2022-2023学年山东省济南市钢城区人教版九年级（上）期中数学试卷（五四学制）(解析版)

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2022-2023学年山东省济南市钢城区九年级（上）期中数学试卷（五四学制）第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）已知∠α为锐角，且cosα=12，则∠α=(    )A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°已知反比例函数y=4x，则它的图象经过点(    )A. (2,8) B. (-1,4) C. (4,1) D. (2,-2)将二次函数y=-13x2的图象向左平移2个单位，则平移后的二次函数表达式为(    )A. y=-13(x+2)2 B. y=-13x2+2C. y=-13x2-2 D. y=-13(x-2)2已知在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=2，BC=8，则AC等于(    )A. 6 B. 16 C. 12 D. 4若双曲线y=kx(k<0)，经过点A(-2,y1)，B(-5,y2)，则y1与y2的大小关系为(    )A. y1y2C. y1=y2 D. 无法比䢂y1与y2的大小已知二次函数y=2(x-1)2+3，下面结论正确的是(    )A. 图象的开口向下 B. 最小值是3C. 图象的对称轴是直线x=-1 D. 当x<1时，y随x的增大而增大双曲线y=5x与y=3x在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为(    )A. 1B. 2C. 3D. 4一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(    )A. B. C. D. 图1是2002年世界数学大会(ICM)的会徽，其主体图案(如图2)是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若∠ABC=α，AB=1，则CD的长为(    )A. sinα-cosα B. 1sinα-1cosα C. cosα-sinα D. 1cosα-1sinα已知二次函数y=mx2+2mx+1(m≠0)在-2≤x≤2时有最小值-4，则m等于(    )A. 5 B. -5或58 C. 5或-58 D. -5或-58第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）已知反比例函数y=m+2x的图象在第二、四象限，则m的取值范围是______ ．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则sinC=______．已知抛物线y=x2-4x+c的顶点在x轴上，那么c的值是______．同一坐标系中，反比例函数和正比例函数图象交于A(2,m)、B(n,-3)，则mn=______．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.若水面再上升1.5m，则水面的宽度为______m.如图，将矩形ABCD对折，使点A点与D重合，点B与C重合，折痕为EF；展开后再次折叠，使点A与点D重合于EF上的点P处，折痕分别为BM、CN，若AB=10，BC=16，则tan∠PCN=______．三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(本小题6.0分)计算：(π-1)0-4sin30°-(14)-1+|-2|．(本小题6.0分)求：二次函数y=2x2-8x+5的顶点坐标和对称轴．(本小题6.0分)为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强P(kPa)是气体体积V(ml)的反比例函数，其图象如图所示．(1)求这一函数的表达式；(2)当气体体积为40ml时，求气体压强的值．(本小题8.0分)某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？(本小题8.0分)如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx的图象交于点A(1,8)、B(n,-2)，与x轴交于点D，与y轴交于点C．(1)求m、n的值；(2)观察函数图象，直接写出不等式kx+b-5，∴y1>y2，故选：B．根据反比例函数的性质可以判断y1与y2的大小关系，从而可以解答本题．本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用反比例函数的性质解答．6.【答案】B 【解析】解：∵二次函数y=2(x-1)2+3中的a=2>0，∴该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意；该函数图象有最小值3，故选项B正确，符合题意；该函数图象的对称轴为直线x=1，故选项C错误，不符合题意；当x<1时．y随x的增大而减小，故选项D错误，不符合题意；故选：B．