人教版12.1 全等三角形习题

人教版数学八年级上册《第十二章 全等三角形》期末高分突破卷附解析学生版

一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)

1．（3分）如图，△ABC≌△A'B'C'，则∠C的度数是（　　） 

A．107° B．73° C．56° D．51°

2．（3分）如图，在中，，平分，若，，则的面积是（　　）

A．9 B．12 C．15 D．24

3．（3分）如图，用直尺和圆规作图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OB，OA于点E、D，再分别以点E、D为圆心，大于ED的长为半径画弧，两弧交于点C，连接OC，则△ODC≌OEC的理由是（　　） 

A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA

4．（3分）如图，要测量中心湖两岸相对两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再在BF的垂线DG上取点E，使点A，C，E在一条直线上，可得△ABC≌△EDC.判定全等的依据是（　　） 

A．SSS B．SAS C．ASA D．HL

5．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D，添加一个条件不能判定这两个三角形全等的是（　　） 

A．AC＝DF B．∠B＝∠E C．BC＝EF D．∠C＝∠F

6．（3分）如图，在和中，，，与互补，连接、，是的中点，下列结论正确的是（　　）

A． B．

C． D．

7．（3分）如图，，，则的度数为（　　）

A． B． C． D．

8．（3分）如图，E为∠BAC平分线AP上一点，AB＝4，△ABE的面积为12，则点E到直线AC的距离为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

9．（3分）如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB 的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是（　　）

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL

10．（3分）如图，在和中，．连接AC，BD交于点M，连接OM．则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题（每题3分，共15分）(共5题；共15分)

11．（3分）如图，，请你添加一个条件　               　，利用“”，证明.

12．（3分）如图，D是∠MAN角平分线上一点，点B是射线AM上一点，DE⊥AM于点E，DF⊥AN于点F，连接AD．在射线AN上取一点C，使得DC=DB，若AB=7，BE=2，则AC的长为　     　。

13．（3分）如图，在中，，，垂足分别为D，E，，交于点H，已知，，则　     　 .

14．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，要证明∠A＇O＇B＇＝∠AOB，就要先证明△C’O’D’≌△COD，那么判定△C’O’D’≌△COD的依据是　     　.

15．（3分）在△ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，∠ACD是△ABC的外角 ∠ACD和∠ABC的平分线交于点E，则∠AEB＝　     　︒

三、解答题（共9题，共75分）(共9题；共75分)

16．（6分）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，，求证：.

17．（7分）如图，已知AB=CD，BC=DA，E，F是AC上的两点，且AE=CF.试说明：BF=DE.

18．（8分）过的平分线上一点P作于点A，于点B，点在直线上，连接．若，请判断与的大小关系，并说明理由．

19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，垂足为D，E．若BD＝4 cm，CE＝3cm，求DE的长．

20．（8分）莆仙戏是现存最古老的地方戏剧种之一，被称为“宋元南戏的活化石”，2021年5月莆仙戏《踏伞行》获评为“2020年度国家舞台艺术精品创作扶持工程重点扶持剧目”．该剧中“油纸伞”无疑是最重要的道具，依伞设戏，情节新颖，结构巧妙，谱写了一曲美轮美奂、诗意盎然的传统戏曲乐歌．“油纸伞”的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈D沿着伞柄滑动时，总有伞骨BD＝CD，AB＝AC，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC．为什么？

21．（10分）已知：在△ABC中，AD是BC边上的高．

（1）（5分）尺规作图：作∠BAC的平分线AE，交BC于点E；

（2）（5分）在（1）的条件下：若∠ABC＝105°，∠C＝45°，求∠EAD的度数．

22．（8分）如图，△ABC和△DCB有公共边BC，且 ，作 ， ，垂足分别为E、F， .求证： . 

23．（10分）如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E

（1）（5分）求证：CD=BE；

（2）（5分）若DE=3，BE=2，求AD的长.

24．（10分）如图：

（1）（5分）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．

（2）（5分）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

答案解析部分

1．【答案】B

【解析】【解答】解：∵△ABC≌△A'B'C'，
∴∠B'=∠B=51°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-56°-51°=73°.

故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的性质得出∠B'=∠B=51°，再根据三角形内角和定理得出∠C=180°-∠A-∠B，即可得出答案.

2．【答案】C

【解析】【解答】解：如图，过点D作于E，

，平分，

，

的面积.

故答案为：C.

【分析】过点D作DE⊥AB于E，由角平分线的性质可得DE=CD=3，然后根据三角形的面积公式进行计算.

3．【答案】A

【解析】【解答】解：连接EC，CD.

在△ODC和△OEC中，

，

∴△ODC≌△OEC（SSS）.

故答案为：A.

【分析】由作图可知OE=OD，CE=CD，结合OC为公共边，根据SSS可证△ODC≌△OEC.

4．【答案】C

【解析】【解答】解：在△ABC和△EDC中

，

∴△ABC≌△EDC（ASA），

依据是两角及这两角的夹边对应相等.

故答案为：C.

【分析】根据ASA证明△ABC≌△EDC.

