地，预计原来种植的360亩小麦，每亩收益不变，新承租的土地，每增加一亩，其每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．（1亩＝0.06666667公顷）
（1）该大户今年应承租多少亩土地，才能使总收益达到182400元？
（2）该大户今年应承租多少亩土地，可以使总收益最大，最大收益是多少？
24．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点A旋转一定的角度得到Rt△ADE，且点E恰好落在边BC上．
（1）求证：AE平分∠CED；
（2）连接BD，求证：∠DBC＝90°．
25．已知△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后，点A的对应点为点D，点C的对应点为点E，直线DE与直线AC交于点F，连接FB．
（1）如图1，当∠BAC＜45°时，
①求证：DF⊥AC；
②求∠DFB的度数；
（2）如图2，当∠BAC＞45°时，
①请依意补全图2；
②用等式表示线段FC，FB，FE之间的数量关系，并证明．
26．在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点C，若△ABC是以AB为一条直角边，且满足AC＞AB的直角三角形，则称点C为线段AB的“从属点”．已知点A的坐标为（0，1）．
（1）如图1，若点B为（2，1），在点C1（0，﹣2），C2（2，2）．C3（1，0），C4（0，3）中，线段AB的“从属点”是 ；
（2）如图2，若点B为（4，0），点P在直线y＝﹣2x﹣3上，且点P为线段AB的“从属点”，求点P的坐标；
（3）点B为x轴上的动点，直线y＝4x+b（b≠0）与x轴，y轴分别交于M，N两点，若存在某个点B，使得线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”，直接写出b的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题（每题2分，共16分）
1．随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
2．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（1，2） D．（1，﹣2）
【分析】由二次函数顶点式求解．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+1，
∴抛物线顶点坐标为（2，1），
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
3．关于方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【解答】解：∵x2﹣3x﹣1＝0，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4．将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝2（x+1）2+3 B．y＝2（x﹣1）2+3
C．y＝2（x+1）2﹣3 D．y＝2（x﹣1）2﹣3
【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．
【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，0），
∴平移后抛物线的顶点为（1，3），
∴新抛物线解析式为y＝2（x﹣1）2+3，
故选：B．
【点评】考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得多新抛物线的顶点是解决本题的突破点．
5．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．40°
【分析】由旋转的角度易得∠ACA′＝20°，若AC⊥A'B'，则∠A′、∠ACA′互余，由此求得∠A′的度数，由于旋转过程并不改变角的度数，因此∠BAC＝∠A′，即可得解．
【解答】解：由题意知：∠ACA′＝20°，
若AC⊥A'B'，则∠A′+∠ACA′＝90°，
∴∠A′＝90°﹣20°＝70°，
由旋转的性质知：∠BAC＝∠A′＝70°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，关键知道旋转图形的对应角相等．难度不大．
6．将一元二次方程x2﹣6x+5＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝4 B．（x+3）2＝4 C．（x﹣3）2＝5 D．（x+3）2＝5
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2﹣6x+5＝0，
x2﹣6x＝﹣5，
x2﹣6x+9＝﹣5+9，
（x﹣3）2＝4，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
7．A（﹣，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【分析】抛物线的对称性，增减性，以及对称性中的离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，得出y1、y2、y3的大小关系．
【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象开口向下，对称轴为x＝2，点A（﹣，y1），B（1，y2）在对称轴的左侧，由y随x的增大而增大，有y1＜y2，
由x＝﹣，x＝1，x＝4离对称轴x＝2的远近可得，y1＜y3，y3＜y2，因此有y1＜y3＜y2，
故选：B．
【点评】考查二次函数的图象和性质，抛物线的增减性、对称性是常考的知识点．
8．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），且对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：
①ac＞0；②16a+4b+c＝0；③若m＞n＞0，则x＝1+m时的函数值大于x＝1﹣n时的函数值；④点（﹣，0）一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【分析】利由抛物线的位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（4，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的对称性和二次函数的性质可对③进行判断；抛物线的对称性得出点（﹣2，0）的对称点是（4，0），由c＝﹣8a 即可得出﹣＝4，则可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴ac＜0，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣2，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（4，0），
∴16a+4b+c＝0，故②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴横坐标是1﹣n的点的对称点的横坐标为1+n，
∵若m＞n＞0，
∴1+m＞1+n，
∴x＝1+m时的函数值小于x＝1﹣n时的函数值，故③错误；
∵抛物线的对称轴为﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴抛物线为y＝ax2﹣2ax+c，
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），
∴4a+4a+c＝0，即8a+c＝0，
∴c＝﹣8a，
∴﹣＝4，
∵点（﹣2，0）的对称点是（4，0），
∴点（﹣，0）一定在此抛物线上，故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空愿（每题2分，共16分）
