2023年北京师大二附中西城实验学校中考数学零模试卷(含答案)

这是一份2023年北京师大二附中西城实验学校中考数学零模试卷(含答案)，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年北京师大二附中西城实验学校中考数学零模试卷
一、选择题
1．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）北京冬奥村是2022年北京冬季奥运会、冬残奥会最大的非竞赛类场馆之一，总建筑面积约38.66万平方米．其中38.66万用科学记数法可表示为（　　）
A．0.3866×106 B．3.9×105 C．3.866×105 D．38.66×104
3．（3分）如图是一个由5个小正方体和1个圆锥组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）如图，在⊙O中，AD是直径，∠ABC＝35°，则∠CAD等于（　　）

A．75° B．65° C．55° D．45°
5．（3分）学校组织春游，安排给九年级三辆车，小明和小慧都可以从这三辆车中任选辆乘坐，小明和小慧乘坐同一辆车的概率是（　　）

A． B． C． D．
6．（3分）如果，那么代数式的值为（　　）
A．3 B． C． D．
7．（3分）如图是30名学生A，B两门课程成绩的统计图，若记这30名学生A课程成绩的方差为，B课程成绩的方差为，则，的大小关系为（　　）

A． B．
C． D．不确定
8．（3分）如图①，底面积为30cm2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（　　）cm2．
​
A．24 B．12 C．18 D．21
二、填空题
9．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
10．（3分）分解因式：4a2﹣28ab＝　 　．
11．（3分）写出一个函数，满足当x＞0时，y随x的增大而减小且图象过（1，3），则这个函数的表达式为　 　．
12．（3分）有一圆柱形木材，埋在墙壁中，其横截面如图所示，测得木材的半径为15cm，露在墙体外侧的弦长AB＝18cm，其中半径OC垂直平分AB，则埋在墙体内的弓形高CD＝　 　cm．

13．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：九百九十文钱共买一千个苦果和甜果，其中四文钱可买苦果七个，十一文钱可买甜果九个．问苦、甜果各几个？设苦果x个，甜果y个，则可列方程为 　 　．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是 　 　．

15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点E，F分别是边AC和AB上的点，点A关于EF的对称点D恰好落在BC边上，当△BDF是直角三角形时，CD的长是 　 　．

16．（3分）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝2，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（Q点为切点），则切线长PQ的最小值为　 　．

三、解答题
17．（1）|1﹣|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1；
（2）解不等式组：．
18．已知x2+2x﹣1＝0，求代数式（x+1）2+x（x+4）+（x﹣3）（x+3）的值．
19．关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
20．先阅读下列材料，再解答问题．
尺规作图
已知：△ABC，D是边AB上一点，如图1，
求作：四边形DBCF，使得四边形DBCF是平行四边形．
小明的做法如下：
（1）设计方案
先画一个符合题意的草图，如图2，再分析实现目标的具体方法，
依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）设计作图步骤，完成作图
作法：如图3，
①延长BC至点E；
②分别作∠ECP＝∠EBA，∠ADQ＝∠ABE；
③DQ与CP交于点F．
∴四边形DBCF即为所求．
（3）推理论证
证明：∵∠ECP＝∠EBA，
∴CP∥BA．
同理，DQ∥BE．
∴四边形DBCF是平行四边形．
请你参考小明的做法，再设计一种尺规作图的方法（与小明的方法不同），使得画出的四边形DBCF是平行四边形，并证明．

21．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+b经过点（0，2）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＜4时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+b的值与函数y＝kx﹣k的值之和都大于0，直接写出k的取值范围．
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．

23．为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图：

b．下表是这30名学生两次知识竞赛的获奖情况相关统计：

参与奖
优秀奖
卓越奖
第一次竞赛
人数
10
10
10
平均分
82
87
95
第二次竞赛
人数
2
12
16
平均分
84
87
93
（规定：分数≥90，获卓越奖；85≤分数＜90，获优秀奖；分数＜85，获参与奖）
c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：
90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98
d．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如表：

