2022-2023学年北京市西城区育才学校九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市西城区育才学校九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．一元二次方程2x2+x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，1，5B．2，1，﹣5C．2，0，﹣5D．2，0，5
2．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2+3B．y＝x2﹣3C．y＝（x+3）2D．y＝（x﹣3）2
4．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（3，2）D．（﹣2，﹣3）
5．用配方法解方程x2+4x＝1，变形后结果正确的是（ ）
A．（x+2）2＝5B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝5D．（x﹣2）2＝2
6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，Δ＝b2﹣4ac，则下列四个选项正确的是（ ）
A．b＜0，c＜0，Δ＞0B．b＞0，c＜0，Δ＜0
C．b＞0，c＜0，Δ＞0D．b＜0，c＞0，Δ＜0
7．二次函数y＝﹣x2+2x+4的最大值为（ ）
A．﹣2B．2C．5D．9
8．小高发现，用微波炉加工爆米花时，时间太短，一些颗粒没有充分爆开，时间太长，就糊了．如果将爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a、b、c是常数），小高记录了三次实验的数据（如图）．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟
二、填空题
9．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2的顶点坐标是 ．
10．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个根为x＝1，则m的值为 ．
11．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式： ．
12．若二次函数y＝2x2﹣3的图象上有两个点A（﹣3，m）、B（2，n），则m n（填“＜”或“＝”或“＞”）．
13．把二次函数y＝x2﹣6x+5配成y＝（x﹣h）2+k的形式是 ．
14．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，若∠DAE＝110°，∠B＝40°，则∠C的度数为 ．
15．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是 ．
16．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，0）．P是第一象限内任意一点，连接PO，PA．若∠POA＝m°，∠PAO＝n°，则我们把P（m°，n°）叫做点P的“双角坐标”．
（1）点（1，1）的“双角坐标”为 ；
（2）若点P到x轴的距离为，则m+n的最小值为 ．
三、解答题
17．解下列一元二次方程：
（1）x2﹣8x＝0；
（2）x2+6x+4＝0．
18．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+5m的图象经过点（1，﹣2）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的对称轴．
19．已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．
（1）与x轴的交点坐标是 ，顶点坐标是 ；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
（3）结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是 ．
20．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少米？
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3），将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA′B′，点A旋转后的对应点为A′．
（1）画出旋转后的△OA′B′；
（2）写出点B′的坐标．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于2，求k的取值范围．
23．小聪是一名爱学习的孩子，他学习完二次函数后对函数y＝x2（x﹣3）的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：
其中m＝ ；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质 ；
（4）进一步探究函数图象发现：
函数图象与x轴有交点，所以对应的方程x2（x﹣3）＝0有 个互为不相等的实数根，请写出其中一个根为 ．
24．某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
25．体育课上，一名九年级学生测试扔实心球．已知实心球经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处A点距离地面的高度为2米，当球运行的水平距离为4米时，到达最大高度为4米的B处（如图所示）．
（1）以D为原点，CD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在图中画出坐标系，点B的坐标为 ；
（2）请你计算该学生把实心球扔出多远？（结果保留根号）
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣4mx+2m﹣1（m≠0）与平行于x轴的一条直线交于A，B两点．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）如果点A的坐标是（﹣1，﹣2），求点B的坐标；
（3）抛物线的对称轴交直线AB于点C，如果直线AB与y轴交点的纵坐标为﹣1，且抛物线顶点D到点C的距离大于2，求m的取值范围．
27．已知：在Rt△ABC中，斜边AB＝10，在射线AC上取一点D，使AB＝AD．射线BC上取一点E，使AB＝BE，直线AE、BD交于点F，点E关于直线BF的对称点为E'．
（1）如图，当AC＝BC时，请你直接写出∠F的度数 ；
（2）如图，当∠BAC＝60°时，请你直接写出EE'的长度 ；
（3）在图中，探索EF与BD的数量关系，并对你的结论进行证明．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：若y'＝，则称点Q为点P的“可控变点”．
例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．