5．【答案】C

【解析】【解答】解：A、在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），故A不符合题意；
B、在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），故B不符合题意；
C、在△ABC与△DEF中，BC=EF，AB=DE，∠A=∠D
∴不能判断△ABC≌△DEF，故C符合题意；
D、在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），故D不符合题意.

故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的判定定理逐项进行判断，即可得出答案.

6．【答案】B

【解析】【解答】解：连接AD 、BC ，

， ，

需满足的条件是 ≌ ，

与 不一定相等，

与 不一定相等，

与 不一定全等，

与 不一定相等，

故A错误；

作 交OE 的延长线于点F ，则 ，

是BD 的中点，

，

在 和 中，

，

≌ ，

，

，

，

，

，

在 和 中，

，

≌ ，

，

，

，

故B正确；

，

需满足的条件是 ，

显然与已知条件不符，

不一定等于 ，

故C错误；

，且 ， ，

，

，

故D错误，

故答案为：B.

【分析】连接AD、BC，AD＝BC需满足的条件是△AOD≌△BOC，由∠AOB与∠COD不一定相等，可推导出∠AOD与∠BOC不一定相等，则△AOD与△BOC不一定全等，可判断A错误；作DF∥OB交OE的延长线于点F，则∠F＝∠BOE，可证明△DFE≌△BOE，则DF＝OB＝OA，再证明△FDO≌△AOC，得FO＝AC＝2OE，可判断B正确；由∠AOC＋∠BOD＝180°，可知∠BOD＝2∠AOC需满足的条件是∠AOC＝60°，与已知条件不符，可判断C错误；由|DF−OD|＜FO＜DF＋OD，得|a−b|＜2OE＜a＋b，则|a−b|＜OE＜（a＋b），可判断D错误.

7．【答案】C

【解析】【解答】解：∵，

∴，

在中，，

∴，

故答案为：C．
【分析】根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的内角和可得。

8．【答案】D

【解析】【解答】解：∵AB＝4，△ABE的面积为12，

∴点E到直线AB的距离，

∵E为∠BAC平分线AP上一点，

∴点E到直线AC的距离＝6.

故答案为：D.

【分析】根据三角形的面积公式可得点E到直线AB的距离为6，然后结合角平分线的性质进行解答.

9．【答案】D

【解析】【解答】解：∵过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，
∴∠OMP=∠ONP=90°，
在Rt△OMP和Rt△ONP中

∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）
∴∠MOP=∠NOP，
∴OP平分∠AOB.
故答案为：D
【分析】利用垂直的定义可证得∠OMP=∠ONP=90°，利用HL证明Rt△OMP≌Rt△ONP，利用全等三角形的对应角相等可得到∠MOP=∠NOP，即可证得OP平分∠AOB.

10．【答案】B

【解析】【解答】解：∵，

∴，

即，

在△AOC和△BOD中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，故①符合题意；

∵，

∴，故②，

作于G，于H，如图所示，

则，

∵，

∴，即，

∵，

∴，

∴平分，故④符合题意；

假设平分，则，

在与中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

而，

∴假设不符合题意，不能平分

故③不符合题意；

正确的序号有①②④．

故答案为：B．
【分析】根据全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可。

11．【答案】或

【解析】【解答】解：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等.

由图可知：和斜边为公共边，即，

∴应添加：或，

故答案为：或.

【分析】如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等，据此解答.

12．【答案】7或11

【解析】【解答】解：如图，

∵ D是∠MAN角平分线上一点，DE⊥AM于点E，DF⊥AN于点F，
∴∠DEB=∠DFC=90°，DE=DF，∠BAD=∠CAD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴∠DBE=∠DCF，
∴∠ABD=∠ACD，
在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴AC=AB=7，
如图，

∵ D是∠MAN角平分线上一点，DE⊥AM于点E，DF⊥AN于点F，
∴∠DEB=∠DFC=90°，DE=DF，∠BAD=∠CAD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE=CF=2，
在Rt△DEA和Rt△DFA中，
，
∴Rt△DEA≌Rt△DFA（HL），
∴AF=AE=2+7=9，
∴AC=AF+CF=9+2=11，
综上所述，AC的长为7或11.
故答案为：7或11.
【分析】分两种情况讨论：当点C在线段AF上时，利用AAS证出△ABD≌△ACD，得出AC=AB=7，当点C在线段AF的延长线上时，利用HL证出Rt△DEB≌Rt△DFC，Rt△DEA≌Rt△DFA，得出BE=CF=2，AF=AE=9，利用AC=AF+CF求出AC的长，即可得出答案.

13．【答案】7

【解析】【解答】解：∵，，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

故答案为：7．
【分析】先利用“AAAS”证明△HEA≌△BEC，再利用全等三角形的性质可得。

14．【答案】SSS

【解析】【解答】解：从作图可知OD＝OD′＝OC＝OC′，CD＝C′D′，

∵在△ODC和△O′D′C′中

，

∴△ODC≌△O′D′C′（SSS），

故填：SSS.
【分析】利用“SSS”证明三角形全等即可。

15．【答案】25

【解析】【解答】解：如图示：

过点 ，分别作 交 于点 ， 交 于点 ， ，交 延长线于点 ，

∵ 平分 ， 平分 ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ 平分 ，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∵ 平分 ，

∴

在 和 中，

∴ ，

故答案为：25.