平均数
中位数
众数
第一次竞赛
m
87.5
88
第二次竞赛
90
n
91
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“〇”圈出代表小松同学的点；
（2）直接写出m，n的值；
（3）可以推断出第 　 　次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，理由是 　 　．
24．某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米，下面的表中记录了d与h的五组数据：
d（米）
0
1
2
3
4
h（米）
0.5
1.25
1.5
1.25
0.5
根据上述信息，解决以下问题：
（1）在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象；
（2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝　 　；
（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过，如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为1.5米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．

25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若AF＝6，⊙O的半径为5，求BE的长．

26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣3．
（1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）A（x1，y1），B（x2，y2）为该抛物线上的两点，若x1＝1﹣2a，x2＝a+1，且y1＞y2，求a的取值范围．
27．已知正方形ABCD，将边AB绕点A顺时针旋转α至线段AE，∠DAE的角平分线所在直线与直线BE相交于点F．过点C作直线BE的垂线CH，垂足为点H．
（1）当α为锐角时，依题意补全图形，并直接写出∠DEB的度数；
（2）在（1）的条件下，写出线段BE和FH之间的数量关系，并证明；
（3）设直线CH与直线DE相交于点P，若AB＝2，直接写出线段AP长的最大值和最小值．

28．对于平面内的点M和点N，给出如下定义：点P为平面内的一点，若点P使得△PMN是以∠M为顶角且∠M小于90°的等腰三角形，则称点P是点M关于点N的锐角等腰点．如图，点P是点M关于点N的锐角等腰点．M在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点．

（1）已知点A（2，0），在点P1（0，2），P2（1，），P3（﹣1，），P4（，﹣）中，是点O关于点A的锐角等腰点的是 　 　．
（2）已知点B（3，0），点C在直线y＝2x+b上，若点C是点O关于点B的锐角等腰点，求实数b的取值范围．
（3）点D是x轴上的动点，D（t，0），E（t﹣2，0），点F（m，n）是以D为圆心，2为半径的圆上一个动点，且满足n≥0．直线y＝﹣2x+4与x轴和y轴分别交于点H，K，若线段HK上存在点E关于点F的锐角等腰点，请直接写出t的取值范围．

2023年北京师大二附中西城实验学校中考数学零模试卷
（参考答案）
一、选择题
1．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
2．（3分）北京冬奥村是2022年北京冬季奥运会、冬残奥会最大的非竞赛类场馆之一，总建筑面积约38.66万平方米．其中38.66万用科学记数法可表示为（　　）
A．0.3866×106 B．3.9×105 C．3.866×105 D．38.66×104
【解答】解：38.66万＝386600＝3.866×105．
故选：C．
3．（3分）如图是一个由5个小正方体和1个圆锥组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形，右边是一个三角形．
故选：C．
4．（3分）如图，在⊙O中，AD是直径，∠ABC＝35°，则∠CAD等于（　　）

A．75° B．65° C．55° D．45°
【解答】解：∵∠ABC＝35°，
∴∠ADC＝∠ABC＝35°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠ADC＝55°．
故选：C．
5．（3分）学校组织春游，安排给九年级三辆车，小明和小慧都可以从这三辆车中任选辆乘坐，小明和小慧乘坐同一辆车的概率是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：列表如下（三辆车分别用1，2，3表示）：

1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
所有等可能的情况有9种，其中小明和小慧同车的情况有3种，
∴小明和小慧乘坐同一辆车的概率是＝，
故选：B．
6．（3分）如果，那么代数式的值为（　　）
A．3 B． C． D．
【解答】解：原式＝（+）•
＝•
＝a+1，
当a＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．
故选：B．
7．（3分）如图是30名学生A，B两门课程成绩的统计图，若记这30名学生A课程成绩的方差为，B课程成绩的方差为，则，的大小关系为（　　）

