2023-2024学年广东省珠海市香洲区紫荆中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年广东省珠海市香洲区紫荆中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.是方程的根，则式子的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.若点，在抛物线上，则，的大小关系(    )

A.  B.  C.  D.

3.用配方法解一元二次方程，此方程可化为
(    )

A.  B.  C.  D.

4.若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    )

A. 且 B.  C.  D. 且

5.二次函数的图象的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

6.已知，为一元二次方程的两个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 或

8.把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线(    )

A.  B.  C.  D.

9.二次函数若，则自变量的取值范围是(    )

A. 或 B. 或 C.  D.

10.如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：；；；一元二次方程没有实数根其中正确的结论个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.方程的根是          ．

12.已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为______ ．

13.如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点，点在抛物线上，当轴时， ______ ．

14.飞机着陆后滑行的距离单位：关于滑行的时间单位：的函数解析式是，飞机着陆后滑行______米才能停下来．

15.已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为______ ．

16.二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，，，在轴的正半轴上，点，，，，在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，，都为等边三角形，则的边长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
解方程：
；
．

18.本小题分
如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点．
求点、、坐标；
若直线经过、两点，直接写出不等式的解集．

 

19.本小题分
“山竹”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款元，第三天收到捐款元．
如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
按照中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？

20.本小题分
已知关于的一元二次方程有实数根．
求的取值范围；
若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．

21.本小题分
如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，轴是抛物线的对称轴，顶点到坐标原点的距离为．
求抛物线的关系式；
一辆货运卡车的高，宽，它能通过该隧道吗？
如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？

 

22.本小题分
某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量件与每件的售价元满足一次函数关系，部分数据如下表：

求出与之间的函数表达式；不需要求自变量的取值范围
该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的，设这种衬衫每月的总利润为元，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？

23.本小题分
已知关于的方程 ．
求证：不论为任何实数，此方程总有实数根；
若抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，试确定此抛物线的解析式；
若点与在中抛物线上 点、不重合，且，求代数式的值．

24.本小题分
如图，已知抛物线：经过点，，过点作轴交抛物线于点，的平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点．
求抛物线的关系式；
若动点在直线下方的抛物线上，连结、，当面积最大时，求出点坐标；
如图，是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点，使成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是方程的根，
，
，
故选：．
根据一元二次方程的解的定义，可得，代入代数式，即可求解．
本题考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．一元二次方程的解根的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．

2.【答案】 

【解析】解：，
该抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时取得最大值，
点，在抛物线上，，
，
故选：．
根据二次函数的性质和二次函数图象具有对称性可以求得，的大小，从而可以解答本题．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确二次函数的性质，利用二次函数的图象具有对称性解答．

3.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键．常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．
【解答】
解：，
，即，
故选B．

4.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
所以且．
故选：．
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．

5.【答案】 

【解析】解：根据二次函数的顶点式方程知，该函数的顶点坐标是：．
故选：．
二次函数的顶点坐标是．
本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式．解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程中的、所表示的意义．

6.【答案】 

【解析】解：、为一元二次方程的两个根，
，
是的一个根，
，
，
．
故选：．
由于、为一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可得，而是方程的一个根，可得，即，那么，再把、的值整体代入计算即可．
本题考查了一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程的根与系数的关系为：，．

7.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程的一个根为，
且，
解得：．
故选：．
利用一元二次方程根的定义，确定出的值即可．
此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为为常数且．

8.【答案】 

【解析】解：由题意得原抛物线的顶点为，
平移后抛物线的顶点为，
新抛物线解析式为，
故选：．
易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．
考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得到新抛物线的顶点是解决本题的突破点．

9.【答案】 

【解析】解：二次函数，
该抛物线的开口向上，对称轴为直线，
令，则，
抛物线与轴的交点是，
点关于对称轴的对称点为，
当时，自变量的取值范围是或．
故选：．
把一般式转化为顶点式，即可得到抛物线开口向上，对称轴为直线，求得抛物线与轴的交点，进而求得其对称点，然后根据二次函数的性质即可得到时的取值范围．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：抛物线顶点坐标为，
抛物线对称轴为直线，
图象与轴的一个交点在，之间，
图象与轴另一交点在，之间，
时，，
即，
故正确，符合题意．
抛物线对称轴为直线，
，
，
时，，
故正确，符合题意．
抛物线顶点坐标为，
有两个相等实数根，
，
，
故正确，符合题意．
的最大函数值为，
有两个不相等的实数根，
故错误，不符合题意．
故选：．
根据图象开口向下，对称轴为直线可得抛物线与轴另一交点坐标在，之间，从而判断由对称轴为直线可得与的关系，将代入函数解析式根据图象可判断，由有两个相等实数根可得，从而判断由函数最大值为可判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．

