2022-2023学年北京市西城区回民学校九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市西城区回民学校九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）抛物线y＝﹣3（x+1）2﹣5的顶点坐标是（ ）
A．（1，5）B．（1，﹣5）C．（﹣1，5）D．（﹣1，﹣5）
3．（3分）把抛物线y＝x2向右平移3个单位，然后再向下平移2个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2﹣2B．y＝（x﹣3）2+2C．y＝（x+3）2+2D．y＝（x+3）2﹣2
4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么OE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（3分）如图，在⊙O中，∠ACB＝34°，则∠AOB的度数是（ ）
A．17°B．34°C．56°D．68°
6．（3分）如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
7．（3分）函数y＝ax+1与y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
有以下几个结论：
①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下；
②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1；
③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2；
④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2；
其中正确的是（ ）
A．①④B．②④C．②③D．③④
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2分）请写出一个开口向下，且经过点（0，﹣1）的二次函数解析式： ．
10．（2分）把二次函数y＝x2﹣6x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 ．
11．（2分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．（2分）由于成本上涨，某商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的50元涨到了72元．设平均每次涨价的百分率为x，则由题意可列方程为 ．
13．（2分）二次函数y＝x2﹣3x+m+2的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为 ．
14．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE＝120°，那么∠B＝ °．
15．（2分）点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝﹣x2+3x+2的图象上，若x1＜x2＜﹣2，则y1与y2的大小关系是y1 y2．（用“＞”、“＜”、“＝”填空）
16．（2分）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0；其中正确的个数有 个．
三、解答题（共60分，第17题（1）（2）、18-20题每小题8分，21-28题每小题8分）
17．（8分）解下列一元二次方程：
（1）x2﹣6x+5＝0；
（2）2x2﹣x﹣1＝0．
18．（4分）已知二次函数的图象顶点为M（﹣3，﹣1），且经过点N（﹣1，1）．求这个二次函数的表达式．
19．（4分）如图，点O、B坐标分别为（0，0）、（3，0），将△OAB绕O点按逆时针方向旋转90°到OA′B′．
（1）画出△OA′B′；
（2）点A′的坐标为 ；
（3）求BB′的长．
20．（4分）已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不等的实数根；
（2）若方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若x1＝3x2，求m的值．
21．（5分）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3．
（1）求出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求出这个二次函数的图象与坐标轴的交点；
（3）y＜0时写出x的范围是 ．
22．（5分）某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式是y＝﹣10x+700．当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？并求出利润的最大值．
23．（5分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD＝10，EM＝25．求⊙O的半径．
24．（5分）已知，如图，在△ADC中，∠ADC＝90°，以DC为直径作半圆⊙O，交边AC于点F，点B在CD的延长线上，连接BF，交AD于点E，∠BED＝2∠C．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若BF＝FC，，求⊙O的半径．
25．（5分）如图所示，△ABC的∠BAC＝120°，以BC为边向形外作等边△BCD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，若AB＝3，AC＝2，求∠BAD的度数和线段AD的长．
26．（5分）已知：二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1（a≠0）．
（1）求二次函数C1的对称轴，并写出顶点坐标；
（2）已知二次函数C1的图象经过点A（﹣3，1）．
①求a的值；