A． B．
C． D．不确定
【解答】解：方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大，
由图可知，B课程成绩的波动大，A课程成绩的波动小，
∴＜；
故选：A．
8．（3分）如图①，底面积为30cm2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（　　）cm2．
​
A．24 B．12 C．18 D．21
【解答】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm，
水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：42s﹣24s＝18（s），
这段高度为：14﹣11＝3（cm），
设匀速注水的水流速度为xcm3/s，则18•x＝30×3，
解得x＝5，
即匀速注水的水流速度为5cm3/s；
“几何体”下方圆柱的高为a，则a•（30﹣15）＝18×5，
解得a＝6，
所以“几何体”上方圆柱的高为11﹣6＝5（cm），
设“几何体”上方圆柱的底面积为Scm2，根据题意得5•（30﹣S）＝5×（24﹣18），
解得S＝24，
即“几何体”上方圆柱的底面积为24cm2．
故选：A．
二、填空题
9．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　x≠﹣1　．
【解答】解：由题意得，x+1≠0，
解得x≠﹣1．
故答案是：x≠﹣1．
10．（3分）分解因式：4a2﹣28ab＝　4a（a﹣7b）　．
【解答】解：原式＝4a（a﹣7b）．
故答案为：4a（a﹣7b）．
11．（3分）写出一个函数，满足当x＞0时，y随x的增大而减小且图象过（1，3），则这个函数的表达式为　如，答案不唯一　．
【解答】解：符合题意的函数解析式可以是y＝，y＝﹣x+4，y＝﹣x2+4等，（本题答案不唯一）
故答案为：如，答案不唯一；
12．（3分）有一圆柱形木材，埋在墙壁中，其横截面如图所示，测得木材的半径为15cm，露在墙体外侧的弦长AB＝18cm，其中半径OC垂直平分AB，则埋在墙体内的弓形高CD＝　3　cm．

【解答】解：在Rt△ADO中，DO＝＝＝12（cm），
则CD＝CO﹣DO＝15﹣12＝3（cm），
故答案为：3．
13．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：九百九十文钱共买一千个苦果和甜果，其中四文钱可买苦果七个，十一文钱可买甜果九个．问苦、甜果各几个？设苦果x个，甜果y个，则可列方程为 　　．
【解答】解：∵共买了一千个苦果和甜果，
∴x+y＝1000；
∵共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，
∴x+y＝999．
∴可列方程组为．
故答案为：．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是 　15°或75°　．

【解答】解：如图所示，

当点P在点B的左侧时，
∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∵CA＝CP1，
∴∠CAP1＝∠CP1A＝，
∴∠BAP1＝∠CAP1−∠CAB＝55°−40°＝15°；
当点P在点C的右侧时，
∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°−∠ACB−∠ABC＝180°−70°−70°＝40°，
∵CA＝CP2，
∴∠CAP2＝∠CP2A＝，
∴∠BAP2＝∠CAP2+∠CAB＝35°+40°＝75°，
由上可得，∠BAP的度数是15°或75°，
故答案为15°或75°．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点E，F分别是边AC和AB上的点，点A关于EF的对称点D恰好落在BC边上，当△BDF是直角三角形时，CD的长是 　3或　．

【解答】解：当∠BDF＝90°时，
∵点A关于EF的对称点D恰好落在BC边上，
∴AE＝DE，AF＝DF，∠AEF＝∠DEF，
∵∠C＝90°＝∠FDB，
∴AC∥DF，
∴∠AEF＝∠DFE，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴DE＝DF，
∴AE＝DE＝DF＝AF，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
设AE＝DE＝DF＝AF＝x，
∵AC∥DF，
∴△BDF∽△BCA，
∴＝，即＝，
解得x＝，
∴AE＝DE＝，
∴CE＝AC﹣AE＝，
在Rt△DCE中，
CD＝＝＝3；
当∠BFD＝90°时，连接AD，如图：

∵点A关于EF的对称点D恰好落在BC边上，
∴AF＝DF，
∵∠DFB＝∠C＝90°，∠B＝∠B，
∴△BDF∽△BAC，
∴AC：BC：AB＝6：8：10＝3：4：5＝DF：BF：BD，
设DF＝3m，则BF＝4m，BD＝5m，
∴AF＝10﹣4m，
∴3m＝10﹣4m，
解得m＝，
∴BD＝，
∴CD＝BC﹣BD＝8﹣＝，
故答案为：3或．
16．（3分）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝2，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（Q点为切点），则切线长PQ的最小值为　　．