9．在平面直角坐标系xOy中，点P（2，﹣3）关于原点O对称的点的坐标是 （﹣2，3） ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【解答】解：点P（2，﹣3）关于原点O对称的点的坐标是：（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握对应点横纵坐标的关系是解题关键．
10．若x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣1＝0的一个解，则m＝ 1 ．
【分析】把x＝3代入一元二次方程得到关于m的方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝3代入方程x2﹣3x+m﹣1＝0得9﹣9+m﹣1＝0，
解得m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11．二次函数y＝x2﹣8x+7的对称轴为直线 x＝4 ．
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣8x+7＝（x﹣4）2﹣9，
∴该函数的对称轴是直线x＝4，
故答案为：x＝4．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12．如图，△ABC中，∠C＝90°．将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A'BC'．若BC′＝3，AC＝4，则AA'＝ 5 ．
【分析】由旋转的性质可得AB＝A'B，∠ABA'＝60°，BC＝BC'＝3，可证△ABA'是等边三角形，可得AB＝AA'，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A'BC'，
∴AB＝A'B，∠ABA'＝60°，BC＝BC'＝3，
∴△ABA'是等边三角形，
∴AB＝AA'，
∵∠C＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∴AA'＝AB＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
13．若抛物线y＝2x2﹣4x+k与x轴有且只有一个公共点，则k的值为 2 ．
【分析】由抛物线y＝2x2﹣4x+k与x轴只有一个公共点可知，对应的一元二次方程2x2﹣4x+k＝0，根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，由此即可得到关于k的方程，解方程即可求得k的值．
【解答】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴Δ＝0，
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2k＝0；
∴k＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式的和抛物线与x轴的交点个数的关系，属于中考常考题型．
14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为 （﹣2，0） ．
【分析】根据抛物线的对称轴结合点P的横坐标，即可求出点Q的横坐标，此题得解．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，点P的坐标为（4，0），
∴点Q的横坐标为1×2﹣4＝﹣2，
∴点Q的坐标为（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，牢记抛物线的对称性是解题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是 3 ．
【分析】连接PC．首先依据直角三角形斜边上中线的性质求出PC＝2，然后再依据三角形的三边关系可得到PM≤PC+CM，故此可得到PM的最大值为PC+CM．
【解答】解：如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝4，
根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，
∴A′P＝PB′，
∴PC＝A′B′＝2，
∵CM＝BM＝1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查的是旋转的性质，直角三角形的性质、三角形的三边关系，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC中，已知A（4，0），∠OAB＝120°，对角线AC、BO交点D．将菱形OABC绕点O逆时针方向旋转，每次旋转60°，则旋转2次后，点D的坐标是 （﹣3，） ，旋转2022次后．点D的坐标是 （3，） ．
【分析】求出点D的坐标，菱形每次逆时针旋转60°，相当于对点D每次逆时针旋转60°，根据周期性，可求出点D的坐标．
【解答】解：如下图所示，作BE⊥x轴交于点E，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB，点D是OB的中点，
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝OB＝4，
∵∠OAB＝120°，
∴∠BAE＝180°﹣∠OAB＝180°﹣120°＝60°，
∵BE⊥x轴，
∴BE＝AB＝×4＝2，AE＝AB＝×4＝2，
∴OE＝OA+AE＝4+2＝6，
∴点B的坐标为（6，2），OB＝＝4，
∵点D是OB的中点，
∴点D的坐标为（3，），OD＝OB＝×4＝2，
菱形每次逆时针旋转60°，相当于对点D每次逆时针旋转60°，
根据图形变化可得，
旋转1次D1坐标为（0，2），
旋转2次D2坐标为（﹣3，），
旋转3次D3坐标为（﹣3，﹣），
旋转4次D4坐标为（0，﹣2），
旋转5次D5坐标为（3，﹣），
旋转6次D6坐标为（3，），
……，
∴旋转2次后，点D的坐标是（﹣3，），
坐标的变化具有周期性，
2022÷6＝337，
∴旋转2022次后．点D的坐标是（3，）
故答案为：（﹣3，）；（3，）．
【点评】本题考查了菱形的性质、点的坐标变化等知识点，求出点D的坐标，再根据其周期性变化求出坐标是解本题的关键，综合性较强，难度较大．
三、解答题（共10小题，满分0分）
17．解方程：
（1）（x﹣5）2﹣9＝0；
（2）x2+2x﹣6＝0．
【分析】（1）方程整理后，利用直接开平方法求出解即可；
（2）方程利用公式法求出解即可．
【解答】解：（1）方程整理得：（x﹣5）2＝9，
开方得：x﹣5＝±3，即x﹣5＝3，或x﹣5＝﹣3，
解得：x1＝8，x2＝2；
（2）这里a＝1，b＝2，c＝﹣6，
∵Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣6）＝28＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
x＝＝＝﹣1±，
解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
18．已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到2a2﹣7a﹣1＝0，则2a2﹣7a＝1，再把a（2a﹣7）+5变形为2a2﹣7a+5，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，
∴2a2﹣7a﹣1＝0，
∴2a2﹣7a＝1，
∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6．
【点评】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
19．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）作出将△ABC绕点O顺时针旋转180°后的△A2B2C2；
（3）求S△ABC．
