广东省东莞市袁崇焕中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份广东省东莞市袁崇焕中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共13页。试卷主要包含了已知1是关于x的一元二次方程，一元二次方程，若关于x的一元二次方程，关于x的一元二次方程x2+2等内容，欢迎下载使用。

广东省东莞市袁崇焕中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）
一．选择题（每小题3分，共10小题）
1．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定
2．若关于x的一元二次方程的两个根为x1＝1，x2＝2，则这个方程可能是（　　）
A．x2+3x﹣2＝0 B．x2+3x+2＝0 C．x2﹣3x+2＝0 D．x2﹣2x+3＝0
3．一元二次方程（x﹣2）＝x（x﹣2）的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝0 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝1
4．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有不相等实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
5．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5＝0，此方程可变形为（　　）
A．（x+2）2＝9 B．（x﹣2）2＝9 C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1
6．方程x2﹣9x+20＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则等腰三角形的周长为（　　）
A．13 B．14 C．13或14 D．不能确定
7．某果园2012年水果产量为100吨，2014年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（　　）
A．144（1﹣x）2＝100 B．100（1﹣x）2＝144
C．144（1+x）2＝100 D．100（1+x）2＝144
8．一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2，则p的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
9．关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（　　）
A．m≤ B．m≤且m≠0 C．m＜1 D．m＜1且m≠0
10．若a，b是方程x2+2x﹣2006＝0的两根，则a2+3a+b＝（　　）
A．2006 B．2005 C．2004 D．2002
二、填空题（每小题3分）
11．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了 　 　个人．
12．一个小组新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共　 　人．
13．如果关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
14．已知一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根为m，n，则m2﹣mn+n2＝　 　．
15．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为　 　．
三．解答题（共8小题）
16．（8分）解方程：
（1）x2﹣6x+8＝0；
（2）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0．
17．（8分）解方程：
（1）x2+2x＝0；
（2）3x2﹣6x+2＝0．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．
（2）若此方程的一个根是1，求出方程的另一个根及m的值．
19．（9分）在一块长为32m，宽为20m的矩形地面上，修建同样宽的三条道路（图中阴影部分），剩余部分种上草坪．要使草坪的面积为570m2，求道路的宽．

20．（9分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
21．（9分）某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资10亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2012年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2014年该市计划投资“改水工程”864万元．
（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；
（2）从2012年到2014年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？
22．（12分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

23．（12分）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．点P从点A开始，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B开始，沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动．如果P，Q同时出发，当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止．问：
（1）经过几秒钟后，P、Q两点间的距离为．
（2）经过几秒钟后，四边形APQC的面积是9cm2？