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．本题考查二次函数的性质，二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7.【答案】A 【解析】解：设直线AB与x轴交于点C．∵AB/​/y轴，∴AC⊥x轴，BC⊥x轴．∵点A在双曲线y=5x的图象上，∴△AOC的面积=12×5=52．点B在双曲线y=3x的图象上，∴△COB的面积=12×3=32．∴△AOB的面积=△AOC的面积-△COB的面积=52-32=1．故选：A．如果设直线AB与x轴交于点C，那么△AOB的面积=△AOC的面积-△COB的面积．根据反比例函数的比例系数k的几何意义，知△AOC的面积=52，△COB的面积=32，从而求出结果．本题主要考查反比例函数的比例系数k的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=12|k|．8.【答案】B 【解析】解：A、由抛物线可知，a>0，x=-b2a>0，得b<0，由直线可知，a>0，b>0，故本选项不符合题意；B、由抛物线可知，a>0，x=-b2a>0，得b<0，由直线可知，a>0，b<0，故本选项符合题意；C、由抛物线可知，a<0，x=-b2a>0，得b>0，由直线可知，a>0，b>0，故本选项不符合题意；D、由抛物线可知，a<0，x=-b2a>0，得b>0，由直线可知，a>0，b<0，故本选项不符合题意．故选：B．本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx的图象相比是否一致．本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．9.【答案】A 【解析】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=α，AB=1，∴AC=ABsinα=sinα，BC=ABcosα=cosα，由题意得：AC=BD=tanα，∴CD=BD-BC=sinα-cosα，故选：A．在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的的定义求出AC，BC的长，即可解答．本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的的定义是解题的关键．10.【答案】C 【解析】解：二次函数y=mx2+2mx+1=m(x+1)2-m+1，∴对称轴为直线x=-1，①m>0，抛物线开口向上，x=-1时，有最小值y=-m+1=-4，解得：m=5；②m<0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x=-1，在-2≤x≤2时有最小值-4，∴x=2时，有最小值y=4m+4m+1=-4，解得：m=-58；故选：C．先求出对称轴为x=-1，分m>0，m<0两种情况讨论解答即可求得m的值．本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．11.【答案】m<-2 【解析】【试题解析】解：∵反比例函数y=m+2x的图象在第二、四象限，∴m+2<0，解得m<-2，故答案为m<-2．反比例函数的图象在第二、四象限，让反比例系数小于0，列式求值即可．考查反比例函数的性质；用到的知识点为：对于反比例函数y=kx(k≠0)，k<0，反比例函数图象在第二、四象限内．12.【答案】55 【解析】解：如图，作△ABC的高AH．∵∠H=90°，AH=2，CH=4，∴AC=AH2+CH2=22+42=25，∴sinC=AHAC=225=55．故答案为：55．如图，作△ABC的高AH.利用勾股定理求出AC，可得结论．本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．13.【答案】4 【解析】解：∵抛物线y=x2-4x+c的顶点在x轴上，∴4ac-b24a=0，即4c-164=0，解得：c=4．故答案为：4．根据抛物线的顶点在x轴上，得4ac-b24a=0代入求出即可．本题主要考查对二次函数的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得到“4ac-b24a=0”是解答此题的关键．14.【答案】-6 【解析】解：∵正比例函数、反比例函数图象关于原点成中心对称性，∴点A(2,m)、B(n,-3)关于原点对称，∴m=3，n=-2，∴mn=-6，故答案为：-6．根据正比例函数、反比例函数图象的中心对称性可得A(2,m)、B(n,-3)关于原点对称，求出m、n的值，代入计算即可．本题考查反比例函数、一次函数图象的交点，掌握反比例函数、正比例函数图象的中心对称性是解决问题的关键．15.【答案】2 【解析】解：如下图建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2a≠0，由已知可得，点(2,-2)在此抛物线上，则-2=a×22，解得a=-12，∴y=-12x2，当y=-2+1.5=-0.5时，-12x2=-0.5，解得x=±1，此时水面的宽度为2m，故答案为：2．