【分析】（1）首先确定、B、C三点关于x轴的对称点位置，再连接即可；
（2）首先确定、B、C三点关于原点的对称点位置，再连接即可；
（3）利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积，进而可得答案．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）S△ABC＝2×2﹣×2×1﹣×2×1﹣1×1＝．
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣轴对称变换和旋转变换，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于2，求k的取值范围．
【分析】（1）根据根的判别式：Δ＝[﹣（k+4）]2﹣16k＝k2﹣8k+16＝（k﹣4）2≥0，即可得到结论；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝4、x2＝k，根据方程有一根小于2，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+4）]2﹣16k＝k2﹣8k+16＝（k﹣4）2≥0，
∴无论k为任何实数时，此方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2﹣（k+4）x+4k＝0，
∴（x﹣4）（x﹣k）＝0，
∴x1＝4，x2＝k．
∵方程有一根小于2，
∴k＜2，
∴k的取值范围为k＜2．
【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于2，找出关于k的一元一次不等式．
21．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x
……
﹣1
0
2
3
4
……
y
……
8
3
m
0
3
……
（1）求m的值和这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）；
（3）当1＜x≤4时，直接写出y的取值范围．
【分析】（1）设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c，然后把点（0，3），（3，0），（4，3）代入利用待定系数法求得即可；
（2）利用描点法画二次函数图象；
（3）把解析式画出顶点式求得最小值，然后根据图象即可写出y的取值范围．
【解答】解：（1）设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c，
把点（0，3），（3，0），（4，3）代入得，
解得，
故抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3，
把x＝1代入得，y＝1﹣4+3＝0，
∴m＝0；
（2）如图所示：
（3）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴当x＝2时，y有最小值﹣1，
∴当1＜x≤4时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
22．如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，射线AB绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）若四边形AECF的面积为36，DE＝2，直接写出AE的长．
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，求得∠ABF＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形得到 S四边形AFCE＝S正方形ABCD，然后利用正方形的面积公式可得AD，再根据勾股定理求得结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，
∴∠ABF＝90°，
在△ABF与△ADE中，
，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF＝AE，∠BAF＝∠DAE，
∴∠EAF＝∠BAD＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）解：由（1）知，△ABF≌△ADE，
∴S四边形AFCE＝S正方形ABCD＝36，
∴AD＝6，
∴AE＝．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证得△ABF≌△ADE是解题的关键．
23．随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型的农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．河南某地某种粮大户，去年种植优质小麦360亩，平均每亩收益440元．计划今年多承包一些土地，预计原来种植的360亩小麦，每亩收益不变，新承租的土地，每增加一亩，其每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．（1亩＝0.06666667公顷）
（1）该大户今年应承租多少亩土地，才能使总收益达到182400元？
（2）该大户今年应承租多少亩土地，可以使总收益最大，最大收益是多少？
【分析】（1）根据题意设新增麦田x亩，新增每亩的收益为（440﹣2x）元，根据总收益为182400元列出方程，解方程即可；
（2）设新增麦田a亩与总收入y元，根据总收益＝原来土地的收益+新增土地的收益列出y与a的函数关系式，再利用二次函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设该大户今年新增土地x亩，根据题意得：
360×440+x（440﹣2x）＝182400，
解得x1＝100，x2＝120，
此时，360+x＝460或480，
答：该大户今年应承租460或480亩土地，才能使总收益达到182400元；
（2）设该大户今年新增土地a亩，收益为y元，
根据题意得：y＝360×440+a（440﹣2a）
＝158400+440a﹣2a2
＝﹣2（a﹣110）2+182600，
∵﹣2＜0，
∴当a＝110时，才能使总收入最大，最大收益是182600元，
此时，360+110＝470（亩），
答：该大户今年应承租470亩土地，可以使总收益最大，最大收益是182600元．
【点评】本题主要考查了二次函数和一元二次方程的应用，根据已知得出y与a的函数关系式是解题关键．
24．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点A旋转一定的角度得到Rt△ADE，且点E恰好落在边BC上．
（1）求证：AE平分∠CED；
（2）连接BD，求证：∠DBC＝90°．
【分析】（1）由旋转的性质得出AE＝AC，∠C＝∠AED，证出∠C＝∠AEC，则可得出结论；
（2）由旋转的性质得出AE＝AC，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD，证出∠AEC＝∠ADB，则可得出结论．
【解答】证明：（1）∵将Rt△ABC绕点A旋转一定的角度得到Rt△ADE，
∴AE＝AC，∠C＝∠AED，
∴∠C＝∠AEC，
∴∠AED＝∠AEC，
即AE平分∠CED；
（2）如图，
∵将Rt△ABC绕点A旋转一定的角度得到Rt△ADE，
∴AE＝AC，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD，
∴∠AEC＝∠ADB，
∵∠AEC+∠AEB＝180°，
∴∠ADB+∠AEB＝180°，
∵∠DAE＝90°，∠DAE+∠AEB+∠ADE+∠DBE＝360°，
∴∠DBE＝90°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
25．已知△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后，点A的对应点为点D，点C的对应点为点E，直线DE与直线AC交于点F，连接FB．
