山东省济南市钢城区2023届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

这是一份山东省济南市钢城区2023届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. -2的绝对值是( )
A. 2B. -2C. 12D. -12
2. 由五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面看该几何体的形状图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 笛卡尔心形线B. 卡西尼卵形线
C. 赵爽弦图D. 费马螺线
4. 如图，三角板的直角顶点在直尺的一边上.若∠1=30°，∠2=70°，则∠3的度数是( )
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
5. 中华人民共和国第十四届人民代表大会第一次会议政府工作报告指出：2023年国内生产总值预期增长目标5%左右，城镇新增就业1200万人左右，将1200万用科学记数法表示为( )
A. 12×106B. 1.2×107C. 1.2×108D. 0.12×108
6. 下列计算正确的是( )
A. 4a-2a=2B. a8÷a4=a2C. a2⋅a3=a5D. (b2)3=b5
7. 已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是( )
A. a+b>0B. ab>0C. (-a)+b<0D. |b|<|a|
8. “航天知识竞赛”活动中，获得“小宇航员”称号的小颖得到了A，B，C，D四枚纪念章(除图案外完全相同)，如图所示，四枚纪念章上分别印有“嫦娥五号”、“天问一号”、“长征火箭”和“天宫一号”的图案.她将这四枚纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取两枚送给同学小彬，求小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率是( )
A. 712B. 34C. 512D. 12
9. 如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交CD于点F若AB=8，BF=5，则△BCF的周长为( )
A. 11B. 12C. 13D. 14
10. 若点P(x,y1)与Q(x,y2)分别是两个函数图象C1与C2上的任一点.当a≤x≤b时，有-1≤y1-y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”.例如，点P(x,y1)与Q(x,y2)分别是两个函数y=3x+1与y=2x-1图象上的任一点，当-3≤x≤-1时，y1-y2=(3x+1)-(2x-1)=x+2，它在-3≤x≤-1上，-1≤y1-y2≤1成立，因此这两个函数在-3≤x≤-1上是“相邻函数”.若函数y=x2-x与y=ax在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围.( )
A. -3≤a≤1B. 12≤a≤1C. a≥12D. 12≤a≤32
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 因式分解：1-4y2= ______ ．
12. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖(飞镖每次都落在游戏板上)，击中阴影部分的概率为______ ．
13. 方程1x-3=3x+1的解为______．
14. 已知x=1是方程x2-3x+c=0的一个根，则实数c的值是______ ．
15. 如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的S1，S2，S3满足的数量关系是______ .现将△ABF向上翻折，如图②，已知S甲=6，S乙=5，S丙=4，则△ABC的面积是______ ．
16. 如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E，连接BE，点P是线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P'，点Q是AC上一动点，连接P'Q，DQ.若AE=14，CE=18，则DQ-P'Q的最大值为______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17. 计算：(π-1)0+4sin45°- 8+|-3|．
四、解答题（本大题共9小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题6.0分)
解不等式组5x-2>3(x-1)x-12≤4-x，并把解集在数轴上表示出来．
19. (本小题6.0分)
如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，P不与A、C重合，求证：∠ABP=∠ADP．
20. (本小题8.0分)
为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入(单位：百万元)的数据，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息．
a.甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下：
(数据分成5组：6≤x<8，8≤x<10，10≤x<12，12≤x<14，14≤x≤16)
b.甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x<12这一组的是：
=10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8
c.甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数，中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)甲城市抽取4月份收入数据在8≤x<10的有______ 家邮政企业，并补全频数分布直方图；
(2)写出表中m的值；
(3)在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1.在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2.比较p1，p2的大小，并说明理由；
(4)若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入(直接写出结果)．
21. (本小题8.0分)
脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线.为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋项A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为55°，房屋的顶层横梁EF=12m，ET//CB，AB交EF于点G(点C，D，B在同一水平线上).(参考数据：sin35°≈0.6，cs35°≈0.8，ma35°≈0.7，sin55°≈0.8，cs55°≈0.6，tan55°≈1.4)
(1)求屋项到横梁的距离AG；
(2)求房屋的高AB．
22. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．
(1)求证：∠D=∠EBC；
(2)若CD=2BC，AE=3，求⊙O的半径．
23. (本小题10.0分)
端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变.第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．
(1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
(2)该超市计划一次购进两种品牌粽子共300袋，且A品牌粽子的进货量不超过B品牌粽子的2倍，则该超市应怎样进货才能使总费用最低？
24. (本小题10.0分)
已知一次函数y1=12x+2与反比例函数y2=kx的图象交于A(2,m)、B两点，交y轴于点C．
(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标；
(2)过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长；
(3)我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”.设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形APBQ是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标xQ的值．
25. (本小题12.0分)
在△ABC与△ADE中，连接DC，点M、N分别为DE和DC的中点，连接CE．
(1)观察猜想：
如图①，若AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，MN与BD的数量关系是______ ；
(2)类比探究：
如图②，若AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，请写出MN与BD的数量关系并就图②的情形说明理由；
(3)解决问题：
如图③，∠BAC=∠DAE=90°，∠ACB=∠AED=30°，3AD=AB=6，将△ADE绕点A进行旋转，当点D落在△ABC的边上时，请求出MN的长．
26. (本小题12.0分)
已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0)，B(5,0)两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接AC、BC，且tan∠CBD=43，如图所示．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设P是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连接FB、FC，求△BCF的面积的最大值；
②连接PB，求35PC+PB的最小值．
答案和解析
1.答案：A
解析：解：-2的绝对值是2，
即|-2|=2．
故选A．
根据负数的绝对值等于它的相反数解答即可．
本题考查了绝对值的定义．
2.答案：C
解析：解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，如图所示：．
故选：C．
根据从左边看得到的图形是左视图，进而得出答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图．
3.答案：B
解析：解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
4.答案：B
解析：解：如图所示，