根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面的宽度为多少，本题得以解决．本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标系．16.【答案】12 【解析】解：由矩形ABCD两次折叠可知：AB=BP=EF=PC=CD=10，BE=CE=12BC=DF=AF=12AD=8，∠BEP=∠CEP=90°，DN=PN，∠D=∠CPN=90°，∴PE=BP2-BE2=102-82=6，∴PF=EF-PE=10-6=4，设PN=x，则DN=x，∴FN=DF-DN=8-x，在Rt△PFN中，根据勾股定理，得：PF2+FN2=PN2，∴42+(8-x)2=x2，解得x=5，∴PN=5，∴tan∠PCN=PNPC=510=12．故答案为：12．由矩形ABCD两次折叠可知：AB=BP=EF=PC=CD=10，BE=CE=12BC=DF=AF=12AD=8，∠BEP=∠CEP=90°，DN=PN，∠D=∠CPN=90°，设PN=x，则DN=x，然后利用勾股定理求出x的值，再根据锐角三角函数即可解决问题．本题考查折叠问题，矩形的性质，解直角三角形，解题的关键是掌握折叠的性质．17.【答案】解：原式=1-4×12-4+2 =1-2-4+2 =-3． 【解析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而计算得出答案．此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．18.【答案】解：∵y=2x2-8x+5 =2(x2-4x)+5 =2(x2-4x+4-4)+5 =2(x-2)2-3，∴顶点坐标(2,-3)，对称轴：直线x=2． 【解析】把二次函数配成顶点式y=2x2-8x+5=2(x-2)2-3，即可解决问题．本题考查二次函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：(1)设P=kV(k≠0)，将(30,200)代入上式，得200=k30，∴k=6000，∴P=6000V，(2)当V=40时，P=600040=150． 【解析】(1)设出反比例函数解析式，把点坐标代入可得函数解析式；(2)把V=40代入(1)得到的函数解析式，可得P．本题考查反比例函数的应用；应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义．20.【答案】解：过点C作CD⊥BA的延长线于点D，如图．由题意可得：∠CAD=60°，∠CBD=30°=∠DCA，∴∠BCA=∠CAD-∠CBD=60°-30°=30°．即∠BCA=∠CBD，∴AC=AB=200(海里)．在Rt△CDA中，CD=sin∠CAD×AC=32×200=1003(海里)．在Rt△CDB中，CB=2CD=2003(海里)．故位于A处的济南舰距C处的距离200海里，位于B处的西安舰距C处的距离2003海里． 【解析】过点C作CD⊥BA的延长线于点D，由题意可证明△ABC为等腰三角形，所以AC=AB=200海里．再求出CD的距离，最后根据BC=2CD求BC的长．本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键在于把实际问题转化为直角三角形来求解．21.【答案】解：(1)把A(1,8)代入y=mx得：8=m1，∴m=8，∴y=8x，把B(n,-2)代入y=8x得：-2=8n，解得n=-4，∴m=8，n=-4；(2)由(1)知，A(1,8)，B(-4,-2)，观察函数图象可得，当一次函数图象在反比例函数图象下方时，x<-4或00，∵S△ABP=32S△ABC，∴12AB⋅n=12AB⋅OC，∴n=32OC=32×2=3，当y=3时，12x2+32x-2=3，解得x1=2，x2=-5(舍)，故P(2,3)． 【解析】(1)把A(1,0)代入抛物线y=12x2+32x+c求出c，再令y=0，解方程求出点B坐标即可；(2)根据(1)中解析式求出点C坐标，再设点P的纵坐标为n，其中n>0，根据 △ABP=32S△ABC列方程求出n，再把y=n代入解析式求出x的值．本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是用待定系数法求函数解析式．23.【答案】解：(1)∵斜坡DE的坡度EFDF=12，EF=10m，∴10DF=12，∴DF=20.即斜坡DE的水平宽度DF长为20米．(2)过点E作EH⊥AC于点H，则四边形EFCH为矩形， ∴HC=EF=10m，CF=EH，设EH=CF=x m，在Rt△AEH中，AH=EH⋅tan∠AEH=EH⋅tan58°≈1.60x(m)，∴AC=AH+HC=(1.60x+10)m，BC=BD+DF+CF=(40+x)m，在Rt△ABC中，∠ABC=45°，∴AC=BC，即1.60x+10=40+x，解得x=50，∴AH=1.60x=1.60×50=80(m)，∴AC=AH+HC=80+10=90(m).即山体AC的高度为90米． 