（1）如图1，当∠BAC＜45°时，
①求证：DF⊥AC；
②求∠DFB的度数；
（2）如图2，当∠BAC＞45°时，
①请依意补全图2；
②用等式表示线段FC，FB，FE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）①由旋转知，∠ABD＝∠ABC＝90°，∠D＝∠A，再用等角的余角相等，判断出∠A+∠AFE＝90°，即可得出结论；
②构造出△BDG≌△BAF，进而判断出△BFG是等腰直角三角形，即可得出结论；
（2）①根据题意直接画出图形，
②同（1）①的方法构造出，△BCG≌△BEF（ASA），得出CG＝EF，BG＝BF，即可得出结论．
【解答】解（1）①由旋转知，∠ABD＝∠ABC＝90°，∠D＝∠A，
∴∠D+∠BED＝90°，
∴∠A+∠BED＝90°，
∵∠BED＝∠AEF，
∴∠A+∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝90°，
∴DF⊥AC；
②如图1，
过点B作BG⊥BF交DF于G，
∴∠FBG＝90°，
由旋转知，∠D＝∠A，BD＝AB，∠ABD＝90°，
∴∠FBG＝∠ABD，
∴∠DBG＝∠ABF，
∴△BDG≌△BAF（ASA），
∴BG＝BF，
∵∠FBG＝90°，
∴∠BFD＝45°；
（2）①如图2所示，
②CF﹣EF＝BF．
过点B作BG⊥BF交AC于G，
∴∠FBG＝90°，
由旋转知，∠C＝∠E，BC＝BE，
∵∠ABC＝90°，
∴∠FBG＝∠ABC，
∴∠CBG＝∠EBF，
∴△BCG≌△BEF（ASA），
∴CG＝EF，BG＝BF，
∵∠FBG＝90°，
∴∠BFD＝45°，
∴FG＝BF，
∵CF＝FG+CG，
∴FG＝CF﹣CG＝CF﹣EF＝BF，
即：CF﹣EF＝BF．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等角的余角相等，等腰直角三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
26．在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点C，若△ABC是以AB为一条直角边，且满足AC＞AB的直角三角形，则称点C为线段AB的“从属点”．已知点A的坐标为（0，1）．
（1）如图1，若点B为（2，1），在点C1（0，﹣2），C2（2，2）．C3（1，0），C4（0，3）中，线段AB的“从属点”是 C1，C2 ；
（2）如图2，若点B为（4，0），点P在直线y＝﹣2x﹣3上，且点P为线段AB的“从属点”，求点P的坐标；
（3）点B为x轴上的动点，直线y＝4x+b（b≠0）与x轴，y轴分别交于M，N两点，若存在某个点B，使得线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）分别按照“从属点”的定义对三个点进行分析即可；
（2）分∠ABP＝90°和∠BAP＝90°两种情况，借助等腰直角三角形的判定和性质求解；
（3）画出图象，分b＞0和b＜0两种情况，分别求出边缘值，从而得到b的取值范围．
【解答】解：（1）C1（0，﹣2），则AC1＝3＞2＝AB，且△ABC为直角三角形，
故C1是线段AB的“从属点”；
C2（2，2），则AC2＝＞2＝AB，且△ABC为直角三角形，
故C2是线段AB的“从属点”；
C3（1，0），则AB不是直角边，故C3不是线段AB的“从属点”；
C4（0，3），AC4＝2＝AB，故C4不是线段AB的“从属点”；
故答案为：C1，C2．
（2）设点P的坐标为（a，﹣2a﹣3 ），
∵点P为线段AB的“从属点”，
①当∠ABP＝90°时，
由题意可知：OA＝OB＝1，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠ABO＝45°，
∴∠OBP＝45°，
过点P作PF⊥y轴，垂足为F，BP交y轴于点E，
可知△OBE和△PEF为等腰直角三角形，
∴OE＝OB＝1，PF＝EF＝﹣a，
∴OF＝1﹣a，
则1﹣a＝2a+3，
解得：a＝﹣，
∴点P的坐标为（﹣，﹣），
此时AP＞AB；
②当∠BAP＝90°时，过点P作PG⊥x轴，垂足为G，AP交x轴于点H，
同理可知：∠OAP＝45°＝∠AHO＝∠PHG，
∴△AOH和△PHG为等腰直角三角形，
∴AO＝HO＝1，PG＝HG＝2a+3，
∴OG＝2a+4，
则﹣2a﹣4＝a，
解得：a＝﹣，
∴点P的坐标为（﹣，﹣），
此时AP＝AH+HP＞AB；
综上，点P的坐标为：（﹣，﹣）或（﹣，﹣）．
（3）如图，AC＝AE＝AB，
由“从属点”的定义可知：线段AB的从属点在射线CC1、EE1、BD上，
当b＞0时，
当点B和原点重合时，若要满足线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”，则点C在线段MN上，
此时点C（﹣1，1），代入y＝4x+b，得：b＝5，
从而当b＞5时，总能找到点B，满足条件，
故b＞5；
当b＜0时，若要满足线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”，
如图，当点E和M重合时，
∵AB＝AE，
∴△ABE为等腰直角三角形，
可得：AO＝EO＝1，即E （1，0），代入y＝4x+b，
得：b＝﹣4，
而当b＞﹣4时，四条射线CC1、DD1、EE1、FF1无法与线段MN产生两个交点，
当b＜﹣4时，总能找到点B，满足条件，
此时b＜﹣4，
综上，b的取值范围是：b＞5或b＜﹣4．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象和性质，直角三角形的性质，“从属点”的新定义，等腰直角三角形的判定和性质，解题时要把握好“从属点”的定义，结合一次函数图象进行分析，难度较大．
北京师大二附中西城实验学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷（解析版）
一、选择题（每题2分，共16分）
1．随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（1，2） D．（1，﹣2）
3．关于方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
4．将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝2（x+1）2+3 B．y＝2（x﹣1）2+3
C．y＝2（x+1）2﹣3 D．y＝2（x﹣1）2﹣3
5．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．40°
6．将一元二次方程x2﹣6x+5＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝4 B．（x+3）2＝4 C．（x﹣3）2＝5 D．（x+3）2＝5
7．A（﹣，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
8．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），且对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：
①ac＞0；②16a+4b+c＝0；③若m＞n＞0，则x＝1+m时的函数值大于x＝1﹣n时的函数值；④点（﹣，0）一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
二、填空愿（每题2分，共16分）
9．在平面直角坐标系xOy中，点P（2，﹣3）关于原点O对称的点的坐标是 ．
10．若x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣1＝0的一个解，则m＝ ．
11．二次函数y＝x2﹣8x+7的对称轴为直线 ．
12．如图，△ABC中，∠C＝90°．将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A'BC'．若BC′＝3，AC＝4，则AA'＝ ．