（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为 ；
（2）若点P在函数y＝﹣x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′是7，求“可控变点”Q的横坐标；
（3）若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16＜y′≤16，求实数a的取值范围．
2022-2023学年北京市西城区育才学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．一元二次方程2x2+x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，1，5B．2，1，﹣5C．2，0，﹣5D．2，0，5
【分析】根据多项式的项和单项式的系数定义得出答案即可．
【解答】解：一元二次方程2x2+x﹣5＝0的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，1，﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查了单项式的系数定义，多项式的项的定义和一元二次方程的一般形式，注意：找多项式的各项系数时带着前面的符号．
2．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2+3B．y＝x2﹣3C．y＝（x+3）2D．y＝（x﹣3）2
【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．
【解答】解：∵抛物线y＝x2向上平移3个单位，
∴平移后的解析式为：y＝x2+3．
故选：A．
【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质，熟练记忆平移规律是解题关键．
4．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（3，2）D．（﹣2，﹣3）
【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．由此可求点A关于原点对称的点的坐标．
【解答】解：∵点A（2，3），
∴A点关于原点对称的点为（﹣2，﹣3），
故选：D．
【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键．
5．用配方法解方程x2+4x＝1，变形后结果正确的是（ ）
A．（x+2）2＝5B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝5D．（x﹣2）2＝2
【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：x2+4x＝1，
则x2+4x+4＝1+4，即（x+2）2＝5，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的方法﹣﹣配方法，掌握配方法是解本题的关键．
6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，Δ＝b2﹣4ac，则下列四个选项正确的是（ ）
A．b＜0，c＜0，Δ＞0B．b＞0，c＜0，Δ＜0
C．b＞0，c＜0，Δ＞0D．b＜0，c＞0，Δ＜0
【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定b的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定Δ的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案．
【解答】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴﹣＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴c＜0，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与系数的关系，牢记抛物线的对称轴公式．
7．二次函数y＝﹣x2+2x+4的最大值为（ ）
A．﹣2B．2C．5D．9
【分析】将y＝﹣x2+2x+4化成顶点式y＝﹣（x﹣1）2+5，确定最值即可．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+4化成顶点式y＝﹣（x﹣1）2+5，
∴抛物线开口向下，顶点为（1，5），
∴函数的最大值为5，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数化成顶点式，熟练掌握配方法化二次函数的一般式为顶点式是解题的关键．
8．小高发现，用微波炉加工爆米花时，时间太短，一些颗粒没有充分爆开，时间太长，就糊了．如果将爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a、b、c是常数），小高记录了三次实验的数据（如图）．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟
【分析】由题意函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数）经过点（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5），列出方程组，推导出p＝﹣0.2t2+1.5t﹣2.2＝﹣0.2（t﹣3.75）2+0.8125，由此能得到最佳加工时间．
【解答】解：由题意函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数）经过点（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5），
代入得：，
解得：，
∴p＝﹣0.2t2+1.5t﹣2＝﹣0.2（t﹣3.75）2+0.8125，
∴得到最佳加工时间为3.75分钟．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用二次函数的图象和性质求最值问题是解题的关键．
二、填空题
9．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2的顶点坐标是 （1，2） ．
【分析】直接根据顶点式的特点求顶点坐标．
【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+2是抛物线的顶点式，
∴顶点坐标为（1，2）．
故答案为（1，2）．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
10．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个根为x＝1，则m的值为 1 ．
【分析】把x＝1代入方程x2﹣2x+m＝0得1﹣2+m＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣2x+m＝0得1﹣2+m＝0，