【解析】(1)由斜坡DE的坡度EFDF=12，EF=10即可得出答案；(2)作EH⊥AC，知四边形EFCH为矩形，设EH=CF=x m，在Rt△AEH中，AH=EH⋅tan58°≈1.60x(m)，继而知AC=AH+HC=(1.60x+10)m，BC=BD+DF+CF=(40+x)m，在Rt△ABC中，根据AC=BC得1.60x+10=40+x，解之求出x的值，进一步求解可得答案．本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．24.【答案】解：(1)y=42-(x-18)=-x+60．∵要求销售单价不低于成本，每件最高利润不高于10元，∴自变量x的取值范围是：15≤x≤25；(2)w=(x-15)y=(x-15)(-x+60)=-x2+75x-900，∵a=-1<0，∴抛物线开口向下，∴当x<-752×(-1)即x<752时，w随x的增大而增大，∵15≤x≤25，∴当x=25时，w最大=(25-15)(-25+60)=350，即当销售单价为25元时，每天获得利润最大，最大利润是350元． 【解析】(1)利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；(2)根据“总利润=每件的利润×销售量”可得函数解析式，利用二次函数的性质进一步求解可得．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．25.【答案】解：(1)：(1)把点A(4,n)代入一次函数y=32x-3，可得n=32×4-3=3；把点A(4,3)代入反比例函数y=kx，可得3=k4，解得k=12．∵一次函数y=32x-3与x轴相交于点B，∴32x-3=0，解得x=2，∴点B的坐标为(2,0)；(2)如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F， ∵A(4,3)，B(2,0)，∴OE=4，AE=3，OB=2，∴BE=OE-OB=4-2=2，在Rt△ABE中，AB=AE2+BE2=9+4=13，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD=BC=13，AB/​/CD，∴∠ABE=∠DCF，∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，∴∠AEB=∠DFC=90°，在△ABE与△DCF中，∠AEB=∠DFC∠ABE=∠DCFAB=CD，∴△ABE≌△DCF(AAS)，∴CF=BE=2，DF=AE=3，∴OF=OB+BC+CF=2+13+2=4+13，∴点D的坐标为(4+13,3)．(3)存在， 如图2，作点B(2,0)关于y轴的对称点Q的坐标为(-2,0)，∴直线AQ的关系式为y=12x+1，∴直线AQ与y轴的交点为P(0,1)．(作点B(2,0)关于y轴对称点B'(-2,0)，连接AB'交y轴于点P，连接PB，此时PA+PB值最小，且最小值为AB'．∵A(4,3)，B'(-2,0) ∴AB'=[4-(-2)]2+(3-0)2=35．即PA+PB的最小值为35． 【解析】(1)把A点坐标代入一次函数解析式可求得n，则可求得A点坐标，代入反比例函数解析式则可求得k的值；(2)由勾股定理可求AB的长，由“AAS”可证△ABE≌△DCF，可得CF=BE=2，DF=AE=3，由勾股定理可求解；(3)作点B(2,0)关于y轴的对称点Q的坐标为(-2,0)，连接AQ交y轴的交点为P，求出AQ解析式即可求解．本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、菱形的性质、勾股定理、坐标的平移和数形结合思想等知识，利用数形结合思想解决问题是本题的关键，综合性较强，难度适中．26.【答案】解：(1)把A(1,0)、B(3,0)代入y=ax2+bx-3，得a+b-3=09a+3b-3=0，解得a=-1b=4，∴抛物线的解析式为y=-x2+4x-3；(2)∵y=-x2+4x-3，∴C(0,-3)，由B(3,0)，C(0,-3)，∴直线BC解析式为y=x-3，设F(m,-m2+4m-3)，则G(m,m-3)，∴FG=(-m2+4m-3)-(m-3)=-m2+3m=-(m-32)2+94，∴当m=32时，FG的最大值为94，此时F(32,34)；(3)设H(2,t)，其中t>0，∵B(3,0)，C(0,-3)，∴BC2=32+32=18，BH2=(3-2)2+(0-t)2=t2+1，CH2=(2-0)2+(t+3)2=t2+6t+13，①当∠CBH=90°时，有BC2+BH2=CH2，即18+t2+1=t2+6t+13，解得t=1，②当∠BHC=90°时，有BH2+CH2=BC2，即t2+1+t2+6t+13=18，解得t1=-3-172(舍)，t2=-3+172．综上所述，点H的坐标为(2,1)或(2,-3+172)． 【解析】(1)用待定系数法即可求解；(2)设F(m,-m2+4m-3)，则G(m,m-3)，可得FG=(-m2+4m-3)-(m-3)=-m2+3m，然后根据二次函数的性质进而求解；(3)分①当∠CBH=90°时，②当∠BHC=90°时，两种情况，分别求解即可．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性、等腰三角形的性质等，其中(3)要注意分类求解，避免遗漏．