13．若抛物线y＝2x2﹣4x+k与x轴有且只有一个公共点，则k的值为 ．
14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC中，已知A（4，0），∠OAB＝120°，对角线AC、BO交点D．将菱形OABC绕点O逆时针方向旋转，每次旋转60°，则旋转2次后，点D的坐标是 ，旋转2022次后．点D的坐标是 ．
三、解答题（共10小题，满分0分）
17．解方程：
（1）（x﹣5）2﹣9＝0；
（2）x2+2x﹣6＝0．
18．已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值．
19．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）作出将△ABC绕点O顺时针旋转180°后的△A2B2C2；
（3）求S△ABC．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于2，求k的取值范围．
21．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x
……
﹣1
0
2
3
4
……
y
……
8
3
m
0
3
……
（1）求m的值和这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）；
（3）当1＜x≤4时，直接写出y的取值范围．
22．如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，射线AB绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）若四边形AECF的面积为36，DE＝2，直接写出AE的长．
23．随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型的农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．河南某地某种粮大户，去年种植优质小麦360亩，平均每亩收益440元．计划今年多承包一些土地，预计原来种植的360亩小麦，每亩收益不变，新承租的土地，每增加一亩，其每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．（1亩＝0.06666667公顷）
（1）该大户今年应承租多少亩土地，才能使总收益达到182400元？
（2）该大户今年应承租多少亩土地，可以使总收益最大，最大收益是多少？
24．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点A旋转一定的角度得到Rt△ADE，且点E恰好落在边BC上．
（1）求证：AE平分∠CED；
（2）连接BD，求证：∠DBC＝90°．
25．已知△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后，点A的对应点为点D，点C的对应点为点E，直线DE与直线AC交于点F，连接FB．
（1）如图1，当∠BAC＜45°时，
①求证：DF⊥AC；
②求∠DFB的度数；
（2）如图2，当∠BAC＞45°时，
①请依意补全图2；
②用等式表示线段FC，FB，FE之间的数量关系，并证明．
26．在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点C，若△ABC是以AB为一条直角边，且满足AC＞AB的直角三角形，则称点C为线段AB的“从属点”．已知点A的坐标为（0，1）．
（1）如图1，若点B为（2，1），在点C1（0，﹣2），C2（2，2）．C3（1，0），C4（0，3）中，线段AB的“从属点”是 ；
（2）如图2，若点B为（4，0），点P在直线y＝﹣2x﹣3上，且点P为线段AB的“从属点”，求点P的坐标；
（3）点B为x轴上的动点，直线y＝4x+b（b≠0）与x轴，y轴分别交于M，N两点，若存在某个点B，使得线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”，直接写出b的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题（每题2分，共16分）
1．随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
2．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（1，2） D．（1，﹣2）
【分析】由二次函数顶点式求解．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+1，
∴抛物线顶点坐标为（2，1），
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
3．关于方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【解答】解：∵x2﹣3x﹣1＝0，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4．将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝2（x+1）2+3 B．y＝2（x﹣1）2+3
C．y＝2（x+1）2﹣3 D．y＝2（x﹣1）2﹣3
【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．
【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，0），
∴平移后抛物线的顶点为（1，3），
∴新抛物线解析式为y＝2（x﹣1）2+3，
故选：B．
【点评】考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得多新抛物线的顶点是解决本题的突破点．
5．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．40°
【分析】由旋转的角度易得∠ACA′＝20°，若AC⊥A'B'，则∠A′、∠ACA′互余，由此求得∠A′的度数，由于旋转过程并不改变角的度数，因此∠BAC＝∠A′，即可得解．
【解答】解：由题意知：∠ACA′＝20°，
若AC⊥A'B'，则∠A′+∠ACA′＝90°，
∴∠A′＝90°﹣20°＝70°，
由旋转的性质知：∠BAC＝∠A′＝70°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，关键知道旋转图形的对应角相等．难度不大．
6．将一元二次方程x2﹣6x+5＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝4 B．（x+3）2＝4 C．（x﹣3）2＝5 D．（x+3）2＝5
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2﹣6x+5＝0，
x2﹣6x＝﹣5，
x2﹣6x+9＝﹣5+9，
（x﹣3）2＝4，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
7．A（﹣，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【分析】抛物线的对称性，增减性，以及对称性中的离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，得出y1、y2、y3的大小关系．
【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣2）2+k的图象开口向下，对称轴为x＝2，点A（﹣，y1），B（1，y2）在对称轴的左侧，由y随x的增大而增大，有y1＜y2，
由x＝﹣，x＝1，x＝4离对称轴x＝2的远近可得，y1＜y3，y3＜y2，因此有y1＜y3＜y2，
故选：B．
【点评】考查二次函数的图象和性质，抛物线的增减性、对称性是常考的知识点．
