2018-2019学年北京市西城区北京师大附中八下期中数学试卷

这是一份2018-2019学年北京市西城区北京师大附中八下期中数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列运算正确的是
A. 6÷2=3B. −22=−2
C. 232=2×3=6D. 2+3=5

2. 下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是
A. y=3xB. 3xy=1C. y=1+1xD. y=1x−2

3. 下列条件中，不能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是
A. ∠A=∠C，∠B=∠DB. AB∥CD，AB=CD
C. AB=CD，AD∥BCD. AB∥CD，AD∥BC

4. 下列三角形中不是直角三角形的是
A. 三个内角之比为 \（5\mathbin{：}6\mathbin{：}1\）
B. 三边长为 5，12，13
C. 三边长之比为 \（1.5\mathbin{：}2\mathbin{：}3\）
D. 其中一边上的中线等于这一边的一半

5. 如图，在数轴上点 A 表示的实数是
A. 1B. 2C. 3D. 5

6. 反比例函数 y=−2x 的图象上有两点 Ax1,y1，x2,y2，若 x1A. y1
7. 如图，在平行四边形 ABCD 中，DE⊥AB 于点 E，∠EDA=35∘，则 ∠C 等于
A. 125∘B. 105∘C. 65∘D. 55∘

8. 选一选。
【测试4】反比例函数y=kx与y=−kx+1(k≠0)在同一坐标系的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.

9. 如图，反比例函数 y=kx 的图象经过点 A4,1，当 x<4 时，y 的取值范围是
A. y<1B. y>1C. 01

10. 如图，点 O0,0，B0,1 是正方形 OBB1C 的两个顶点，以它的对角线 OB1 为一边作正方形 OB1B2C1，以正方形 OB1B2C1 的对角线 OB2 为一边作正方形 OB2B3C2，再以正方形 OB2B3C2 的对角线 OB3 为一边作正方形 OB3B4C3，⋯，依次进行下去，则点 B6 的坐标是
A. 42,0B. −42,0C. −8,0D. 0,−8

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 函数 y=x+2−3−x 中，自变量 x 的取值范围是 ．

12. 已知平行四边形 ABCD 中，∠A+∠C=200∘，则 ∠B 的度数是 ．

13. 在实数范围内因式分解：x2−3= ；x2−22x+2= ．

14. 如图，将平行四边形 ABCO 放置在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，若点 A 的坐标是 8,0，点 C 的坐标是 2,6，则点 B 的坐标是 ．

15. 如图，Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A=30∘，BD 平分 ∠ABC，AD=20，则 BC= ．

16. 直线 y=5−x 与双曲线 y=4xx>0 的图象交于 A，B 两点，设 A 点的坐标为 m,n，则边长分别为 m，n 的矩形的面积为 ，周长为 ．

17. 把一张长方形纸片 ABCD 按如图方式折叠，使顶点 B 和顶点 D 重合，折痕为 EF，若 ∠DEF=60∘，AE=1，则 ∠DFE= ，AB= ．

18. 两个反比例函数 y=3x，y=6x 在第一象限内的图象如图所示，点 P1，P2，P3，⋯，P2019 在反比例函数 y=6x 图象上，它们的横坐标分别是 x1，x2，x3，⋯，x2019，纵坐标分别是 1，3，5，⋯，共 2019 个连续奇数，过点 P1，P2，P3，⋯，P2019 分别作 y 轴的平行线，与 y=3x 的图象交点依次是 Q1x1,y1，Q2x2,y2，Q3x3,y3，⋯，Q2019x2019,y2019，则 y2019= ，三角形 P2019OQ2019 的面积为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
19. 计算：
（1）18−32+8；
（2）212×34÷32；
（3）5xx5−x25x+124x．

20. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AE 平分 ∠BAD，交 DC 的延长线于点 E，求证：DA=DE．

21. 如图，在 △ABC 中，AB=4，AC=3，BC=5，DE 是 BC 的垂直平分线，DE 分别交 BC，AB 于点 D，E．
（1）求证：△ABC 为直角三角形；
（2）求 AE 的长．

22. 如图，已知双曲线 y=kx 和直线 y=mx+n 交于点 A 和点 B，B 点的坐标是 2,−3，AC 垂直 y 轴于点 C，AC=32．
（1）求双曲线和直线的解析式；
（2）求 △AOB 的面积．