直尺ABCD中，AB/​/CD，
∴∠2=∠4=70°，
∵∠4+∠5=180°，
∴∠5=180°-70°=110°，
∵∠1+∠3+∠5=180°，∠1=30°，
∴∠3=180°-∠1-∠5=180°-30°-110°=40°，
故选：B．
根据AB/​/CD，先算出∠4的度数，根据邻补角再算出∠5的度数，根据三角形内角和即可求解．
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质，三角形的内角和定理是解题的关键．
5.答案：B
解析：解：1200万=12000000，
用科学记数法表示为1.2×107．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数是关键．
6.答案：C
解析：解：A中4a-2a=2a≠2，错误，故不符合要求；
B中a8÷a4=a4≠a2，错误，故不符合要求；
C中a2⋅a3=a5，正确，故符合要求；
D中(b2)3=b6≠b5，错误，故不符合要求；
故选C．
根据整式的减法运算，同底数幂的乘法、除法运算，幂的乘方进行运算求解，然后进行判断即可．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法、除法运算，幂的乘方等知识．解题的关键在于正确的运算．
7.答案：D
解析：解：A.由数轴可知：-3B.由数轴可知：-3C.由数轴可知：-3D.由数轴可知：-3故选：D．
根据数轴的相关知识，绝对值、相反数等基础内容，逐一验证即可．
本题考查了数轴上实数的大小比较，绝对值以及相反数的知识点考查．
8.答案：D
解析：解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“A.嫦娥五号”图案的结果有：AB，AC，AD，BA，CA，DA，共6种，
∴小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的概率为612=12．
故选：D．
画树状图得出所有等可能的结果数以及小颖送给小彬的两枚纪念章中恰好有一枚印有“嫦娥五号”图案的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
9.答案：C
解析：解：由作图得：AP平分∠BAD，
∴∠DAP=∠PAB，
在平行四边形ABCD中，有AD=BC，AB/​/CD，CD=AB=8，
∴∠PAB=∠AFD=∠DAF，
∴AD=DF=BC，
∴△BCF的周长为：BC+CF+BF=DF+CF+BF=CD+BF=AB+CD=13，
故选：C．
先根据作图得AP平分∠BAD，再根据平行四边形的性质求解．
本题考查了作图，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
10.答案：B
解析：解：∵函数y=x2-x与y=ax在0≤x≤2上是“相邻函数”，
∴构造函数y=x2-(a+1)x，在0≤x≤2上-1≤y≤1．
根据抛物线y=x2-(a+1)x对称轴的位置不同，分四种情况：