②点B在二次函数C1的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB．二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围．
27．（5分）已知，在等边△ABC中，AB＝2，D，E分别是AB，BC的中点（如图1）．若将△BDE绕点B逆时针旋转，得到△BD1E1，设旋转角为α（0°＜α＜180°），记射线CE1与AD1的交点为P．
（1）判断△BDE的形状；
（2）在图2中补全图形，
①猜想在旋转过程中，线段CE1与AD1的数量关系并证明；
②求∠APC的度数；
（3）点P到BC所在直线的距离的最大值为 ．（直接填写结果）
28．（5分）阅读下面的材料：
小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y＝x2﹣6x+7的最大值．他画图研究后发现，x＝1和x＝5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．
他的解答过程如下：
∵二次函数y＝x2﹣6x+7的对称轴为直线x＝3，
∴由对称性可知，x＝1和x＝5时的函数值相等．
∴若1≤m＜5，则x＝1时，y的最大值为2；
若m≥5，则x＝m时，y的最大值为m2﹣6m+7．
请你参考小明的思路，解答下列问题：
（1）当﹣2≤x≤4时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为 ；
（2）若p≤x≤2，求二次函数y＝2x2+4x+1的最大值；
（3）若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为 ．
2022-2023学年北京市西城区回民学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）抛物线y＝﹣3（x+1）2﹣5的顶点坐标是（ ）
A．（1，5）B．（1，﹣5）C．（﹣1，5）D．（﹣1，﹣5）
【分析】根据题目中的抛物线解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵抛物线解析式为y＝﹣3（x+1）2﹣5，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣5），
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
3．（3分）把抛物线y＝x2向右平移3个单位，然后再向下平移2个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2﹣2B．y＝（x﹣3）2+2C．y＝（x+3）2+2D．y＝（x+3）2﹣2
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线y＝x2的顶点为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（3，﹣2），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移3个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（3，﹣2），所以平移后抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么OE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】垂直于弦CD的直径平分弦CD，Rt△COE中，斜边OC的平方等于直角边CE和OE的平方和．
【解答】解：连接OC．
∵AB是⊙O的直径，AB＝10，
∴OC＝OA＝OB＝AB＝5．
又∵AB⊥CD，CD＝8，
∴CE＝CD＝4．
在Rt△COE中，OC＝5，CE＝4，
∴OE＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理及推论、勾股定理，熟练的掌握垂径定理及推论、勾股定理是解题的关键．
5．（3分）如图，在⊙O中，∠ACB＝34°，则∠AOB的度数是（ ）
A．17°B．34°C．56°D．68°
【分析】欲求∠AOB，又已知一圆周角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
【解答】解：∵∠AOB、∠ACB是同弧所对的圆心角和圆周角，
∴∠AOB＝2∠ACB＝68°．
故选：D．
【点评】此题主要考查的是圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
6．（3分）如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】如图，证明OA＝OC，∠AOB＝∠COD；求出∠OCA＝70°；求出∠BOC＝10°；运用外角性质求出∠B即可解决问题．
【解答】解：由题意得：△AOB≌△COD，
∴OA＝OC，∠AOB＝∠COD，
∴∠A＝∠OCA，∠AOC＝∠BOD＝40°，
∴∠OCA＝＝70°；
∵∠AOD＝90°，
∴∠BOC＝10°；
∵∠OCA＝∠B+∠BOC，
∴∠B＝70°﹣10°＝60°，
故选：C．
【点评】该题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题；解题的关键是抓住旋转变换过程中不变量，灵活运用全等三角形的性质来分析、判断、推理或解答．
7．（3分）函数y＝ax+1与y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分别讨论a＞0与a＜0两种情况时一次函数与二次函数的图象的草图，进而求解．
【解答】解：当a＞0时，直线y＝ax+1从左至右上升，抛物线y＝ax2+bx+1开口向上，
选项A正确，选项B，D错误．
当a＜0时，直线y＝ax+1从左至右下降，抛物线y＝ax2+bx+1开口向下，
选项C错误．
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象，解题关键是掌握一次函数与二次函数图象与系数的关系．
8．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
有以下几个结论：