23. 平行四边形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中 A−4,0，B2,0，C3,3，反比例函数 y=mx 的图象经过点 C．
（1）求此反比例函数的解析式；
（2）将平行四边形 ABCD 沿 x 轴翻折得到平行四边形 ADʹCʹB，请你通过计算说明点 Dʹ 在双曲线上．

24. 露露家里新购进了一台电热水器，她对电热水器的工作原理充满好奇．查阅说明书得知，电热水器上面显示的温度为内部水箱中水的温度，每次加热前可以预设温度值，当电热水器达到预设温度后，电热水器将停止加热，开启保温功能．而在使用过程中，电热水器会自动加水，水温会下降．
露露发现电热水器中水箱的温度 y（单位：∘C）与接通电源后的时间 x（单位：min）之间存在函数关系，她打开电热水器的开关，预设温度为 70∘C，并记录水温变化的情况见下表，其中在接通电源后的第 8 min 时，电热水器达到预设温度；第 18 min 时，妈妈开始使用电热水器．
时间x单位:min024681820212528温度y单位:∘C30405060707063m50.445
（1）m 的值为 ；
（2）请在下面的坐标系中描出上表中所有数据对应的点，并根据描出的点，画出当 0≤x≤28 时，温度 y 随时间 x 变化的函数图象；
（3）在露露的妈妈使用电热水器前，电热水器处于保温功能的时长为 min；
（4）未加热前，电热水器的水箱中水的温度为 ∘C．

25. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，D 是 BC 的中点，DE⊥BC，CE∥AD．若 AC=2，CE=4，求四边形 ACEB 的周长．

26. 如图，直线 y1=x+2 与反比例函数 y2=kxk>0,x>0 的图象交于点 A2,m，与 y 轴交于点 B．
（1）求 m，k 的值；
（2）已知 y3=−x+b 过 2,6 点，求当 y3>y1>y2 时 x 的取值范围；
（3）设点 P 的坐标为 0,n 且 00,x>0 的图象分别交于点 C，D，当 C，D 间距离小于或等于 4 时，直接写出 n 的取值范围．

四、填空题（共2小题；共10分）
27. 在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．
如图 1，矩形 ABOC 的周长与面积相等，则点 A 是“和谐点”，
（1）点 E2,3，F−4,4，M−74,−6，N6,−6−26，其中“和谐点”是 ；
（2）如图 2，若点 Pa,b 是双曲线 y=18x 上的“和谐点”，请直接写出所有满足条件的 P 点坐标 ．

28. 阅读下列材料：
问题：如图 1，正方形 ABCD 内有一点 P，PA=5，PB=2，PC=1，求 ∠BPC 的度数．
小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将 △BPC 绕点 B 逆时针旋转 90∘，得到了 △BPʹA（如图 2），然后连接 PPʹ．
请你参考小明同学的思路，解决下列问题：
（1）图 2 中 ∠BPC 的度数为 ；
（2）如图 3，若在正六边形 ABCDEF 内有一点 P，且 PA=213，PB=4，PC=2，则 ∠BPC 的度数为 ，正六边形 ABCDEF 的边长为 ．