参考答案与试题解析
一．选择题（每小题3分，共10小题）
1．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定
【分析】把x＝1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．
【解答】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1＝0，
解得：m＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．
2．若关于x的一元二次方程的两个根为x1＝1，x2＝2，则这个方程可能是（　　）
A．x2+3x﹣2＝0 B．x2+3x+2＝0 C．x2﹣3x+2＝0 D．x2﹣2x+3＝0
【分析】先计算出x1+x2＝3，x1x2＝2，然后根据根与系数的关系得到满足条件的方程可为x2﹣3x+2＝0．
【解答】解：∵x1＝1，x2＝2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝2，
∴以x1，x2为根的一元二次方程可为x2﹣3x+2＝0．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝．
3．一元二次方程（x﹣2）＝x（x﹣2）的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝0 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝1
【分析】先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出即可．
【解答】解：移项得：（x﹣2）﹣x（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（1﹣x）＝0，
x﹣2＝0，1﹣x＝0，
x1＝2，x2＝1，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
4．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有不相等实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有不相等实数根，
∴Δ＝22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得k＞；且k﹣1≠0，即k≠1．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
5．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5＝0，此方程可变形为（　　）
A．（x+2）2＝9 B．（x﹣2）2＝9 C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1
【分析】移项后配方，再根据完全平方公式求出即可．
【解答】解：x2+4x﹣5＝0，
x2+4x＝5，
x2+4x+22＝5+22，
（x+2）2＝9，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能正确配方．
6．方程x2﹣9x+20＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则等腰三角形的周长为（　　）
A．13 B．14 C．13或14 D．不能确定
【分析】先求出方程的解，根据等腰三角形的性质得出两种情况，①当等腰三角形的三边为4，4，5，②当等腰三角形的三边为4，5，5，再求出答案即可．
【解答】解：x2﹣9x+20＝0，
（x﹣4）（x﹣5）＝0，
x﹣4＝0或x﹣5＝0，
解得：x＝4或5，
①当等腰三角形的三边为4，4，5时，符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是4+4+5＝13，
②当等腰三角形的三边为4，5，5时，符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是4+5+5＝14，
所以等腰三角形的周长是13或14，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
7．某果园2012年水果产量为100吨，2014年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（　　）
A．144（1﹣x）2＝100 B．100（1﹣x）2＝144
C．144（1+x）2＝100 D．100（1+x）2＝144
【分析】2014年的产量＝2012年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解答】解：设该果园水果产量的年平均增长率为x，则2013年的产量为100（1+x）吨，2014年的产量为100（1+x）（1+x）＝100（1+x）2吨，
根据题意，得100（1+x）2＝144，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程；得到2014年产量的等量关系是解决本题的关键．
8．一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2，则p的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【分析】把x＝2代入已知方程，列出关于p的一元一次方程，通过解该方程来求p的值．
【解答】解：∵一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2，
∴22+2p﹣2＝0，
解得 p＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
9．关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（　　）
A．m≤ B．m≤且m≠0 C．m＜1 D．m＜1且m≠0
【分析】先由根的判别式可得方程有两个实数根则△≥0，根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣2（m﹣1），x1x2＝m2，再由x1+x2＞0，x1x2＞0，解出不等式组即可．
【解答】解：∵Δ＝[2（m﹣1）]2﹣4m2＝﹣8m+4≥0，
∴m≤，
∵x1+x2＝﹣2（m﹣1）＞0，x1x2＝m2＞0
∴m＜1，m≠0
∴m≤且m≠0．
故选：B．
【点评】此题考查了根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根，根与系数的关系是x1+x2＝﹣，x1x2＝．
10．若a，b是方程x2+2x﹣2006＝0的两根，则a2+3a+b＝（　　）
A．2006 B．2005 C．2004 D．2002
【分析】利用根与系数的关系，求出x2+2x＝2006，a+b＝﹣2，即可解决．
【解答】解：∵a，b是方程x2+2x﹣2006＝0的两根，
∴x2+2x＝2006，a+b＝﹣2
则a2+3a+b＝a2+2a+a+b＝2006﹣2
＝2004
故选：C．
【点评】此题主要考查了根与系数的综合应用，题目非常典型，是中考中一个热点问题．
二、填空题（每小题3分）
11．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了 　10　个人．
【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x人，则第一轮后共有（1+x）人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，则第二轮后共有[1+x+x（x+1）]人患了流感，而此时患流感人数为121，根据这个等量关系列出方程．
【解答】解：设每轮传染中平均每人传染了x人．
依题意，得1+x+x（1+x）＝121，
即（1+x）2＝121，
解方程，得x1＝10，x2＝﹣12（舍去）．
答：每轮传染中平均每人传染了10人．
【点评】共有121人患了流感，是指患流感的人和被传染流感的人的总和，和细胞分裂问题有区别．
12．一个小组新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共　9　人．
【分析】每个人都要送给他自己以外的其余人，等量关系为：人数×（人数﹣1）＝72，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设这小组有x人．
由题意得：x（x﹣1）＝72，
解得x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．
即这个小组有9人．
故答案为：9．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，得到互送贺卡总张数的等量关系是解决本题的关键，注意理解本题中互送的含义，这不同于直线上点与线段的数量关系．
13．如果关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k＞0.2，且k≠1．　．
【分析】让Δ＝b2﹣4ac＞0，且二次项的系数不为0保证此方程为一元二次方程．
【解答】解：由题意得：16+20（k﹣1）＞0；k﹣1≠0，
解得：k＞0.2，且k≠1．
【点评】方程有2个不相等的实数根应注意两种情况：Δ＞0，二次项的系数不为0．
14．已知一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根为m，n，则m2﹣mn+n2＝　25　．
【分析】由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系求出m+n与mn的值，将所求式子利用完全平方公式变形后，代入计算即可求出值．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个根，
∴m+n＝4，mn＝﹣3，
则m2﹣mn+n2＝（m+n）2﹣3mn＝16+9＝25．
故答案为：25．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
15．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为　1　．
【分析】设y＝x2﹣2x+1，分别变形后求出解得到y的值，即为所求．
【解答】解：设y＝x2﹣2x+1，方程变形得：y2+2y﹣3＝0，
分解因式得：（y﹣1）（y+3）＝0，
可得y﹣1＝0或y+3＝0，
解得：y＝1或y＝﹣3（不符合题意，舍去），
则x2﹣2x+1＝y＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
三．解答题（共8小题）
16．（8分）解方程：
（1）x2﹣6x+8＝0；
（2）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0．
【分析】（1）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝2，x2＝4；