①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下；
②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1；
③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2；
④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2；
其中正确的是（ ）
A．①④B．②④C．②③D．③④
【分析】根据表格中的x、y的对应值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的图形与性质求解可得．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
将（﹣1，3）、（0，0）、（3，3）代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x＝x（x﹣2）＝（x﹣1）2﹣1，
由a＝1＞0知抛物线的开口向上，故①错误；
抛物线的对称轴为直线x＝1，故②错误；
当y＝0时，x（x﹣2）＝0，解得x＝0或x＝2，
∴方程ax2+bx+c＝0的根为0和2，故③正确；
当y＞0时，x（x﹣2）＞0，解得x＜0或x＞2，故④正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象和性质．
二、填空题（每题2分，共16分）
9．（2分）请写出一个开口向下，且经过点（0，﹣1）的二次函数解析式： y＝﹣x2﹣1 ．
【分析】根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过点（0，﹣1）得出即可．
【解答】解：∵开口向下且过点（0，﹣1）的抛物线解析式，
∴可以设顶点坐标为（0，﹣1），
故解析式为：y＝﹣x2﹣1（答案不唯一）．
故答案为：y＝﹣x2﹣1（答案不唯一）．
【点评】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的各种形式，利用特殊点代入求得答案即可．
10．（2分）把二次函数y＝x2﹣6x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 y＝（x﹣3）2﹣4 ．
【分析】运用配方法把一般式化为顶点式即可．
【解答】解：y＝x2﹣6x+5
＝x2﹣6x+9﹣9+5
＝（x﹣3）2﹣4；
故答案为：y＝（x﹣3）2﹣4．
【点评】本题考查了二次函数的解析式及二次函数的性质，熟练掌握配方法是关键．
11．（2分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是 （3，﹣4） ．
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【解答】解：点（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．
故答案为：（3，﹣4）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12．（2分）由于成本上涨，某商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的50元涨到了72元．设平均每次涨价的百分率为x，则由题意可列方程为 50（1+x）2＝72 ．
【分析】可先表示出第一次涨价后的价格，那么第一次涨价后的价格×（1+涨价的百分率）＝72，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：设平均每次涨价的百分率为x，
第一次涨价后的价格为50（1+x）元，
连续两次涨价后售价在第一次涨价后的价格的基础上提高x，为50（1+x）×（1+x）元，
则列出的方程是50（1+x）2＝72．
故答案为：50（1+x）2＝72．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
13．（2分）二次函数y＝x2﹣3x+m+2的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为 ．
【分析】令x2﹣3x+m+2＝0，求Δ＝0时m的值．
【解答】解：令x2﹣3x+m+2＝0，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4（m+2）＝1﹣4m，
当抛物线与x轴只有1个交点时，1﹣4m＝0，
解得m＝，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
14．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE＝120°，那么∠B＝ 120 °．
【分析】由四边形ABCD内接于⊙O，可得∠B+∠ADC＝180°，又由∠ADC+∠ADE＝180°，即可求得∠B＝∠ADE＝120°．
【解答】解：∵∠ADC+∠ADE＝180°，∠B+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADE＝120°．
故答案为：120．
【点评】此题考查了圆的内接多边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
15．（2分）点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝﹣x2+3x+2的图象上，若x1＜x2＜﹣2，则y1与y2的大小关系是y1 ＜ y2．（用“＞”、“＜”、“＝”填空）
【分析】先根据函数解析式确定出对称轴为直线x＝，再根据二次函数的增减性，x＜时，y随x的增大而增大解答．
【解答】解：∵y＝﹣x2+3x+2，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝，
∵x1＜x2＜﹣2，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键．
16．（2分）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0；其中正确的个数有 2 个．