①当a+12≤0，即a≤-1时(如图1)，
y最小=0+0=0y最大=4-2(a+1)≤1，
解得：a≥12，
∴此时无解；
②当0≤a+12≤1，即-1≤a≤1时(如图2)，
y最小=(a+12)2-(a+1)a+12≥-1y最大=4-2(a+1)≤1，
解得：12≤a≤1，
∴12≤a≤1．
③当1≤a+12≤2，即1y最小=(a+12)2-(a+1)a+12≥-1y最大=0+0=0，
解得：-3≤a≤1，
此时无解；
④当23时(如图4)，
y最小=4-2(a+1)≥-1y最大=0，
解得：a≤32，
∴此时无解．
综上可知，若函数y=x2-x与y=ax在0≤x≤2上是“相邻函数”，则a的取值范围为12≤a≤1．
故选：B．
由函数y=x2-x与y=ax在0≤x≤2上是“相邻函数”，构造函数y=x2-(a+1)x，根据抛物线的位置不同，令其最大值≤1，最小值≥-1，解关于a的不等式组即可得出结论．
本题考查了二次函数与不等式的应用，解题的关键是按抛物线的对称轴不同结合“相邻函数”的定义找出关于a的不等式组．
11.答案：(1-2y)(1+2y)
解析：解：1-4y2=12-(2y)2=(1-2y)(1+2y)．
故答案为：(1-2y)(1+2y)．
根据平方差公式解答即可．
本题考查因式分解．掌握运用平方差公式分解因式是解题关键．
12.答案：13
解析：解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积，
∴击中阴影部分的概率是39=13．
故答案为：13．
根据几何概率的求解公式即可求解．
此题主要考查概率公式，解题的关键是熟知几何概率的公式．
13.答案：x=5
解析：解：去分母得：x+1=3(x-3)，
去括号得：x+1=3x-9，
移项合并得：-2x=-10，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
故答案为：x=5
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
14.答案：2
解析：解：∵x=1是方程x2-3x+c=0的一个根，
∴1-3+c=0，
解得：c=2，
故答案为：2．
根据一元二次方程的解的定义，将x=1，代入原方程，得到关于c的一元一次方程，解方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．一元二次方程的解(根)的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
15.答案：S1+S2=S3 7
解析：解：∵∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵△ACE、△BCD、△ABF是等边三角形，
∴S1= 34AC2，S2= 34BC2，S3= 34AB2，S1+S2= 34(AC2+BC2)= 34AB2=S3，
即S1+S2=S3；
设△ABC的面积为S，图②中2个白色图形的面积分别为a、b，如图②所示：
∵S1+S2=S3，
∴S甲+a+S乙+b=S丙+a+b+S，
∴S甲+S乙=S丙+S，
∴S=S甲+S乙-S丙=6+5-4=7；
故答案为：S1+S2=S3；7．
由勾股定理得出AC2+BC2=AB2，由等边三角形的面积公式得出S1= 34AC2，S2= 34BC2，S3= 34AB2，得出S1+S2=S3；设△ABC的面积为S，图②中2个白色图形的面积分别为a、b，由S1+S2=S3，得出S甲+a+S乙+b=S丙+a+b+S，得出S甲+S乙=S丙+S，即可得出答案．
本题考查了翻折变换(折叠问题)、等边三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和勾股定理是解题的关键．
16.答案：16 23
解析：解：如图，连接BD交AC于点O，过点D作DK⊥BC于点B，延长DE交AB于点R，连接EP'交AB于点J，作EJ关于AC的对称线段EJ'，则DP'的对应点P″在线段EJ'上．
当点P是定点时，DQ-QP'=AD-QP″，
当D，P″，Q共线时，QD-QP'的值最大，最大值是线段DP″的长，
当点P与B重合时，点P″与J'重合，此时DQ-QP'的值最大，最大值是线段DJ'的长，也就是线段BJ的长．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC，
∵AE=14.EC=18，
∴AC=32，AO=OC=16，
∴OE=AO-AE=16-14=2，
∵DE⊥CD，
∴∠DOE=∠EDC=90°，
∵∠DEO=∠DEC，
∴△EDO∽△ECD，
∴DE2=EO⋅EC=36，
∴DE=EB=EJ=6，
∴CD= EC2-DE2= 182-62=12 2，
∴OD= DE2-OE2= 62-22=4 2，
∴BD=8 2，
∵S△DCB=12·OC·BD=BC⋅DK，
∴DK=12×16×8 212 2=163，
∵∠BER=∠DCK，
∴sin∠BER=sin∠DCK=DKCD=16312 2=4 29，
∴RB=BE·4 29=8 23，
∵EJ=EB，ER⊥BJ，
∴JR=BR=8 23，
∴JB=DJ'=16 23，
∴DQ-P'Q的最大值为16 23．
故答案为：16 23．
如图，连接BD交AC于点O，过点D作DK⊥BC于点B，延长DE交AB于点R，连接EP'交AB于点J，作EJ关于AC的对称线段EJ'，则DP'的对应点P″在线段EJ'上．当点P是定点时，DQ-QP'=AD-QP″，当D，P″，Q共线时，QD-QP'的值最大，最大值是线段DP″的长，当点P与B重合时，点P″与J'重合，此时DQ-QP'的值最大，最大值是线段DJ'的长，也就是线段BJ的长．解直角三角形求出BJ，可得结论．
本题考查轴对称-最短问题，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
17.答案：解：原式=1+4× 22-2 2+3
=1+2 2-2 2+3
=4．
解析：直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18.答案：解：5x-2>3(x-1)①x-12≤4-x②，
解不等式①得：x>-12，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式的解集为：-12在数轴上表示为：