【解答】解：连接OP、OQ，如图所示，
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，
根据勾股定理知：PQ2＝OP2﹣OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝2，
∴AB＝OA＝4，
∴S△AOB＝OA•OB＝AB•OP，即OP＝＝2，
∴PQ＝＝＝．
故答案为：

三、解答题
17．（1）|1﹣|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）|1﹣|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1
＝﹣1﹣1+2×+4
＝﹣1﹣1++4
＝2+2；
（2），
解第一个不等式得x＜2，
解第二个不等式得x≥﹣1．
故不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
18．已知x2+2x﹣1＝0，求代数式（x+1）2+x（x+4）+（x﹣3）（x+3）的值．
【解答】解：（x+1）2+x（x+4）+（x﹣3）（x+3）
＝x2+2x+1+x2+4x+x2﹣9
＝3x2+6x﹣8，
∵x2+2x﹣1＝0，
∴x2+2x＝1，
∴原式＝3（x2+2x）﹣8
＝3×1﹣8
＝3﹣8
＝﹣5．
19．关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
【解答】（1）证明：依题意，得Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）
＝m2+6m+9﹣4m﹣8
＝（m+1）2．
∵（m+1）2≥0，
∴△≥0．
∴方程总有两个实数根．

（2）解：解方程，得x1＝1，x2＝m+2，
∵方程的两个实数根都是正整数，
∴m+2≥1．
∴m≥﹣1．
∴m的最小值为﹣1．
20．先阅读下列材料，再解答问题．
尺规作图
已知：△ABC，D是边AB上一点，如图1，
求作：四边形DBCF，使得四边形DBCF是平行四边形．
小明的做法如下：
（1）设计方案
先画一个符合题意的草图，如图2，再分析实现目标的具体方法，
依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）设计作图步骤，完成作图
作法：如图3，
①延长BC至点E；
②分别作∠ECP＝∠EBA，∠ADQ＝∠ABE；
③DQ与CP交于点F．
∴四边形DBCF即为所求．
（3）推理论证
证明：∵∠ECP＝∠EBA，
∴CP∥BA．
同理，DQ∥BE．
∴四边形DBCF是平行四边形．
请你参考小明的做法，再设计一种尺规作图的方法（与小明的方法不同），使得画出的四边形DBCF是平行四边形，并证明．

【解答】解：（1）设计方案
先画一个符合题意的草图，如图2，再分析实现目标的具体方法，
依据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
（2）设计作图步骤，完成作图
作法：如图，

①以点C为圆心，BD长为半径画弧；
②以点D为圆心，BC长为半径画弧，；
③两弧交于点F．
∴四边形DBCF即为所求．
（3）推理论证
证明：∵CF＝BD，DF＝BC．
∴四边形DBCF是平行四边形．
21．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+b经过点（0，2）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＜4时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+b的值与函数y＝kx﹣k的值之和都大于0，直接写出k的取值范围．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+b经过点（0，2），
∴将点（0，2）代入y＝﹣x+b，
得b＝2，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+2．
（2）令y1＝﹣x+2，y2＝kx﹣k，
∴y1+y2＝﹣x+2+kx﹣k＝（k﹣1）x+2﹣k，
∵当x＜4时，（k﹣1）x+2﹣k＞0，
∴k﹣1＜0，解得k＜1，
解（k﹣1）x+2﹣k＞0，得x＜，
∴≥4，
∴解得k≥，
当k＝1时，
y1+y2＝﹣x+2+x﹣1＝2＞0，满足题意
综上，k的取值范围是≤k≤1．
22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，
∴AD＝AB＝BC＝10，
∵EC＝4，
∴BE＝10﹣4＝6，
在Rt△ABE中，AE＝，
在Rt△AEC中，AC＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∴OE＝AC＝．
23．为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图：

b．下表是这30名学生两次知识竞赛的获奖情况相关统计：

参与奖
优秀奖
卓越奖
第一次竞赛
人数
10
10
10
平均分
82
87
95
第二次竞赛
人数
2
12
16
平均分
84
87
93
（规定：分数≥90，获卓越奖；85≤分数＜90，获优秀奖；分数＜85，获参与奖）
c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：
90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98
d．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如表：