8．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），且对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：
①ac＞0；②16a+4b+c＝0；③若m＞n＞0，则x＝1+m时的函数值大于x＝1﹣n时的函数值；④点（﹣，0）一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【分析】利由抛物线的位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（4，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的对称性和二次函数的性质可对③进行判断；抛物线的对称性得出点（﹣2，0）的对称点是（4，0），由c＝﹣8a 即可得出﹣＝4，则可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴ac＜0，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣2，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（4，0），
∴16a+4b+c＝0，故②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴横坐标是1﹣n的点的对称点的横坐标为1+n，
∵若m＞n＞0，
∴1+m＞1+n，
∴x＝1+m时的函数值小于x＝1﹣n时的函数值，故③错误；
∵抛物线的对称轴为﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴抛物线为y＝ax2﹣2ax+c，
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），
∴4a+4a+c＝0，即8a+c＝0，
∴c＝﹣8a，
∴﹣＝4，
∵点（﹣2，0）的对称点是（4，0），
∴点（﹣，0）一定在此抛物线上，故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空愿（每题2分，共16分）
9．在平面直角坐标系xOy中，点P（2，﹣3）关于原点O对称的点的坐标是 （﹣2，3） ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【解答】解：点P（2，﹣3）关于原点O对称的点的坐标是：（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握对应点横纵坐标的关系是解题关键．
10．若x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣1＝0的一个解，则m＝ 1 ．
【分析】把x＝3代入一元二次方程得到关于m的方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝3代入方程x2﹣3x+m﹣1＝0得9﹣9+m﹣1＝0，
解得m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11．二次函数y＝x2﹣8x+7的对称轴为直线 x＝4 ．
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣8x+7＝（x﹣4）2﹣9，
∴该函数的对称轴是直线x＝4，
故答案为：x＝4．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12．如图，△ABC中，∠C＝90°．将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A'BC'．若BC′＝3，AC＝4，则AA'＝ 5 ．
【分析】由旋转的性质可得AB＝A'B，∠ABA'＝60°，BC＝BC'＝3，可证△ABA'是等边三角形，可得AB＝AA'，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A'BC'，
∴AB＝A'B，∠ABA'＝60°，BC＝BC'＝3，
∴△ABA'是等边三角形，
∴AB＝AA'，
∵∠C＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∴AA'＝AB＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
13．若抛物线y＝2x2﹣4x+k与x轴有且只有一个公共点，则k的值为 2 ．
【分析】由抛物线y＝2x2﹣4x+k与x轴只有一个公共点可知，对应的一元二次方程2x2﹣4x+k＝0，根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，由此即可得到关于k的方程，解方程即可求得k的值．
【解答】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴Δ＝0，
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2k＝0；
∴k＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式的和抛物线与x轴的交点个数的关系，属于中考常考题型．
14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为 （﹣2，0） ．
【分析】根据抛物线的对称轴结合点P的横坐标，即可求出点Q的横坐标，此题得解．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，点P的坐标为（4，0），
∴点Q的横坐标为1×2﹣4＝﹣2，
∴点Q的坐标为（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，牢记抛物线的对称性是解题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是 3 ．
【分析】连接PC．首先依据直角三角形斜边上中线的性质求出PC＝2，然后再依据三角形的三边关系可得到PM≤PC+CM，故此可得到PM的最大值为PC+CM．
【解答】解：如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝4，
根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，
∴A′P＝PB′，
∴PC＝A′B′＝2，
∵CM＝BM＝1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查的是旋转的性质，直角三角形的性质、三角形的三边关系，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC中，已知A（4，0），∠OAB＝120°，对角线AC、BO交点D．将菱形OABC绕点O逆时针方向旋转，每次旋转60°，则旋转2次后，点D的坐标是 （﹣3，） ，旋转2022次后．点D的坐标是 （3，） ．
【分析】求出点D的坐标，菱形每次逆时针旋转60°，相当于对点D每次逆时针旋转60°，根据周期性，可求出点D的坐标．
【解答】解：如下图所示，作BE⊥x轴交于点E，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB，点D是OB的中点，
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝OB＝4，
∵∠OAB＝120°，
∴∠BAE＝180°﹣∠OAB＝180°﹣120°＝60°，
∵BE⊥x轴，
∴BE＝AB＝×4＝2，AE＝AB＝×4＝2，
∴OE＝OA+AE＝4+2＝6，
∴点B的坐标为（6，2），OB＝＝4，
∵点D是OB的中点，
∴点D的坐标为（3，），OD＝OB＝×4＝2，
菱形每次逆时针旋转60°，相当于对点D每次逆时针旋转60°，
根据图形变化可得，
旋转1次D1坐标为（0，2），
旋转2次D2坐标为（﹣3，），
旋转3次D3坐标为（﹣3，﹣），