【分析】过点E，分别作 EF⊥BD于点E， EG⊥AC于点G，EH⊥AB交AB延长线于点H ，由角平分线上的点到角两边的距离相等得EH=EF=EG，根据三角形外角的性质得∠HAC=∠ABC+∠ACB=112°，由角平分线的定义得∠EAO=∠HAC，∠EBC=∠ABC在S△AOE和△BOC中， 由∠AEB=∠OBC+∠OCB-∠OAE即可求解.

16．【答案】证明：，

，即.

在和中，

.

【解析】【分析】根据BF=CE结合线段的和差关系可得BC=EF，由已知条件可知AB=DE，AC=DF，然后根据全等三角形的判定定理进行证明.

17．【答案】解：在△ABC和△CDA中，
∵AB=CD，BC=DA，CA=AC，
∴△ABC≌△CDA(SSS)，
∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等)．

在△BCF和△DAE中，
∵BC=DA，∠1=∠2，CF=AE，
∴△BCF≌△DAE(SAS)，
∴BF=DE(全等三角形的对应边相等)．

【解析】【分析】首先利用SSS判断出△ABC≌△CDA ，根据全等三角形的对应角相等得∠1=∠2，再利用SAS判断出△BCF≌△DAE，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论.

18．【答案】解：与的大小关系为，理由如下：

因为过的平分线上一点作于点，于点，

所以，

所以，

所以，，

所以，

因为，

所以，

所以．

【解析】【分析】先利用“AAS”证明，可得，，再结合，证明，可得。

19．【答案】解：∵BD⊥AD，CE⊥AD，
∴∠D=∠E=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
∵AB=AC，
∴△DAB≌△ECA（AAS），
∴BD=AE=4cm，AD=CE=3cm，
∴DE=AE+AD=7cm.

【解析】【分析】利用AAS证出△DAB≌△ECA，得出BD=AE=4cm，AD=CE=3cm，利用DE=AE+AD，即可得出DE的长.

20．【答案】解：AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，

理由：在△ABD和△ACD中

，

∴△ABD≌△ACD（SSS），

∴∠BAD＝∠CAD，

即AP平分∠BAC．

【解析】【分析】利用SSS证明△ABD≌△ACD，根据全等三角形的对应角相等得∠BAD＝∠CAD，据此即可得出答案.

21．【答案】（1）解：如图，射线即为所求，

（2）解：

平分，

为高，

【解析】【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法，即可得出结论；
（2）根据三角形外角性质即可得出 ，根据三角形内角和即角平分线的定义，即可得出 即可得出答案。

22．【答案】证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC， 

∴∠AEB=∠DFC=90°，

∵AB=DC，AE=DF，

∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）.

∴∠ABE=∠DCF.

∵AB=DC，BC=CB，

∴△ABC≌△DCB（SAS）.

∴AC=BD.

【解析】【分析】利用垂直的定义得∠AEB=∠DFC=90°，利用HL证明Rt△ABE≌Rt△DCF，利用全等三角形的性质可得到∠ABE=∠DCF；再利用SAS证明△ABC≌△DCB，利用全等三角形的性质可证得结论.

23．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，AD⊥CE，BE⊥CE，

∴∠ACD+∠BCE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，∠BEC=∠CDA=90°，

∴∠ACD=∠CBE，

在ADC与CEB中，

，

∴ADCCEB（AAS），

∴CD=BE；

（2）解：∵△ADC△CEB，

∴AD=CE，CD=BE，

∴AD=CD+DE=BE+DE=2+3=5．

【解析】【分析】（1） 根据同角的余角相等可得∠ACD=∠CBE，根据垂直的概念可得∠BEC=∠CDA，结合AC=BC，利用AAS证明△ADC≌△CEB，据此可得结论；
（2）根据全等三角形的性质可得AD=CE，CD=BE，然后根据AD=CD+DE=BE+DE进行计算.

24．【答案】（1）证明：如图1，∵ BD⊥ 直线m，CE⊥直线m，

∴∠BDA=∠CEA=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°

∵∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠CAE=∠ABD，

在△ADB和△CEA中，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AE+AD=BD+CE；

（2）解：成立，证明如下，
如图2，

∵∠BDA=∠BAC=，

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=，

∴∠DBA=∠CAE，

在△ADB和△CEA中，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AE+AD=BD+CE；

【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得∠BDA=∠CEA=90°，再根据同角的余角相等得∠CAE=∠ABD， 从而利用AAS判断出△ADB≌△CEA ，根据全等三角形的对应边相等得 AE=BD，AD=CE， 最后根据线段的和差及等量代换即可得出结论；
（2）根据三角形内角和定理及平角的定义易得∠DBA=∠CAE ，从而利用AAS△ADB≌△CEA ，根据全等三角形的对应边相等得 AE=BD，AD=CE， 最后根据线段的和差及等量代换即可得出结论.