【分析】由函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x＝1时，y＝1+b+c＝1；当x＝3时，y＝9+3b+c＝3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．
【解答】解：∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，
∴b2﹣4ac＜0；
故①错误；
由图象知，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的交点坐标为（1，1）和（3，3），
当x＝1时，y＝1+b+c＝1，
故②错误；
∵当x＝3时，y＝9+3b+c＝3，
∴3b+c+6＝0；
③正确；
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0．
故④正确．
故答案是：2．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
三、解答题（共60分，第17题（1）（2）、18-20题每小题8分，21-28题每小题8分）
17．（8分）解下列一元二次方程：
（1）x2﹣6x+5＝0；
（2）2x2﹣x﹣1＝0．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）x2﹣6x+5＝0，
（x﹣1）（x﹣5）＝0，
x﹣1＝0或x﹣5＝0，
x1＝1，x2＝5；
（2）2x2﹣x﹣1＝0，
（x﹣1）（2x+1）＝0，
x﹣1＝0或2x+1＝0，
x1＝1，x2＝﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．
18．（4分）已知二次函数的图象顶点为M（﹣3，﹣1），且经过点N（﹣1，1）．求这个二次函数的表达式．
【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x+3）2﹣1，然后把N（﹣1，1）代入求出a的值即可．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x+3）2﹣1，
把N（﹣1，1）代入得a•（﹣1+3）2﹣1＝1，解得a＝，
所以抛物线解析式为y＝（x+3）2﹣1．
【点评】本题考查了用定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求．
19．（4分）如图，点O、B坐标分别为（0，0）、（3，0），将△OAB绕O点按逆时针方向旋转90°到OA′B′．
（1）画出△OA′B′；
（2）点A′的坐标为 （﹣2，4） ；
（3）求BB′的长．
【分析】如图，点B′的位置很容易确定，如何简捷准确地确定点A′的位置将OA为对角线的矩形绕O点逆时针方向旋转90°，就可以确定点A′的位置．要用坐标描述点A′的位置，先要按点O、B的坐标建立坐标系，按照全等形的对应边相等及数形结合思想，点A′的坐标为（﹣2，4）．BB′的长就是等腰直角三角形OBB′的斜边长，BB′＝．
【解答】解：（1）如图，图形正确（其中A'，B'点对一个得1分）；（3分）
（2）（﹣2，4）；（6分）
（3）∵OB＝OB'，∠BOB'＝90°，（8分）
∴BB'2＝OB2+OB'2＝2OB2＝2×32＝18．（9分）
∴BB′＝．（10分）
【点评】（1）本题考查旋转变换作图，关键是找旋转后的对应点．
（2）利用旋转的性质找坐标，要先根据给出的点的坐标，找到原点，再读出求的点的坐标．
（3）主要考查了利用勾股定理求线段的长的能力．
20．（4分）已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不等的实数根；
（2）若方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若x1＝3x2，求m的值．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac，求出此方程的判别式得：Δ＞0，即可得到答案，
（2）利用公式法求得方程的两个根，利用“方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若x1＝3x2”，得到关于m的一元一次方程，解之即可
【解答】（1）证明：根据题意得：
Δ＝（﹣4m）2﹣4（4m2﹣9）
＝16m2﹣16m2+36
＝36＞0，
即此方程有两个不等的实数根，
（2）解：方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若x1＝3x2，
利用公式法求得方程的两个根为：x＝2m±3，
即x1＝2m+3，x2＝2m﹣3，
2m+3＝3（2m﹣3），
解得：m＝3，
即m的值为3．
【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac，（2）正确找出等量关系，列出一元一次方程．
21．（5分）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3．
（1）求出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求出这个二次函数的图象与坐标轴的交点；
（3）y＜0时写出x的范围是 x＜1或x＞3 ．
【分析】（1）将题目中的函数解析式化为顶点式即可求得二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）根据题目中的函数解析式可以求得这个二次函数的图象与坐标轴的交点；
（3）根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以得到y＜0时x的范围．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴该函数图象的对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，1）；
（2）当x＝0时，y＝﹣3，
当y＝0时，0＝﹣x2+4x﹣3
得x1＝1，x2＝3，
即该函数图象与坐标轴的交点为（0，﹣3），（1，0），（3，0）；
