2023年北京师大二附中西城实验学校中考数学模拟试卷（3月份）（含解析）

2023年北京师大二附中西城实验学校中考数学模拟试卷（3月份）

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图是某几何体的展开图，该几何体是(    )
 

A. 圆柱 B. 长方体 C. 圆锥 D. 三棱锥

2.  年中共中央国务院关于完整准确全面贯彻新发展理念做好碳达峰碳中和工作的意见发布，明确了我国实现碳达峰碳中和的时间表、路线图．文件提出到年森林蓄积量达到亿立方米．将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  方程组的解为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在中，是直径，，，，那么的长等于(    )
 

A.
B.
C.
D.

7.  某校在评选“交通安全在我心”优秀宣传小队的活动中，分别对甲、乙两队的名学生进行了交通安全知识考核，其中甲、乙两队学生的考核成绩如下图所示，下列关系完全正确的是(    )
 

A. ， B. ，
C. ， D. ，

8.  如图，长方体的体积是，底面一边长为记底面另一边长为，底面的周长为，长方体的高为当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是(    )

A. 一次函数关系，二次函数关系
B. 反比例函数关系，二次函数关系
C. 反比例函数关系，一次函数关系
D. 一次函数关系，反比例函数关系

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为______．

10.  分解因式：          ．

11.  方程的解是______．

12.  在正方形网格中，的位置如图所示，则为______．

13.  在平面直角坐标系中，点，在双曲线上，则          填“”或“”．

14.  不透明袋子中装有无差别的两个小球，分别写有“问天”和“梦天”随机取出一个小球后，放回并摇匀，再随机取出一个小球，则两次都取到写有“问天”的小球的概率为        ．

15.  如图，在矩形中，若，，且，则的长为______．

16.  某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料现有，，三种型号的盒子，盒子容量和单价如表所示：

其中型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金元，现有升材料需要存放且每个盒子要装满材料．
若购买，，三种型号的盒子的个数分别为，，，则购买费用为        元；
若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过元，则购买，，三种型号的盒子的个数分别为        写出一种即可

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

17.  计算：．

四、解答题（本大题共8小题，共49.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解不等式组：．

19.  本小题分
已知，求代数式的值．

20.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：该方程总有两个实数根；
若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的倍，求的值．

21.  本小题分
如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为．
求证：平分；
若，，求的长．

22.  本小题分
年，我国粮食总产量再创新高．小刘同学登录国家统计局网站，查询到了我国年个省、直辖市、自治区的粮食产量数据万吨，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
反映年我国个省、直辖市、自治区的粮食产量数据频数分布直方图如图数据分成组：，，，，，，，：

年我国各省、直辖市、自治区的粮食产量在这一组的是：
，，，，，，，，
年我国各省、直辖市、自治区粮食产量的中位数为______万吨；
小刘同学继续收集数据的过程中，发现北京市与河南省的单位面积粮食产量千克公顷比较接近，如图所示，他将自年至年北京市与河南省的单位面积粮食产量表示粮食总产量出来：单位面积粮食产量

自年间，设北京市单位面积粮食产量的平均值为，方差为；河南省单位面积粮食产量的平均值为，方差为；则 ______， ______填写“”或“”；
国家统计局公布，年全国粮食总产量亿斤，比上一年增长如果继续保持这个增长率，计算年全国粮食总产量约为多少亿斤保留整数．

23.  本小题分
在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上．
若，，求该抛物线的对称轴并比较，，的大小；
已知抛物线的对称轴为，若，求的取值范围．
 

24.  本小题分
如图，在等边中，点，分别在边，上，，且，与交于点．
求的度数．
在线段上截取，连接交于点，根据题意，补全图形，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．

25.  本小题分
在平面直角坐标系中有一个动点点不在轴上，以为圆心，为半径的与轴的另一个交点为，如果线段上存在点，上存在点，内存在点，使点、、、顺时针排列成正方形，则称正方形是点的“位置正方形”．
例如：图中正方形是点的一个“位置正方形”．
求点的“位置正方形”面积；
如果点存在“位置正方形”，求点的坐标；
点在以原点为圆心，为半径的圆及其内部运动，直接写出存在“位置正方形”的点所在的区域面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，所以这个几何体是圆锥．
故选：．
由圆锥的展开图的特点判断即可．
此题主要考查了展开图折叠成几何体，熟悉圆锥的展开图特点是解答此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误，不合题意；
B.原图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B正确，符合题意；
C.原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故C错误，不合题意；
D.原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误，不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，
 

4.【答案】 

【解析】

解：，
得：，即，
将代入得：，
则方程组的解为；
故选：．
【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．方程组利用加减或代入消元法求出解即可．  

5.【答案】 

【解析】

解：、左边的数总小于右边的数，故不正确；
B、绝对值就是离开原点的距离，所以是正确的；
C、异号两数相加，取绝对值较大数的符号，故不正确；
D、不妨取，，，故不正确．
故选B．
【分析】
A、由图知，，故不符合题意；
B、绝对值就是与原点的距离，所以符合题意；
C、两数的和，取绝对值较大数的符号，取的符号，所以不符合题意；
D、举例子验证即可．
本题考查有理数的大小比较，关键是看在数轴上的位置．利用数轴来比较大小．  

6.【答案】 

【解析】解：连接，交于点，如图，

，
，，，
，
，
，
在中，，
，
．
故选：．
连接，交于点，如图，利用垂径定理得到，，再利用互余计算出，则根据圆周角定理得到，所以，然后根据含度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，，
，
由折线统计图可得，
故选：．
根据算术平均数和方差的定义解答即可．
本题考查了平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由底面的周长公式：底面周长长宽，
可得：，
即：．
与的关系为：一次函数关系．
根据长方体的体积公式：长方体体积长宽高，
可得：，
，
与的关系为：反比例函数关系．
故选：．
根据底面的周长公式“底面周长长宽“可表示出与的关系式，根据长方体的体积公式“长方体体积长宽高”可表示出与，根据各自的表达式形式判断函数类型即可．
此题考查了函数关系式的综合应用，涉及到一次函数，二次函数，反比例函数等知识，熟知函数的相关类型并能够根据实际问题列出函数关系式是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：．
本题应先提出公因式，再运用平方差公式分解．
本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