（2）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，
（x﹣2）[3（x﹣2）﹣x]＝0，
x﹣2＝0或3（x﹣2）﹣x＝0，
解得：x1＝2，x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
17．（8分）解方程：
（1）x2+2x＝0；
（2）3x2﹣6x+2＝0．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用配方法得到（x﹣1）2＝2，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1）x2+2x＝0，
x（x+2）＝0，
x＝0或x+2＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣2；
（2）3x2﹣6x+2＝0，
3x2﹣6x＝﹣2，
x2﹣2x＝﹣，
x2﹣2x+1＝﹣+1，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．
（2）若此方程的一个根是1，求出方程的另一个根及m的值．
【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明Δ＞0即可．Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4（2m﹣1）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4，因为（m﹣2）2≥0，可以得到Δ＞0；
（2）将x＝1代入方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0，求出m的值，进而得出方程的解．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4（2m﹣1）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4，
而（m﹣2）2≥0，
∴Δ＞0．
∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：∵方程的一个根是1，
∴12﹣（m+2）+2m﹣1＝0，
解得：m＝2，
∴原方程为：x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3．
即m的值为2，方程的另一个根是3．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
同时考查了一元二次方程的解的定义．
19．（9分）在一块长为32m，宽为20m的矩形地面上，修建同样宽的三条道路（图中阴影部分），剩余部分种上草坪．要使草坪的面积为570m2，求道路的宽．

【分析】设道路的宽为xm，根据矩形的面积公式列方程，再求解即可，注意把不合题意得解舍去．
【解答】解：设道路的宽为xm，
根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570，
解得：x1＝1，x2＝35（不合题意，舍去），
答：道路的宽为1m．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（9分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
【分析】等量关系为：主干1+支干数目+支干数目×支干数目＝91，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设每个支干长出x个小分支，则1+x+x2＝91，
解得：x1＝9，x2＝﹣10（舍去），
答：每个支干长出9个小分支．
【点评】考查一元二次方程的应用，得到总数91的等量关系是解决本题的关键．
21．（9分）某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资10亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2012年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2014年该市计划投资“改水工程”864万元．
（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；
（2）从2012年到2014年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？
【分析】（1）设求A市投资“改水工程”费用的年平均增长率为x，根据2014年该市计划投资“改水工程”864万元，列出方程，求出方程的解即可；
（2）根据（1）的结果把2012年到2014年每年的投资相加即可．
【解答】解：（1）设求A市投资“改水工程”费用的年平均增长率为x，得，
600（1+x）2＝864，
解得，x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
答：A市投资“改水工程”费用的年平均增长率为20%．

（2）由题意得，600+600（1+x）+864＝600+600×120%+864＝2184（万元），
答：从2012年到2014年，A市三年共投资“改水工程”2184万元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解
22．（12分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

【分析】设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．
【解答】解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．
根据题意得 （100﹣4x）x＝400，
解得 x1＝20，x2＝5．
则100﹣4x＝20或100﹣4x＝80．
∵80＞25，
∴x2＝5舍去．
即AB＝20，BC＝20．
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
23．（12分）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．点P从点A开始，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B开始，沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动．如果P，Q同时出发，当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止．问：
（1）经过几秒钟后，P、Q两点间的距离为．
（2）经过几秒钟后，四边形APQC的面积是9cm2？

【分析】（1）设经过几秒钟后，P、Q两点间的距离为．在Rt△PBQ中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）设经过t秒钟后，四边形APQC的面积是9cm2，由题意：四边形APQC的面积是9cm2，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设经过几秒钟后，P、Q两点间的距离为．
由勾股定理得：（8﹣x）2+（2x）2＝（2）2，
解得：x＝2或x＝，
答：经过2秒钟或秒钟后，P、Q两点间的距离为．
（2）设经过t秒钟后，四边形APQC的面积是9cm2，
由题意得：×8×6﹣×（8﹣t）×2t＝9，
解得：t＝3或t＝5（不符合题意舍去），
∴t＝3，
答：经过3秒钟后，四边形APQC的面积是9cm2．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．