（3）∵二次函数y＝﹣x2+4x﹣3的图象开口向下，与x轴的交点为（1，0），（3，0），
∴y＜0时x的取值范围是x＜1或x＞3．
故答案为：x＜1或x＞3．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
22．（5分）某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式是y＝﹣10x+700．当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？并求出利润的最大值．
【分析】设每天获得的利润为w元，根据每天获得的利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出w关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：设每天获得的利润为w元，
根据题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000．
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000．
答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．
【点评】本题考查了二次函数的应用以及二次函数的最值，利用配方法将二次函数关系式变形为顶点式是解题的关键．
23．（5分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD＝10，EM＝25．求⊙O的半径．
【分析】根据垂径定理得出EM⊥CD，则CM＝DM＝5，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，进而可求得半径OC．
【解答】解：如图，连接OC，
∵M是弦CD的中点，EM过圆心O，
∴EM⊥CD．
∴CM＝MD．
∵CD＝10，
∴CM＝5．
设OC＝x，则OM＝25﹣x，
在Rt△COM中，根据勾股定理，得
52+（25﹣x）2＝x2．
解得 x＝13．
∴⊙O的半径为13．
【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形．
24．（5分）已知，如图，在△ADC中，∠ADC＝90°，以DC为直径作半圆⊙O，交边AC于点F，点B在CD的延长线上，连接BF，交AD于点E，∠BED＝2∠C．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若BF＝FC，，求⊙O的半径．
【分析】（1）欲证BF是圆O的切线，只需证明OF⊥BF；
（2）根据角与角间的数量关系推知△AEF的等边三角形．所以易求AD＝2．则通过解直角△ADC来求直径CD的长度．
【解答】（1）证明：连接OF．
∵∠OFB＝180°﹣∠B﹣∠BOF＝180°﹣∠B﹣2∠C＝180°﹣∠B﹣∠BED＝90°，
∴OF⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：∵BF＝FC，
∴∠B＝∠FCB，
∵∠BED＝2∠C，
∴∠BDE+∠B＝3∠C＝90°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠AFE＝60°，∠BED＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
则EF＝AE＝．
∴AD＝2．
又∵∠C＝30°，
∴CD＝6，
∴⊙O的半径是3．
【点评】本题考查了勾股定理、切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
25．（5分）如图所示，△ABC的∠BAC＝120°，以BC为边向形外作等边△BCD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，若AB＝3，AC＝2，求∠BAD的度数和线段AD的长．
【分析】根据∠BAC+∠BDC＝180°得出A、B、D、C四点共圆，根据四点共圆的性质得出∠BAD＝∠BCD＝60°．推出A，C，E共线；由于∠ADE＝60°，根据旋转得出AB＝CE＝3，求出AE即可．
【解答】解：法1：∵△ABC的∠BAC＝120°，以BC为边向形外作等边△BCD，
∴∠BAC+∠BDC＝120°+60°＝180°，
∴A，B，D，C四点共圆，
∴∠BAD＝∠BCD＝60°，∠ACD+∠ABD＝180°，
又∵∠ABD＝∠ECD，
∴∠ACD+∠ECD＝180°，
∴∠ACE＝180°，
即A、C、E共线，
∵把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，AB＝3，
∴AB＝CE＝3，
∴AD＝AE＝AC+AB＝3+2＝5；
【点评】本题利用了：①等边三角形的性质，三角为60度，三边相等；②四边形内角和为360度；③一个角的度数为180度，则三点共线；④角的和差关系求解．
26．（5分）已知：二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1（a≠0）．
（1）求二次函数C1的对称轴，并写出顶点坐标；
（2）已知二次函数C1的图象经过点A（﹣3，1）．
①求a的值；
②点B在二次函数C1的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB．二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围．
【分析】（1）化成顶点式即可求得；
（2）①把点A（﹣3，1）代入二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1即可求得a的值；
②根据对称的性质得出B的坐标，然后分两种情况讨论即可求得．
【解答】解：（1）由题意可知，二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1（a≠0），
整理得，y1＝a（x+1）2﹣1（a≠0），
∴对称轴：x＝﹣1，顶点坐标（﹣1，﹣1）；
（2）①∵二次函数C1的图象经过点A（﹣3，1），
∴a（﹣3+1）2﹣1＝1，
解得：a＝；