11.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故答案为：
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可确定出分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图：

在中，，，
，
，
故答案为：．
在中，先利用勾股定理求出的长，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在双曲线中，，
可知反比例函数在第一、三象限，
点，，
点，在第一象限，
时，在每一象限内，随着增大而减小，
，
故答案为：．
根据反比例函数，可知点，在第一象限，根据反比例函数增减性进行比较即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中两次都取到写有“问天”的小球的有种结果，
所以两次都取到写有“问天”的小球的概率为，
故答案为：．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，
，，
，
∽，
，
，
在中，，
，
，
．
故答案为：．
先根据矩形的性质得到，，则可判断∽，根据相似三角形的性质得到，则可计算出，接着利用勾股定理计算出，然后利用求出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了矩形的性质．
 

16.【答案】  ，， 

【解析】解：购买，，三种型号的盒子的个数分别为，，，
则购买费用为：元，
故答案为：；
设购买种型号盒子个，购买种型号盒子个，购买种盒子型号个，
根据题意得：，
当时，，
，，都为正整数，
时，，不符合题意舍去，
当时，，
，，都为正整数，
时，
综合所述，购买，，三种型号的盒子的个数分别为，，．
故答案为：，，．
根据盒子的个数乘以盒子的单价即可得购买费用；
设购买种型号盒子个，购买种型号盒子个，购买种盒子型号个，根据题意列出方程和不等式，然后求整数解即可．
本题考查了三元一次方程组的应用，分别和两种情况列出方程求出整数解是解题的关键．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

18.【答案】解；解不等式，得：，
解不等式，得，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：，
，




． 

【解析】根据，可以得到，再根据完全平方公式和单项式乘多项式展开，然后合并同类项，再代入求值即可．
本题主要考查整式的运算，完全平方公式，解答的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法，注意完全平方公式的应用．
 

20.【答案】证明：

，
该方程总有两个实数根；
解：．
，
或，
，，
方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的倍，
为整数，或，
解得或舍去，
的值为． 

【解析】计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
利用因式分解法解方程得到，，根据题意得为整数，或，然后解一次方程得到的值．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

21.【答案】证明：连接，如图，
为切线，
，
，
，
，
，
，
，
平分；

解：连接，如图，
为的直径，
，
，
在，，
，
在中，，
，
． 

【解析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
连接，如图，根据切线的性质得到，则可判断，所以，然后利用得到；
连接，如图，先根据圆周角定理得到，接着在中利用余弦的定义求出，然后在中利用余弦的定义求出，然后利用勾股定理计算出的长．
 

22.【答案】解：；
  ；；
亿斤．
答：年全国粮食总产量约为亿斤． 

【解析】

解：将这个省、直辖市、自治区的粮食产量从小到大排列后，处在中间位置的数为，
故答案为：；
北京市单位面积粮食产量的平均值为，
河南省单位面积粮食产量的平均值为，
，
由折线统计图可直观得到，北京市单位面积粮食产量的变化、波动要小，
．
故答案为：，；
见答案．
【分析】
根据中位数的意义求解即可；
根据折线图中的数据可得平均值，根据折线统计图可直观得到，北京市单位面积粮食产量的变化、波动要小，可得答案；
根据年比上一年增长，计算即可得出．
本题考查频数分布直方图、折线统计图，方差、中位数，理解统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．  

23.【答案】解：，，
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，
；
把代入得，
抛物线经过原点，
时，抛物线开口向上，

，
，
当时，，
，
，
当时，，
满足题意．
时，抛物线开口向下，
，
，
时，随增大而减小，
，不符合题意．
综上所述，． 

【解析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
将，代入函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
由抛物线解析式可得抛物线经过原点，分别讨论与两种情况．
 

24.【答案】解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
；
解：，补全图形如下：

在上取点，使，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
过点作交的延长线于点，使，
，，
由知≌，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由等边三角形的性质易得，，，再根据全等三角形的性质得，由三角形外角的性质，等量代换，即可求解；
在上取点，使，推出≌，过点作交的延长线于点，使，推出≌，即可得出结论．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角定理，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
 

25.【答案】解：，
，
四边形是正方形，
，
；
如图所示，过点作轴与点，过点作轴于点．

，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
，
即，
，
四边形是正方形，
，，
又，
，
≌，
，，
则，
，
，，，
设，
，
解得：，，
；
解：四边形是正方形，
，
根据定义可知到轴的距离小于或等于即，
如图所示，当点在上时，点在轴上，此时点到轴的距离等于，
当点在的下方时，到轴的距离大于，不存在点的“位置正方形“．

同理可得当点在的下方时，不存在点的“位置正方形“．

点在与的上方区域，
依题意，，
存在“位置正方形“的点所在的区域面积为：以为圆心，为半径的，圆心角的扇形区域，
存在“位置正方形“的点所在的区域面积为：． 

【解析】根据勾股定理求得半径即正方形的对角线的长，进而即可求解；
过点作轴与点，过点作轴于点，根据的方法求得正方形的边长，得出，证明≌，得出，设，根据正方形的性质即可求解；
根据新定义得出的存在区域，根据扇形面积公式即可求解．
本题属于圆综合题，考查了几何新定义，正方形的性质，坐标与图形，求扇形面积，理解新定义是解题的关键．