五、解答题（共1小题；共13分）
29. 已知：如图，一次函数 y=x+5 的图象与反比例函数 y=kx 的图象交于 M，N 两点，过点 M 作 MC⊥y 轴于点 C，且 CM=1，过点 N 作 ND⊥x 轴于点 D，且 DN=1，已知点 P 是 x 轴（除原点 O 外）上一点．
（1）直接写出 M，N 的坐标及 k 的值；
（2）将线段 CP 绕点 P 按逆时针旋转 90∘ 得到线段 PQ，当点 P 滑动时，点 Q 能否在反比例函数的图象上?如果能，求出点 Q 的坐标；如果不能，请说明理由；
（3）当点 P 滑动时，是否存在反比例函数图象（第一象限的一支）上的点 S，使得以 P，S，M，N 四个点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出所有符合题意的点 S 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. A
2. B
3. C
4. C
5. D
6. A
7. D
8. B【解析】A、由反比例函数的图象可知，k>0，一次函数图象呈上升趋势且交与y轴的正半轴，−k>0，即k<0，故本选项错误；
B、由反比例函数的图象可知，k>0，一次函数图象呈下降趋势且交与y轴的正半轴，−k<0，即k>0，故本选项正确；
C、由反比例函数的图象可知，k<0，一次函数图象呈上升趋势且交与y轴的负半轴（不合题意），故本选项错误；
D、由反比例函数的图象可知，k<0，一次函数图象呈下降趋势且交与y轴的正半轴，−k<0，即k>0，故本选项错误．
故选：B．
9. D
10. C
第二部分
11. −2≤x≤3
12. 80∘
13. x+3x−3，x−22
14. 10,6
15. 103
16. 4，10
17. 60∘，3
18. 40372，32
第三部分
19. （1） 2．
（2） 22．
（3） x．
20. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠E=∠BAE．
∵AE 平分 ∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠E=∠DAE，
∴DA=DE．
21. （1） 由已知可得 AC=3，AB=4，BC=5，
∴AC2+AB2=BC2，
∴△ABC 为直角三角形．
（2） 连接 CE，如图，
设 AE=x，则 BE=4−x，
∵DE 是 BC 的垂直平分线，
∴CE=BE，
在 Rt△AEC 中，
x2+32=4−x2，
x=78，
∴AE 长为 78．
22. （1） 因为点 B 在双曲线 y=kx 上，B 点的坐标是 2,−3，
所以 k=−6，
所以双曲线的解析式为：y=−6x．
因为 AC 垂直 y 轴于点 C，AC=32，
所以点 A 的横坐标为 −32，
所以点 A 的纵坐标为 4，
设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，
所以 2k+b=−3,−32k+b=4,
解得 k=−2,b=1.
所以直线 AB 的解析式为 y=−2x+1；
（2） 因为直线 y=−2x+1 与 x 轴的交点坐标为 12,0，
所以 △AOB的面积=12×12×4+12×12×3=74．
23. （1） ∵ 点 C3,3 在反比例函数 y=mx 的图象上，
∴3=m3，
∴m=9，
∴ 反比例函数的解析式为 y=9x．
（2） 过 C 作 CE⊥x 轴于点 E，过 D 作 DF⊥x 轴于点 F，
则 △CBE≌△DAF．
∴AF=BE，DF=CE，
∵A−4,0，B2,0，C3,3，
∴DF=CE=3，OA=4，OE=3，OB=2，
∴OF=OA−AF=OA−BE=OA−OE−OB=4−3−2=3，
∴D−3,3，
∵ 点 Dʹ 与点 D 关于 x 轴对称，
∴Dʹ−3,−3，
把 x=−3 代入 y=9x 得 y=−3，
∴ 点 Dʹ 在双曲线上．
24. （1） 60 左右均可以
（2）
（3） 10
（4） 30
25. ∵∠ACB=90∘，DE⊥BC，
∴AC∥DE．
又 ∵CE∥AD，
∴ 四边形 ACED 是平行四边形．
∴DE=AC=2．
在 Rt△CDE 中，由勾股定理得 CD=CE2−DE2=23．
∵D 是 BC 的中点，
∴BC=2CD=43．
在 △ABC 中，∠ACB=90∘．
由勾股定理得 AB=AC2+BC2=23．
∵D 是 BC 的中点，DE⊥BC，
∴EB=EC=4．
∴C平行四边形ACEB=AC+CE+EB+BA=10+213．
26. （1） m=4，k=8．
（2） 2 （3） 2≤n<4．
第四部分
27. 点 N，F，3,6，6,3，−3,−6，−6,−3
28. 135∘，120∘，27
第五部分
29. （1） M1,4，N4,1，k=4．
【解析】当 x=1 时，y=−1+5=4，
∴M1,4．
当 y=1 时，1=−x+5，解得 x=4，
∴N4,1．
将点 M1,4 代入 y=kx 得 k=4．
∴M1,4，N4,1，k=4．
（2） 若 CP 逆时针旋转，点 Q 在双曲线上．
设 OP=x，则 Qx−4,−x，
∴−x=4x−4，即 x−22=0，
∴x1=x2=2，
∴Q−2,−2．
（3） 存在，S 的坐标为 43,3 或 45,5．
【解析】设 Pm,0．
当 MN 为平行四边形的一条边时，则 Sm−3,3，
把 S 点的坐标代入 y=4x，得 3=4m−3，解得 m=133，
∴S43,3．
当 MN 为平行四边形的对角线时，则 S5−m,5，
把 S 点的坐标代入 y=4x，得 5=45−m，解得 m=215，
∴S45,5．
∴ 存在，S 的坐标为 43,3 或 45,5．