平均数
中位数
众数
第一次竞赛
m
87.5
88
第二次竞赛
90
n
91
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“〇”圈出代表小松同学的点；
（2）直接写出m，n的值；
（3）可以推断出第 　二　次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，理由是 　第二次竞赛学生成绩的平均数、中位数、众数都高于第一次竞赛　．
【解答】解：（1）如图所示．

（2）m＝＝88，
∵第二次竞赛获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为：90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98，
∴第一和第二个数是30名学生成绩中第15和第16个数，
∴n＝（90+90）＝90，
∴m＝88，n＝90；
（3）可以推断出第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，理由是：第二次竞赛学生成绩的平均数、中位数、众数都高于第一次竞赛．
故答案为：二，第二次竞赛学生成绩的平均数、中位数、众数都高于第一次竞赛．
24．某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米，下面的表中记录了d与h的五组数据：
d（米）
0
1
2
3
4
h（米）
0.5
1.25
1.5
1.25
0.5
根据上述信息，解决以下问题：
（1）在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象；
（2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝　1.5　；
（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过，如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为1.5米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．

【解答】解：（1）以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示：

（2）根据题意可知，该抛物线的对称轴为x＝2，此时最高，
即m＝1.5，
故答案为：1.5；
（3）根据图象可设二次函数的解析式为：h＝a（d﹣2）2+1.5，
将（0，0.5）代入h＝a（d﹣2）2+1.5，得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：h＝﹣d2+d+0.5，
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：h＝﹣d2+d+0.5+n，
由题意可知，当横坐标为2+＝时，纵坐标的值大于1.5+0.5＝2，
∴﹣×（）2++0.5+n≥2，
解得n≥1.1，
∴水管高度至少向上调节1.1米，
∴0.5+1.1＝1.6（米），
∴公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到1.6米才能符合要求．
25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若AF＝6，⊙O的半径为5，求BE的长．

【解答】（1）证明：如图，连接EF，
∵∠BAC＝90°，
∴EF是⊙O的直径，
∴OA＝OE，
∴∠BAD＝∠AEO，
∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∴∠AEO＝∠B，
∴OE∥BC，
∵EG⊥BC，
∴OE⊥EG，
∵点E在⊙O上，
∴EG是⊙O的切线；

（2）∵⊙O的半径为5，
∴EF＝2OE＝10，
在Rt△AEF中，AF＝6，
根据勾股定理得，AE＝＝8，
由（1）知OE∥BC，
∵OA＝OD，
∴BE＝AE＝8．

26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣3．
（1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）A（x1，y1），B（x2，y2）为该抛物线上的两点，若x1＝1﹣2a，x2＝a+1，且y1＞y2，求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣3，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a；
（2）①当a＜x2＜x1时，y1＞y2，
则a+1＜1﹣2a，即a＜0；
②当x1﹣a＞a﹣x2时，y1＞y2，
则1﹣2a﹣a＞a﹣（a+1），即a＜；
③当x1﹣a＜a﹣x2时，y1＞y2，
则1﹣2a﹣a＜a﹣（a+1），即a＞，
综上，a＜0或a＞．
27．已知正方形ABCD，将边AB绕点A顺时针旋转α至线段AE，∠DAE的角平分线所在直线与直线BE相交于点F．过点C作直线BE的垂线CH，垂足为点H．
（1）当α为锐角时，依题意补全图形，并直接写出∠DEB的度数；
（2）在（1）的条件下，写出线段BE和FH之间的数量关系，并证明；
（3）设直线CH与直线DE相交于点P，若AB＝2，直接写出线段AP长的最大值和最小值．

【解答】解：（1）补全图形，如图所示，

连接DE，以AE为半径A为圆心作⊙A，如图所示，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵，
∴；
（2）BE＝2FH，
理由：如图所示，过点A作AM⊥EF于点M，连接AC，FC，DF，设ED，AF交于点G，