旋转4次D4坐标为（0，﹣2），
旋转5次D5坐标为（3，﹣），
旋转6次D6坐标为（3，），
……，
∴旋转2次后，点D的坐标是（﹣3，），
坐标的变化具有周期性，
2022÷6＝337，
∴旋转2022次后．点D的坐标是（3，）
故答案为：（﹣3，）；（3，）．
【点评】本题考查了菱形的性质、点的坐标变化等知识点，求出点D的坐标，再根据其周期性变化求出坐标是解本题的关键，综合性较强，难度较大．
三、解答题（共10小题，满分0分）
17．解方程：
（1）（x﹣5）2﹣9＝0；
（2）x2+2x﹣6＝0．
【分析】（1）方程整理后，利用直接开平方法求出解即可；
（2）方程利用公式法求出解即可．
【解答】解：（1）方程整理得：（x﹣5）2＝9，
开方得：x﹣5＝±3，即x﹣5＝3，或x﹣5＝﹣3，
解得：x1＝8，x2＝2；
（2）这里a＝1，b＝2，c＝﹣6，
∵Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣6）＝28＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
x＝＝＝﹣1±，
解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
18．已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到2a2﹣7a﹣1＝0，则2a2﹣7a＝1，再把a（2a﹣7）+5变形为2a2﹣7a+5，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，
∴2a2﹣7a﹣1＝0，
∴2a2﹣7a＝1，
∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6．
【点评】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
19．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）作出将△ABC绕点O顺时针旋转180°后的△A2B2C2；
（3）求S△ABC．
【分析】（1）首先确定、B、C三点关于x轴的对称点位置，再连接即可；
（2）首先确定、B、C三点关于原点的对称点位置，再连接即可；
（3）利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积，进而可得答案．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）S△ABC＝2×2﹣×2×1﹣×2×1﹣1×1＝．
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣轴对称变换和旋转变换，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于2，求k的取值范围．
【分析】（1）根据根的判别式：Δ＝[﹣（k+4）]2﹣16k＝k2﹣8k+16＝（k﹣4）2≥0，即可得到结论；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝4、x2＝k，根据方程有一根小于2，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+4）]2﹣16k＝k2﹣8k+16＝（k﹣4）2≥0，
∴无论k为任何实数时，此方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2﹣（k+4）x+4k＝0，
∴（x﹣4）（x﹣k）＝0，
∴x1＝4，x2＝k．
∵方程有一根小于2，
∴k＜2，
∴k的取值范围为k＜2．
【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于2，找出关于k的一元一次不等式．
21．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x
……
﹣1
0
2
3
4
……
y
……
8
3
m
0
3
……
（1）求m的值和这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）；
（3）当1＜x≤4时，直接写出y的取值范围．
【分析】（1）设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c，然后把点（0，3），（3，0），（4，3）代入利用待定系数法求得即可；
（2）利用描点法画二次函数图象；
（3）把解析式画出顶点式求得最小值，然后根据图象即可写出y的取值范围．
【解答】解：（1）设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c，
把点（0，3），（3，0），（4，3）代入得，
解得，
故抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3，
把x＝1代入得，y＝1﹣4+3＝0，
∴m＝0；
（2）如图所示：
（3）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴当x＝2时，y有最小值﹣1，
∴当1＜x≤4时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
22．如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，射线AB绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）若四边形AECF的面积为36，DE＝2，直接写出AE的长．
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，求得∠ABF＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形得到 S四边形AFCE＝S正方形ABCD，然后利用正方形的面积公式可得AD，再根据勾股定理求得结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，
∴∠ABF＝90°，
在△ABF与△ADE中，
，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF＝AE，∠BAF＝∠DAE，
∴∠EAF＝∠BAD＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）解：由（1）知，△ABF≌△ADE，
∴S四边形AFCE＝S正方形ABCD＝36，
∴AD＝6，
∴AE＝．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证得△ABF≌△ADE是解题的关键．
23．随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型的农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．河南某地某种粮大户，去年种植优质小麦360亩，平均每亩收益440元．计划今年多承包一些土地，预计原来种植的360亩小麦，每亩收益不变，新承租的土地，每增加一亩，其每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．（1亩＝0.06666667公顷）
（1）该大户今年应承租多少亩土地，才能使总收益达到182400元？
（2）该大户今年应承租多少亩土地，可以使总收益最大，最大收益是多少？
【分析】（1）根据题意设新增麦田x亩，新增每亩的收益为（440﹣2x）元，根据总收益为182400元列出方程，解方程即可；
（2）设新增麦田a亩与总收入y元，根据总收益＝原来土地的收益+新增土地的收益列出y与a的函数关系式，再利用二次函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设该大户今年新增土地x亩，根据题意得：
360×440+x（440﹣2x）＝182400，
解得x1＝100，x2＝120，