解得m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式： y＝x2+2 ．
【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是正数，c＝2即可．
【解答】解：开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式可以为y＝x2+2，
故答案为：y＝x2+2（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
12．若二次函数y＝2x2﹣3的图象上有两个点A（﹣3，m）、B（2，n），则m ＞ n（填“＜”或“＝”或“＞”）．
【分析】把点的坐标代入函数解析式可求得m、n的值，再进行比例大小即可．
【解答】解：
∵A（﹣3，m）、B（2，n）在函数y＝2x2﹣3的图象上，
∴m＝2×（﹣3）2﹣3＝15，n＝2×22﹣3＝5，
∴m＞n，
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
13．把二次函数y＝x2﹣6x+5配成y＝（x﹣h）2+k的形式是 y＝（x﹣3）2﹣4 ．
【分析】用配方法二次函数y＝x2﹣6x+5可化为y＝x2﹣6x+9﹣4，即y＝（x﹣3）2﹣4．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣6x+5配成顶点式为y＝（x﹣3）2﹣4，
故答案是：y＝（x﹣3）2﹣4．
【点评】考查了二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
14．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，若∠DAE＝110°，∠B＝40°，则∠C的度数为 30° ．
【分析】由旋转的性质可得∠DAE＝∠BAC，由三角形的内角和定理即可求解．
【解答】解：将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝110°，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣40°﹣110°＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
15．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是 x＜﹣1或x＞3 ．
【分析】先求出抛物线与x轴另一交点的坐标，再利用函数图象即可而出结论．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，
∴抛物线与x轴另一交点的坐标是（3，0），
∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．
故答案为：x＜﹣1或x＞3．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式，能根据题意利用数形结合求出x的取值范围是解答此题的关键．
16．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，0）．P是第一象限内任意一点，连接PO，PA．若∠POA＝m°，∠PAO＝n°，则我们把P（m°，n°）叫做点P的“双角坐标”．
（1）点（1，1）的“双角坐标”为 P（45°，90°） ；
（2）若点P到x轴的距离为，则m+n的最小值为 90° ．
【分析】（1）设（1，1）为定点P，则PA⊥x轴，PA＝OA＝1，从而∠POA＝45°，∠PAO＝90°，根据定义解答即可．
（2）根据题意，m+n最小时，就是∠OPA的度数最大，以AO为直径作圆，与直线切于点P，此时∠OPA的值最大，结合AO为直径，得到∠OPA为直角，计算即可．
【解答】解：（1）如图，设（1，1）为定点P，
则PA⊥x轴，PA＝OA＝1，
所以∠POA＝45°，∠PAO＝90°，
点（1，1）的“双角坐标”为P（45°，90°），
故答案为：P（45°，90°）．
（2）根据题意，m+n最小时，
所以∠OPA的度数最大，以AO为直径作圆，与直线切于点P，
此时∠OPA的值最大，
设P1是直线的异于点P的任意一点，
连接P1O，交圆于点B，
连接AB，
因为AO为直径，
所以∠OPA＝∠OBA＝90°，
因为∠OBA是△P1BA的外角，
所以∠OBA＞∠BP1A，
故∠OPA的值最大，
所以m+n最小，且最小为90°．
故答案为：90°．
【点评】本题考查了圆的基本性质，等腰直角三角形的性质，反证法，熟练掌握定义，灵活运用所学知识是解题的关键．
三、解答题
17．解下列一元二次方程：
（1）x2﹣8x＝0；
（2）x2+6x+4＝0．
【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为x＝0或x﹣8＝0，然后解一次方程即可；
（2）利用配方法得到（x+3）2＝5，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣8x＝0，
x（x﹣8）＝0，
x＝0或x﹣8＝0，
所以x1＝0，x2＝8；
（2）x2+6x+4＝0，
x2+6x＝﹣4，
x2+6x+9＝﹣4+9，
（x+3）2＝5，
x+3＝±，
所以x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
18．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+5m的图象经过点（1，﹣2）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的对称轴．
【分析】（1）把点（1，﹣2）代入函数关系式进行计算即可；
（2）根据对称轴公式进行计算即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣2mx+5m的图象经过点（1，﹣2），
∴﹣2＝1﹣2m+5m，
解得m＝﹣1．
∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣5；
（2）∵a＝1，b＝2，
∴＝＝﹣1，
∴二次函数图象的对称轴直线为：x＝﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．
（1）与x轴的交点坐标是 （﹣1，0），（3，0） ，顶点坐标是 （1，﹣4） ；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
（3）结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是 ﹣4＜y＜5 ．
【分析】（1）根据抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可以求得抛物线与x轴和y轴的交点；
（2）根据第一问中的三个坐标和二次函数图象具有对称性，在表格中填入合适的数据，然后再描点作图即可；