∵AB＝AE，AM⊥EF
∴EM＝MB，∠1＝∠2，
∵CH⊥BH，∴∠H＝∠AMB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBH＝90°﹣∠ABM＝∠1，
在△AMB，△BHC中，
，
∴△AMB≌△BHC（AAS），
∴BM＝CH，
∵AF平分∠EAD，又AE＝AD，
∴AF⊥ED，
又（1）可得∠DEF＝45°，
∴∠AFE＝45°，
∴∠AFM＝45°，又AM⊥EF，则△AMF是等腰直角三角形，
∴∠2+∠3＝45°，，
又∵AC是正方形的对角线，
∴∠BAC＝∠3+∠4＝45°，，
∴∠2＝∠4，，
∴△MAB∽△FAC，
∴∠AFC＝∠AMF＝90°，
∴∠CFH＝180°﹣∠AFC﹣∠AFE＝45°，
∴△FCH是等腰直角三角形，
∴FH＝HC，
∴，
即BE＝2FH；
（3）解：如图所示，
以CD为斜边在右侧作等腰直角三角形ODC，以O为圆心，为半径作⊙O，连接AO，

∵∠DEH＝45°，∠H＝90°，
∴，
∴P在⊙O上运动，
∵AB＝2，则⊙O的半径，
如图所示，过点O作OQ⊥AD交延长线于点Q，则OQ＝DQ＝1，

∴AQ＝AD+DQ＝2+1＝3，
∴，
∴线段AP长的最大值为，最小值为．
28．对于平面内的点M和点N，给出如下定义：点P为平面内的一点，若点P使得△PMN是以∠M为顶角且∠M小于90°的等腰三角形，则称点P是点M关于点N的锐角等腰点．如图，点P是点M关于点N的锐角等腰点．M在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点．

（1）已知点A（2，0），在点P1（0，2），P2（1，），P3（﹣1，），P4（，﹣）中，是点O关于点A的锐角等腰点的是 　P2，P4　．
（2）已知点B（3，0），点C在直线y＝2x+b上，若点C是点O关于点B的锐角等腰点，求实数b的取值范围．
（3）点D是x轴上的动点，D（t，0），E（t﹣2，0），点F（m，n）是以D为圆心，2为半径的圆上一个动点，且满足n≥0．直线y＝﹣2x+4与x轴和y轴分别交于点H，K，若线段HK上存在点E关于点F的锐角等腰点，请直接写出t的取值范围．
【解答】解：（1）如图1中，满足条件的点在半圆上（不包括点A以及y轴上的点），点P2，点P4满足条件．

故答案为：P2，P4．

（2）如图2中，以O为圆心，3为半径作半圆，交y轴于P（0，3），P′（0，﹣3）当直线y＝2x+b与半圆有交点（不包括P，B，）时，满足条件．
当直线y＝2x+b经过P（0，3）时，b＝3．

如图3中，当直线y＝2x+b与半圆相切于点G，交x轴于S，交y轴于T．

∵OG⊥TS，tan∠OST＝2，OG＝3，
∴GS＝，
∴OS＝＝＝，
∴OT＝3，即b＝﹣3，
观察图象可知，满足条件的b的值为：﹣3≤b＜3．

（3）根据题意，点E关于点F的锐角等腰点在半圆E上，设点P在半圆S上，点Q在半圆T上（将半圆D绕点E旋转），如图3﹣1，半圆扫过的区域为图3﹣2中阴影部分，
如图3﹣3中，阴影部分与HK相切于点G，tan∠EHG＝2，EG＝4，则GH＝2，EH＝2，
即xE＝t﹣2＝2﹣2，解得t＝4﹣2，
如图3﹣4中，阴影部分与HK相切于点G，tan∠GSJ＝tan∠KHO＝2，GS＝2，则GJ＝4，SJ＝2，且SE＝2，则EJ＝2﹣2，即yJ＝2﹣2，
代入直线y＝﹣2x+b，可得xJ＝1+，则xE＝t﹣2＝1+，解得t＝3+，
观察图象可知，4﹣2≤t＜3+．