此时，360+x＝460或480，
答：该大户今年应承租460或480亩土地，才能使总收益达到182400元；
（2）设该大户今年新增土地a亩，收益为y元，
根据题意得：y＝360×440+a（440﹣2a）
＝158400+440a﹣2a2
＝﹣2（a﹣110）2+182600，
∵﹣2＜0，
∴当a＝110时，才能使总收入最大，最大收益是182600元，
此时，360+110＝470（亩），
答：该大户今年应承租470亩土地，可以使总收益最大，最大收益是182600元．
【点评】本题主要考查了二次函数和一元二次方程的应用，根据已知得出y与a的函数关系式是解题关键．
24．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点A旋转一定的角度得到Rt△ADE，且点E恰好落在边BC上．
（1）求证：AE平分∠CED；
（2）连接BD，求证：∠DBC＝90°．
【分析】（1）由旋转的性质得出AE＝AC，∠C＝∠AED，证出∠C＝∠AEC，则可得出结论；
（2）由旋转的性质得出AE＝AC，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD，证出∠AEC＝∠ADB，则可得出结论．
【解答】证明：（1）∵将Rt△ABC绕点A旋转一定的角度得到Rt△ADE，
∴AE＝AC，∠C＝∠AED，
∴∠C＝∠AEC，
∴∠AED＝∠AEC，
即AE平分∠CED；
（2）如图，
∵将Rt△ABC绕点A旋转一定的角度得到Rt△ADE，
∴AE＝AC，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD，
∴∠AEC＝∠ADB，
∵∠AEC+∠AEB＝180°，
∴∠ADB+∠AEB＝180°，
∵∠DAE＝90°，∠DAE+∠AEB+∠ADE+∠DBE＝360°，
∴∠DBE＝90°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
25．已知△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后，点A的对应点为点D，点C的对应点为点E，直线DE与直线AC交于点F，连接FB．
（1）如图1，当∠BAC＜45°时，
①求证：DF⊥AC；
②求∠DFB的度数；
（2）如图2，当∠BAC＞45°时，
①请依意补全图2；
②用等式表示线段FC，FB，FE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）①由旋转知，∠ABD＝∠ABC＝90°，∠D＝∠A，再用等角的余角相等，判断出∠A+∠AFE＝90°，即可得出结论；
②构造出△BDG≌△BAF，进而判断出△BFG是等腰直角三角形，即可得出结论；
（2）①根据题意直接画出图形，
②同（1）①的方法构造出，△BCG≌△BEF（ASA），得出CG＝EF，BG＝BF，即可得出结论．
【解答】解（1）①由旋转知，∠ABD＝∠ABC＝90°，∠D＝∠A，
∴∠D+∠BED＝90°，
∴∠A+∠BED＝90°，
∵∠BED＝∠AEF，
∴∠A+∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝90°，
∴DF⊥AC；
②如图1，
过点B作BG⊥BF交DF于G，
∴∠FBG＝90°，
由旋转知，∠D＝∠A，BD＝AB，∠ABD＝90°，
∴∠FBG＝∠ABD，
∴∠DBG＝∠ABF，
∴△BDG≌△BAF（ASA），
∴BG＝BF，
∵∠FBG＝90°，
∴∠BFD＝45°；
（2）①如图2所示，
②CF﹣EF＝BF．
过点B作BG⊥BF交AC于G，
∴∠FBG＝90°，
由旋转知，∠C＝∠E，BC＝BE，
∵∠ABC＝90°，
∴∠FBG＝∠ABC，
∴∠CBG＝∠EBF，
∴△BCG≌△BEF（ASA），
∴CG＝EF，BG＝BF，
∵∠FBG＝90°，
∴∠BFD＝45°，
∴FG＝BF，
∵CF＝FG+CG，
∴FG＝CF﹣CG＝CF﹣EF＝BF，
即：CF﹣EF＝BF．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等角的余角相等，等腰直角三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
26．在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点C，若△ABC是以AB为一条直角边，且满足AC＞AB的直角三角形，则称点C为线段AB的“从属点”．已知点A的坐标为（0，1）．
（1）如图1，若点B为（2，1），在点C1（0，﹣2），C2（2，2）．C3（1，0），C4（0，3）中，线段AB的“从属点”是 C1，C2 ；
（2）如图2，若点B为（4，0），点P在直线y＝﹣2x﹣3上，且点P为线段AB的“从属点”，求点P的坐标；
（3）点B为x轴上的动点，直线y＝4x+b（b≠0）与x轴，y轴分别交于M，N两点，若存在某个点B，使得线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）分别按照“从属点”的定义对三个点进行分析即可；
（2）分∠ABP＝90°和∠BAP＝90°两种情况，借助等腰直角三角形的判定和性质求解；
（3）画出图象，分b＞0和b＜0两种情况，分别求出边缘值，从而得到b的取值范围．
【解答】解：（1）C1（0，﹣2），则AC1＝3＞2＝AB，且△ABC为直角三角形，
故C1是线段AB的“从属点”；
C2（2，2），则AC2＝＞2＝AB，且△ABC为直角三角形，
故C2是线段AB的“从属点”；
C3（1，0），则AB不是直角边，故C3不是线段AB的“从属点”；
C4（0，3），AC4＝2＝AB，故C4不是线段AB的“从属点”；
故答案为：C1，C2．
（2）设点P的坐标为（a，﹣2a﹣3 ），
∵点P为线段AB的“从属点”，
①当∠ABP＝90°时，
由题意可知：OA＝OB＝1，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠ABO＝45°，
∴∠OBP＝45°，
过点P作PF⊥y轴，垂足为F，BP交y轴于点E，
可知△OBE和△PEF为等腰直角三角形，
∴OE＝OB＝1，PF＝EF＝﹣a，
∴OF＝1﹣a，
则1﹣a＝2a+3，
解得：a＝﹣，
∴点P的坐标为（﹣，﹣），
此时AP＞AB；
②当∠BAP＝90°时，过点P作PG⊥x轴，垂足为G，AP交x轴于点H，
同理可知：∠OAP＝45°＝∠AHO＝∠PHG，
∴△AOH和△PHG为等腰直角三角形，
∴AO＝HO＝1，PG＝HG＝2a+3，
∴OG＝2a+4，
则﹣2a﹣4＝a，
解得：a＝﹣，
∴点P的坐标为（﹣，﹣），
此时AP＝AH+HP＞AB；
综上，点P的坐标为：（﹣，﹣）或（﹣，﹣）．
（3）如图，AC＝AE＝AB，
由“从属点”的定义可知：线段AB的从属点在射线CC1、EE1、BD上，
当b＞0时，
当点B和原点重合时，若要满足线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”，则点C在线段MN上，
此时点C（﹣1，1），代入y＝4x+b，得：b＝5，
从而当b＞5时，总能找到点B，满足条件，
故b＞5；
当b＜0时，若要满足线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”，
如图，当点E和M重合时，
∵AB＝AE，
∴△ABE为等腰直角三角形，
可得：AO＝EO＝1，即E （1，0），代入y＝4x+b，
得：b＝﹣4，
而当b＞﹣4时，四条射线CC1、DD1、EE1、FF1无法与线段MN产生两个交点，
当b＜﹣4时，总能找到点B，满足条件，
此时b＜﹣4，
综上，b的取值范围是：b＞5或b＜﹣4．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象和性质，直角三角形的性质，“从属点”的新定义，等腰直角三角形的判定和性质，解题时要把握好“从属点”的定义，结合一次函数图象进行分析，难度较大．
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