解析：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．
19.答案：证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAP=∠DAP，
∴在△ABP和△ADP中，
AB=AD∠BAP=∠DAPAP=AP，
∴△ABP≌△ADP(SAS)，
∴∠ABP=∠ADP．
解析：依据四边形ABCD是正方形，即可得出AB=AD，∠BAP=∠DAP，进而判定△ABP≌△ADP(SAS)，即可得出∠ABP=∠ADP．
本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
20.答案：7
解析：解：(1)甲城市抽取4月份收入数据在8≤x<10的有25-3-8-3-4=7；

(2)将甲城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额从小到大排列，处在中间位置的一个数是10.1，
因此中位数是10.1，即m=10.1；
(3)由题意得p1=5+3+4=12(家)，
由于乙城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额的平均数是11.0，中位数是11.5，
因此所抽取的25家邮政企业4月份营业额在11.5及以上的占一半，
也就是p2的值至少为13，
∴p1(4)11.0×200=2200(百万元)，
答：乙城市200家邮政企业4月份的总收入约为2200百万元．
(1)总数减去其它数目即可得答案；
(2)根据中位数的意义，求出甲城市抽样25家邮政企业4月份的营业额从小到大排列，得出处在第13位的数据即可；
(3)根据p1，p2所表示的意义，结合两个城市抽取的邮政企业4月份的营业额的具体数据，得出答案；
(4)根据乙城市邮政企业4月份营业额的平均数以及企业的数量进行计算即可．
本题考查频数分布直方图、平均数、中位数，掌握平均数、中位数的意义是正确解答的前提．
21.答案：解：(1)∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，EF/​/BC，
∴AG⊥EF，EG=12EF，∠AEG=∠ACB=35°，
在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠AEG=35°，
∵tan∠AEG=tan35°=AGEG，EG=6米，
∴AG=6×0.7=4.2(米)；
答：屋顶到横梁的距离AG约为4.2米；
(2)过E作EH⊥CB于H，
设EH=x米，
在Rt△EDH中，∠EHD=90°，∠EDH=60°，
∵tan∠EDH=EHDH，
∴DH=xtan55∘，
在Rt△ECH中，∠EHC=90°，∠ECH=35°，
∵tan∠ECH=EHCH，
∴CH=xtan35∘，
∵CH-DH=CD=8米，
∴xtan35∘-xtan55∘=8，
解得：x≈11.2，
∴AB=AG+BG=11.2+4.2≈15.4(米)，
答：房屋的高AB约为15.4米．
解析：(1)根据题意得到AG⊥EF，EG=12EF，∠AEG=∠ACB=35°，解直角三角形即可得到结论；
(2)过E作EH⊥CB于H，设EH=x，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
22.答案：(1)证明：∵AD与⊙O相切于点A，
∴∠DAO=90°，
∴∠D+∠ABD=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠BEC=180°-∠AEB=90°，
∴∠ACB+∠EBC=90°，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠D=∠EBC；
(2)解：∵CD=2BC，
∴BD=3BC，
∵∠DAB=∠CEB=90°，∠D=∠EBC，
∴△DAB∽△BEC，
∴BDBC=ABEC=3，
∴AB=3EC，
∵AB=AC，AE=3，
∴AE+EC=AB，
∴3+EC=3EC，
∴EC=1.5，
∴AB=3EC=4.5，
∴⊙O的半径为2.25．