（3）根据第二问中的函数图象结合对称轴可以直接写出答案．
【解答】解：（1）令y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3．
解得x1＝﹣1，x2＝3．
抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点的坐标为（﹣1，0），（3，0）．
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）x2﹣4，
所以它的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）列表：
图象如图所示：
；
（3）当﹣2＜x≤1时，﹣4≤y＜5；
当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3，
综上所述，﹣4≤y＜5．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与x轴、y轴的交点、求顶点坐标，画二次函数的图象，关键是可以根据图象得出所求问题的答案．
20．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少米？
【分析】设路宽为x，则道路面积为30x+20x﹣x2，所以所需耕地面积551＝20×30﹣（30x+20x﹣x2），解方程即可．
【解答】解：设修建的路宽为x米．
则列方程为20×30﹣（30x+20x﹣x2）＝551，
解得x1＝49（舍去），x2＝1．
答：修建的道路宽为1米．
【点评】本题涉及一元二次方程的应用，难度中等．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，﹣3），将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA′B′，点A旋转后的对应点为A′．
（1）画出旋转后的△OA′B′；
（2）写出点B′的坐标．
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）由图可得答案．
【解答】解：（1）如图，△OA′B′即为所求．
（2）由图可得，点B′的坐标为（﹣3，﹣4）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于2，求k的取值范围．
【分析】（1）根据根的判别式：Δ＝[﹣（k+4）]2﹣16k＝k2﹣8k+16＝（k﹣4）2≥0，即可得到结论；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝4、x2＝k，根据方程有一根小于2，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+4）]2﹣16k＝k2﹣8k+16＝（k﹣4）2≥0，
∴无论k为任何实数时，此方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2﹣（k+4）x+4k＝0，
∴（x﹣4）（x﹣k）＝0，
∴x1＝4，x2＝k．
∵方程有一根小于2，
∴k＜2，
∴k的取值范围为k＜2．
【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于2，找出关于k的一元一次不等式．
23．小聪是一名爱学习的孩子，他学习完二次函数后对函数y＝x2（x﹣3）的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：
其中m＝ ﹣2 ；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质 当x＜0或x＞2时，y随x的增大而增大；当0＜x＜2时，y随x的增大而减小 ；
（4）进一步探究函数图象发现：
函数图象与x轴有交点，所以对应的方程x2（x﹣3）＝0有 2 个互为不相等的实数根，请写出其中一个根为 0或3 ．
【分析】（1）求当x＝1时的函数值即可；
（2）按照自变量从小到大的顺序用平滑的曲线依次连接起来即可；
（3）结合函数的图象，根据自变量的属性，分段描述性质即可；
（4）求得y＝x2（x﹣3）与x轴的交点的横坐标即可．
【解答】解：（1）当x＝1时，y＝x2（x﹣3）
＝1×（1﹣3）＝﹣2．
故答案为：﹣2．
（2）根据列表，描点，画图象如下：
（3）观察函数图象，当x＜0或x＞2时，y随x的增大而增大；
当0＜x＜2时，y随x的增大而减小，
故答案为：当x＜0或x＞2时，y随x的增大而增大；当0＜x＜2时，y随x的增大而减小，
（4）因为x2（x﹣3）＝0，
所以x2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝x2＝0或x3＝3，
故有2个不同的实数根，分别为0或3，
故答案为：2；0或 3．
【点评】本题考查了函数值的计算，描点法画函数图象，图象的性质，图象与x轴的交点，熟练掌握所学相关知识是解题的关键．
24．某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）用每双手套的利润乘以销售量得到每天的利润；
（2）由（1）得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价．
【解答】解：（1）y＝w（x﹣20）
＝（﹣2x+80）（x﹣20）
＝﹣2x2+120x﹣1600；
（2）y＝﹣2（x﹣30）2+200．
∵20≤x≤40，a＝﹣2＜0，
∴当x＝30时，y最大值＝200．
答：当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，（1）根据题意得到二次函数．（2）利用二次函数的性质求出最大值．
25．体育课上，一名九年级学生测试扔实心球．已知实心球经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处A点距离地面的高度为2米，当球运行的水平距离为4米时，到达最大高度为4米的B处（如图所示）．
（1）以D为原点，CD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在图中画出坐标系，点B的坐标为 （4，4） ；
（2）请你计算该学生把实心球扔出多远？（结果保留根号）
【分析】（1）建立坐标系，画出函数图象，由题意得出B的坐标；
（2）用待定系数法求出函数解析式，并令y＝0，解方程即可．
【解答】解：（1）以D为原点，以DC所在直线为x轴，过点D作垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如下图所示，
∴B（4，4），
故答案为：（4，4）．
（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+4（a≠0），
∵A（0，2）在抛物线上，
∴2＝a（0﹣4）2+4，
解得，a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣4）2+4，
将y＝0代入，得﹣（x﹣4）2+4＝0，
解得，x1＝4﹣4（舍去）或x2＝4+4，
