2022-2023学年北京市海淀区首都师大二附中九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市海淀区首都师大二附中九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、接水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用，瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．边长为2的正方形内接于⊙O，则⊙O的半径是（ ）
A．1B．C．2D．
3．抛物线y＝﹣x2+2和y＝﹣（x+2）2的对称轴分别是（ ）
A．y轴，直线x＝﹣2B．y轴，直线x＝2
C．直线x＝﹣2，直线x＝2D．直线x＝2，直线x＝﹣2
4．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一根，则2m2﹣4m+2＝（ ）
A．﹣8B．5C．6D．8
5．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（ ）
A．2cmB．2.5cmC．3cmD．4cm
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝110°，则∠AOC的度数是（ ）
A．110°B．130°C．140°D．155°
7．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原总O对称，则AB的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C．现有四个推断：
①抛物线开口向下；
②当x＝﹣2时，y取最大值；
③当m＜4时．关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝m必有两个不相等的实数根；
④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是﹣4＜x＜0；
其中推断正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．②③④
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
9．若一元二次方程（k+1）x2﹣2x+k2﹣1＝0的一个根是0，则k的值是 ．
10．为响应国家号召打嬴脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 ．
11．二次函数y＝ax2+bx+c（0≤x≤3）的图象如图所示，则y的取值范围是 ．
12．在平面直和坐标系xOy中，点A（﹣1，m）绕坐标原点O顺时针旋转90°后，恰好落在图中阴影区域（包括边界）内，则m的取值范围是 ．
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ACO＝40°，则∠B的度数为 ．
14．根据下列表格中y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是 ．
15．如图，点A、B、C在⊙O上，BC∥OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC，DC．若∠A＝25°，则∠D的大小为 °．
16．对于每个正整数n，抛物线与x轴交于An，Bn两点，若AnBn表示这两点间的距离，则AnBn＝ （用含n的代数式表示）：A1B1+A2B2+…+A2022B2022的值为 ．
三、解答题（本大题共52分，第17-20题，每小题4分，第21-22题，每小题4分，第23-24题，每小题4分，第25-26题，每小题4分）
17．解方程：x2+4x﹣11＝0．
18．阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：
已知：∠ACB是△ABC的一个内角．
求作：∠APB＝∠ACB．
小芸的作法如下：如图．①作线段AB的垂直平分线m；②作线段BC的垂直平分线n，与直线m交于点O；③以点O为圆心，OA为半径作圆；④则⊙O为△ABC的外接圆；⑤在弧ACB上取一点P，连结AP，BP，所以∠APB＝∠ACB．
根据小芸设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：连接OA，OB，OC；
由作图可知OA＝OB，OB＝OC（① ），（填推理的依据）
∴OA＝OB＝OC，
∴⊙O为△ABC的外接圆．
∵点C，P在⊙O上，，
∴∠APB＝∠ACB（② ）．（填推理的依据）
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．
20．北京某特产专卖店销售豌豆黄，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售豌豆黄要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克豌豆黄应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），B（4，0），C（0，﹣1）．
（1）以点C为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的△A'B'C'；
（2）在（1）的条件下，
①点A经过的路径AA'的长度为 （结果保留π）；
②连接BB'，线段BB'的中点的坐标为 ．
22．如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF交CD于点G，CG＝AG，连接AC．
（1）求证：AC∥DF；
（2）若AB＝12，求AC和GD的长．
23．如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m，一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．
在球运行时，将球与场地左边界的水平距离记为x（米），与地面的高度记为y（米），经多次测试后，得到如下数据：
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
（2）击球点的高度为 米，排球飞行过程中可达到的最大高度为 米；
（3）求出y与x的函数解析式；
（4）判断排球能否过球网，并说明理由．
24．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函救y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上．
（1）直接写出这个二次函数的解析式；
（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣t≤y≤4﹣n，求n的值；
（3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O，设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣b）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
25．已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转α（0°＜α＜90°）得到线段BE，连接EA，EC．
（1）如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分∠ABC，AB＝4，则∠AEC＝ °，四边形ABCE的面积为 ；
（2）当点E在正方形ABCD的外部时，
①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；
②作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF，用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明．
26．如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P，Q两点（Q在P，H之间）我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4），半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A，B，C，D．
①过点E作垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点 （填“A”，“B”，“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为 ；
②若直线n的函数表达式为y＝x+4，求⊙O关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线l的“远点”且⊙F关于直线l的“特征数”是6，直接写出直线l的函数解析式．
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6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
x（米）
0
1
2
4
6
7
8
y（米）
2
2.15
2.28
2.44
2.5
2.49
2.44