解析：(1)根据切线的性质可得∠DAO=90°，从而可得∠D+∠ABD=90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC=90°，从而可得∠ACB+∠EBC=90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；
(2)根据已知可得BD=3BC，然后利用(1)的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB=3EC，然后根据AB=AC，进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23.答案：解：(1)A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，
根据题意得，100x+150y=7000180x+120y=8100，
解得x=25y=30，
答：A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；
(2)设超市购进B种品牌的粽子m袋，A种品牌的粽子(300-m)袋，总费用为W元，
依题意，得W=25(300-m)+30m=5m+7500，
∵5>0，
∴W随m的增大而增大，
∵300-m≤2m，
∴m≥100，
∴m=100时，W有最小值，此时购进B种品牌的粽子100袋，A种品牌的粽子200袋，
W=5×100+7500=8000(元)．
答：购进B种品牌的粽子100袋，A种品牌的粽子200袋，能使总费用最低．
解析：(1)A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，根据两次进货情况，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设超市购进B种品牌的粽子m袋，A种品牌的粽子(300-m)袋，总费用为W元，依题意得出W=5m+7500，根据一次函数的性质可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
24.答案：解：(1)∵一次函数y1=12x+2图象过A(2,m)，
∴m=12×2+2=3，
∴A(2,3)，
∵反比例函数y2=kx的图象过点A(2,3)，
∴k=2×3=6，
∴反比例函数的表达式为y2=6x，
由y=12x+2y=6x解得x=2y=3或x=-6y=-1，
∴B点的坐标为(-6,-1)；
(2)令x=0，则y=12x+2=2，
∴C(0,2)，
设直线CE的解析式为y=ax+2，
由ax+2=6x整理得，ax2+2x-6=0，
∵直线CE与反比例函数图象只有一个交点，
∴Δ=22-4a⋅(-6)=0，
∴a=-16，
∴y=-16x+2，
令y=0，则x=12，
∴E点的坐标为(12,0)
∴CE= 122+22=2 37；
(3)如图，当∠APB=90°时，点B作BN⊥y轴于N，AM⊥y轴于M，AB与PQ的交点为D，PD=QD，
设P点的坐标为(0,n)，
∵
∵∠APM+∠BPN=90°=∠APM+∠PAM，
∴∠BPN=∠PAM，
∵∠AMP=∠PNB=90°，PA=BP，
∴△APM≌△PBN(AAS)，
∴PN=AM，BN=PM，
∴3-n=6，
∴n=-3，
∴P(0,-3)，
设Q(x,6x)(x>0)，
∴D(12x,3x-32)，
∵点D在一次函数y1=12x+2图象上，
∴3x-32=12⋅12x+2，整理得x2+14x-12=0，
解得x= 61-7(负数舍去)，
∴Q点的横坐标xQ的值为 61-7．
解析：(1)由一次函数解析式求得点A，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，两解析式联立成方程组，解方程组即可求得点B的坐标；
(2)设直线CE的解析式为y=ax+2，由ax+2=6x整理得，ax2+2x-6=0，根据题意得到Δ=22-4a⋅(-6)=0，求得a=-16，即可得到直线CE的解析式，从而即可求得E点的坐标，然后利用勾股定理即可求得CE；
(3)通过证得△APM≌△PBN(AAS)，得出PN=AM，BN=PM，即可得出点P的坐标，进而表示出点D的坐标，代入y1=12x+2，解方程即可求得点Q的横坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25.答案：BD=2MN
解析：解：(1)连接CE，延长CE交AB于点Q，交直线BD于点G，