∴CD＝4+4．
答：该同学把实心球扔出米．
【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求二次函数的解析式是解此题的关键．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣4mx+2m﹣1（m≠0）与平行于x轴的一条直线交于A，B两点．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）如果点A的坐标是（﹣1，﹣2），求点B的坐标；
（3）抛物线的对称轴交直线AB于点C，如果直线AB与y轴交点的纵坐标为﹣1，且抛物线顶点D到点C的距离大于2，求m的取值范围．
【分析】（1）化成顶点式即可求得；
（2）根据轴对称的特点求得即可；
（3）求得顶点坐标，根据题意求得C的坐标，分两种情况表示出顶点D到点C的距离，列出不等式，解不等式即可求得．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣4mx+2m﹣1＝m（x﹣2）2﹣2m﹣1，
∴对称轴为x＝2；
（2）∵抛物线是轴对称图形，
∴点A点B关于x＝2轴对称，
∵A（﹣1，﹣2），
∴B（5，﹣2）．
（3）∵抛物线y＝mx2﹣4mx+2m﹣1＝m（x﹣2）2﹣2m﹣1，
∴顶点D（2，﹣2m﹣1）．
∵直线AB与y轴交点的纵坐标为﹣1，
∴C（2，﹣1）．
∵顶点D到点C的距离大于2，
∴﹣2m﹣1+1＞2或﹣1+2m+1＞2，
∴m＜﹣1或m＞1．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，把解析式化成顶点式解题的关键．
27．已知：在Rt△ABC中，斜边AB＝10，在射线AC上取一点D，使AB＝AD．射线BC上取一点E，使AB＝BE，直线AE、BD交于点F，点E关于直线BF的对称点为E'．
（1）如图，当AC＝BC时，请你直接写出∠F的度数 45° ；
（2）如图，当∠BAC＝60°时，请你直接写出EE'的长度 10 ；
（3）在图中，探索EF与BD的数量关系，并对你的结论进行证明．
【分析】（1）根据等腰三角形的两个底角相等，结合∠BAC＝∠ABC＝45°，得到∠BAF＝∠FBA＝67.5°，根据三角形内角和定理计算即可；
（2）根据∠BAC＝60°，得到∠ABC＝30°，根据AB＝AD，得到△ABD是等边三角形，得到∠DBC＝30°，根据对称，得到∠E'BD＝30°得到∠E'BE＝60°，结合BE'＝BE，得到△BEE'是等边三角形，从而得到EE'＝BE＝AB＝10；
（3）设∠ABC＝α，∠BAC＝β，得证，取AE的中点E，连接BN，则BN满足等腰三角形的三线合一性质，过点D作DM∥AF，得证△BDM是等腰直角三角形，可证△BME≌△DMA，得证，得证∠NEM＝∠NME＝∠F＝45°，从而证明ME∥DF，得到平行四边形FDME，得证DM＝EF，根据，代换得证．
【解答】解：（1）如图，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∵AB＝AD，
∴∠BDA＝∠DBA＝67.5°，
∵AB＝BE，
∴∠BEA＝∠BAE＝67.5°，
∴∠BAF＝∠FBA＝67.5°，
∴∠F＝180°﹣∠FBA﹣∠BAF＝45°，
故答案为：45°；
（2）如图，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∵AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∵∠ABD＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∵点E关于直线BF的对称点为E'．
∴∠E'BD＝30°，
∴∠E'BE＝60°，
∵BE'＝BE，
∴△BEE'是等边三角形，
∴EE'＝BE＝AB＝10，
故答案为：10；
（3）EF与BD的数量关系是：，理由如下：
设∠ABC＝α，∠BAC＝β，
则α+β＝90°；
∵AB＝AD，
∴，
∵AB＝BE，
∴，
∵．
取AE的中点N，连接BN，
∵AB＝BE，
∴∠ABN＝∠EBN，∠EBN＝∠BNE＝90°
∵直线BN是线段AE的垂直平分线，
过点D作DM∥AF，交BN于点M，
∵∠BDM＝∠F＝45°，∠BMD＝∠BNE＝90°，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∴MB＝MD，，
连接MA，ME，
则MA＝ME，
∵BE＝AD，
∴△BME≌△DMA，
∴∠DAM＝∠BEM，
同理可证，△ABM≌△EBM，
∴∠BAM＝∠BEM，
∴，
∴，
∴∠NEM＝∠NME＝∠F＝45°，
∴ME∥DF，
∴四边形FDME是平行四边形，
∴DM＝EF，
∴．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等哟三角形的性质，熟练掌握上述各性质是解题的关键．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：若y'＝，则称点Q为点P的“可控变点”．
例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．
（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为 （﹣5，2） ；
（2）若点P在函数y＝﹣x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′是7，求“可控变点”Q的横坐标；
（3）若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16＜y′≤16，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据定义直接解答即可；
（2）根据定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【解答】解：（1）∵﹣5＜0，
∴y'＝﹣y＝2，
∴点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为（﹣5，2），
故答案为：（﹣5，2）；
（2）依题意，y＝﹣x2+16图象上的点P的“可控变点”必在函数的图象上．
∵“可控变点”Q的纵坐标y′是7，
∴当﹣x2+16＝7时，解得x＝3；
当x2﹣16＝7，解得x＝﹣；
综上所述“可控变点”Q的横坐标为﹣或3；
（3）依题意，y＝﹣x2+16图象上的点P的“可控变点”必在函数的图象上，
∵﹣16＜y'≤16，
∴﹣16＝﹣x2+16，
∴x＝，
当x＝﹣5时，x2﹣16＝9，
当y'＝9时，x＝，
∴a的取值范围是：．
【点评】本题考查的是新定义题型，根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/11 11:48:11；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111x
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