②∵A（﹣3，1），对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，1），
当k＞0时，
二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象经过A（﹣3，1）时，1＝9k﹣3k，解得k＝，
二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象经过B（1，1）时，1＝k+k，解得k＝，
∴，
当k＜0时，
∵二次函数C2：y2＝kx2+kx＝k（x+ ）2﹣k，
∴﹣k＝1，
∴k＝﹣4，
综上所述，
二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，k的取值范围是或k＝﹣4．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值问题，轴对称的性质等，分类讨论是解题的关键．
27．（5分）已知，在等边△ABC中，AB＝2，D，E分别是AB，BC的中点（如图1）．若将△BDE绕点B逆时针旋转，得到△BD1E1，设旋转角为α（0°＜α＜180°），记射线CE1与AD1的交点为P．
（1）判断△BDE的形状；
（2）在图2中补全图形，
①猜想在旋转过程中，线段CE1与AD1的数量关系并证明；
②求∠APC的度数；
（3）点P到BC所在直线的距离的最大值为 2 ．（直接填写结果）
【分析】（1）由D，E分别是AB，BC的中点得到BE＝BC，BD＝BA，加上△ABC为等边三角形，则∠B＝60°，BA＝BC，所以BD＝BE，于是可判断△BDE为等边三角形；
（2）①根据旋转的性质得△BD1E1为等边三角形，则BD1＝BE1，∠D1BE1＝60°，而∠ABC＝60°，所以∠ABD1＝∠CBE1，则路旋转的定义，△ABD1可由△CBE1绕点B逆时针旋转得到，然后根据旋转的性质得CE1＝AD1；
②由于△ABD1可由△CBE1绕点B逆时针旋转得到∠BAD1＝∠BCE1，然后根据三角形内角和定理和得∠APC＝∠ABC＝60°；、
（3）由于∠APC＝∠D1BE1＝60°，则可判断点P、D1、B、E1共圆，于是可判断当BP⊥BC时，点P到BC所在直线的距离的最大值，此时点E1在AB上，然后利用含30度的直角三角形三边的关系可得点P到BC所在直线的距离的最大值．
【解答】解：（1）∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴BE＝BC，BD＝BA，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，BA＝BC，
∴BD＝BE，
∴△BDE为等边三角形；
（2）①CE1＝AD1．理由如下：
∵△BDE绕点B逆时针旋转，得到△BD1E1，
∴△BD1E1为等边三角形，
∴BD1＝BE1，∠D1BE1＝60°，
而∠ABC＝60°，
∴∠ABD1＝∠CBE1，
∴△ABD1可由△CBE1绕点B逆时针旋转得到，
∴CE1＝AD1；
②∵△ABD1可由△CBE1绕点B逆时针旋转得到，
∴∠BAD1＝∠BCE1，
∴∠APC＝∠ABC＝60°；
（3）∵∠APC＝∠D1BE1＝60°，
∴点P、D1、B、E1共圆，
∴当BP⊥BC时，点P到BC所在直线的距离的最大值，此时点E1在AB上，
在Rt△PBC中，PB＝AB＝×2＝2，
∴点P到BC所在直线的距离的最大值为2．
故答案为2．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了等边三角形的性质．
28．（5分）阅读下面的材料：
小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y＝x2﹣6x+7的最大值．他画图研究后发现，x＝1和x＝5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．
他的解答过程如下：
∵二次函数y＝x2﹣6x+7的对称轴为直线x＝3，
∴由对称性可知，x＝1和x＝5时的函数值相等．
∴若1≤m＜5，则x＝1时，y的最大值为2；
若m≥5，则x＝m时，y的最大值为m2﹣6m+7．
请你参考小明的思路，解答下列问题：
（1）当﹣2≤x≤4时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为 49 ；
（2）若p≤x≤2，求二次函数y＝2x2+4x+1的最大值；
（3）若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为 1或﹣5 ．
【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，然后确定当x＝4时取得最大值，代入函数解析式进行计算即可得解；
（2）先求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，再根据对称性可得x＝﹣4和x＝2时函数值相等，然后分p≤﹣4，﹣4＜p≤2讨论求解；
（3）根据（2）的思路分t＜﹣2，t≥﹣2时两种情况讨论求解．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴当﹣2≤x≤4时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为：2×42+4×4+1＝49；
（2）∵二次函数y＝2x2+4x+1的对称轴为直线x＝﹣1，
∴由对称性可知，当x＝﹣4和x＝2时函数值相等，
∴若p≤﹣4，则当x＝p时，y的最大值为2p2+4p+1，
若﹣4＜p≤2，则当x＝2时，y的最大值为17；
（3）t＜﹣2时，最大值为：2t2+4t+1＝31，
整理得，t2+2t﹣15＝0，
解得t1＝3（舍去），t2＝﹣5，
t≥﹣2时，最大值为：2（t+2）2+4（t+2）+1＝31，
整理得，（t+2）2+2（t+2）﹣15＝0，
解得t1＝1，t2＝﹣7（舍去），
所以，t的值为1或﹣5．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的对称性，确定出抛物线的对称轴解析式是确定p和t的取值范围的关键，难点在于读懂题目信息．
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