∵点M、N分别为DE和DC的中点，
∴MN/​/CE，CE=2MN，
∴∠BPM=∠QGB，
∵∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，
即∠DAB=∠EAC，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴∠DBA=∠ECA，BD=CE=2MN．
故答案为：BD=2MN；
(2)BD=2MN．
理由：连接CE，延长CE交AB于点Q，交直线BD于点G，

∵点M、N分别为DE和DC的中点，
∴MN/​/CE，CE=2MN，
∴∠BPM=∠QGB，
∵∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，
即∠DAB=∠EAC，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴∠DBA=∠ECA，BD=CE=2MN；
(3)连接BD，CE，则CE= 3BD，同(2)可得MN=12EC，
∴MN= 32BD，
∴点D在以A为圆心，AD长为半径的圆上，故分四种情况讨论：
①当点D落在AC上时，

∵3AD=AB=6，
∴AD=2；
∴BD= AB2+AD2= 62+22=2 10，
∴MN= 32BD= 30；
②当点D落在BA的延长线上时，

∴BD=AB+AD=8，
∴MN= 32BD=4 3；
③当点D落在CA的延长线上时，

此时BD=2 10，
∴MN= 32BD= 30；
④当点D落在边AB上时，

∴BD=AB-AD=4，
∴MN= 32BD=2 3，
综上所述，MN的长为 30或4 3或2 3．
(1)连接CE，延长CE交AB于点Q，交直线BD于点G，由三角形中位线定理得出MN//CE，CE=2MN，证明△ADB≌△AEC(SAS)，由全等三角形的性质得出∠DBA=∠ECA，BD=CE=2MN，则可得出结论；
(2)连接CE，延长CE交AB于点Q，交直线BD于点G，证明△ADB≌△AEC(SAS)，由全等三角形的性质得出∠DBA=∠ECA，BD=CE=2MN，则可得出结论；
(3)连接BD，CE，则CE= 3BD，同(2)可得MN=12EC，得出MN= 32BD，分四种情况画出图形，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，三角形中位线定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
26.答案：解：(1)根据题意，可设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-5)，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴D(2,0)，
又∵tan∠CBD=CDBD=43，
∴CD=BD⋅tan∠CBD=4，
即C(2,4)，
代入抛物线的解析式，得4=a(2+1)(2-5)，
解得 a=-49，
∴二次函数的解析式为 y=-49(x+1)(x-5)=-49x2+169x+209；
(2)①设P(2,t)，其中0设直线BC的解析式为 y=kx+b，
∴0=5k+b4=2k+b,
解得k=-43b=203,
即直线BC的解析式为y=-43x+203，
令y=t，得x=5-34t，
∴点E(5-34t,t)，
把x=5-34t 代入y=-49(x+1)(x-5)，得 y=t(2-t4)，
即F(5-34t,2t-14t2)，
∴EF=(2t-14t2)-t=t-t24，
∴△BCF的面积=12×EF×BD=32(t-t24)=-38(t2-4t)=-38(t-2)2+32，
∴当t=2时，△BCF的面积最大，且最大值为32；
②如图，连接AC，根据图形的对称性可知∠ACD=∠BCD，AC=BC=5，
∴sin∠ACD=ADAC=35，
过点P作PG⊥AC于G，
则在Rt△PCG中，PG=PC⋅sin∠ACD=35PC，
∴35PC+PB=PG+PB，
过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PB≥BH，
∴线段BH的长就是35PC+PB的最小值，
∵S△ABC=12×AB×CD=12×6×4=12，
又∵S△ABC=12×AC×BH=52BH，
∴52BH=12，
即BH=245，
∴35PC+PB的最小值为245．
解析：本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，三角形面积公式，锐角三角比，二次函数的性质等知识，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-5)，可得对称轴为直线x=2，由锐角三角比的定义求出点C的坐标，代入解析式即可求解；
(2)①先求出直线BC解析式，设P(2,t)，可得点E(5-34t,t)，点F(5-34t,2t-14t2)，可求EF的长，由三角形面积公式和二次函数性质可求解；
②根据图形的对称性可知∠ACD=∠BCD，AC=BC=5，过点P作PG⊥AC于G，可得PG=35PC，可得35PC+PB=PG+PB，过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PB≥BH，即BH是35PC+PB的最小值，由三角形面积公式可求解．平均数
中位数
甲城市
10.8
m
乙城市
11.0
11.5