11.【答案】， 

【解析】解：，
，
，
，，
故答案为：，．
利用直接开平方法求解即可．
本题考查了一元二次方程的解法直接开平方法，利用直接开平方法求解一元二次方程的一般步骤：把方程化为左平方，右常数；把系数化为；开平方取正负；分开求得方程解．

12.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴的一个交点为，
，
，
．
故答案为：．
利用待定系数法以及整体代入的思想解决问题即可．
本题考查抛物线与轴的交点，代数求值等知识，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题．

13.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴相交于点、点，
该抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴相交于点，点在抛物线上，轴，
点的横坐标为：，
，
故答案为：
先根据点和点的坐标求出该抛物线的对称轴，再根据二次函数具有对称性，即可得到点的横坐标，从而可以求得的长．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

14.【答案】 

【解析】解：，
当时，取得最大值，即飞机着陆后滑行米才能停下来，
故答案为：．
将函数解析式配方成顶点式求出的最大值即可得．
本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为的最大值是解题的关键．

15.【答案】或 

【解析】解：的对称轴为直线，
顶点坐标为，
时，
函数有最大值，
在，当时，函数有最小值，
，
解得；
时，
函数有最小值，
在，当时，函数有最小值，
，
解得；
故答案为：或．
分情况讨论对称轴为直线，然后根据二次函数的性质即可得到在中，根据最大值最小值进行计算即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：分别过，，作轴的垂线，垂足分别为、、，

设，，，则，，，
在正中，，
代入中，得，解得，即，
在正中，，
代入中，得，解得，即，
在正中，，
代入中，得，解得，即，

依此类推由此可得的边长，
故答案为：．
分别过，，作轴的垂线，垂足分别为、、，设，，，则，，，再根据所求正三角形的边长，分别表示，，的纵坐标，逐步代入抛物线中，求、、的值，得出规律．
本题考查了二次函数图象上点的坐标，根据正三角形的性质表示点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长是解题的关键．

17.【答案】解：，
，
，
，
，；
．
，
，
，
，
或，
，． 

【解析】利用配方法求解比较简单；
利用因式分解法求解比较简单．
本题考查了解一元二次方程中的因式分解法和配方法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

18.【答案】解：令，则，
解得或，
点坐标为，点坐标为，
令，，
点坐标为．
． 

【解析】【分析】
令可得点，坐标，令可得点坐标．
通过观察图象，之间的部分抛物线在直线上方，从而求解．
本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
【解答】
解：
见答案；
由图象可得，当时，抛物线在直线上方，
的解集为．
故答案为：．

19.【答案】解：设捐款增长率为，根据题意列方程得，
，
解得，不合题意，舍去；
答：捐款增长率为．

第四天收到捐款为：元．
答：第四天该单位能收到元捐款． 

【解析】解答此题利用的数量关系是：第一天收到捐款钱数每次增长的百分率第三天收到捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可；
第天收到捐款钱数每次增长的百分率第天收到捐款钱数，依此列式子解答即可．
本题考查了一元二次方程的应用，列方程的依据是：第一天收到捐款钱数每次增长的百分率第三天收到捐款钱数．

20.【答案】解：根据题意得：，
解得：．
故的取值范围是：．
根据题意得：，，
，
，即，
解得：，由得，故舍去．
故的值为． 

【解析】本题考查了根与系数的关系：当，是一元二次方程的两根时，，．
根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可；
根据根与系数的关系得到，，利用整体代入的方法得到，然后解关于的方程即可．
注意：由得，故舍去．

21.【答案】解：由题意得抛物线经过点，，．
设抛物线的解析式为，
将，代入上式得，
解得，
抛物线的解析式为．
能，理由如下：
由知抛物线的解析式为，
当时，．
因为，所以货运卡车能通过隧道．
不能，理由如下：
当隧道内设成双行道时，货车只能从轴的左侧或右侧通过，
由于隧道正中设有的隔离带，故轴的左右两侧各有的隔离带，
货运卡车的宽为，当时，．
因为，所以货运卡车不能通过隧道． 

【解析】对称轴是轴，所求抛物线解析式的一次项系数为．
时，中抛物线对应的值就是货运卡车可通过的最大高度．
与，中抛物线对应的值相等．
时，中抛物线对应的值就是货运卡车可通过的最大高度．
本题考查二次函数的应用，根据题意列出关系式是解题的关键．

22.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
，
解得，，
即与之间的函数表达式是；
，
解得，，，
尽量给客户优惠，
这种衬衫定价为元；
由题意可得，
，
该衬衫的每件利润不允许高于进货价的，每件售价不低于进货价，
，，
解得，，
当时，取得最大值，此时，
答：售价定为元可获得最大利润，最大利润是元． 

【解析】根据题意和表格中的数据可以得到与之间的函数表达式；
根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户最大优惠；
根据题意，可以得到与之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．

23.【答案】解：当时，原方程化为，此时方程有实数根 ．
当时，原方程为一元二次方程．
．
此时方程有两个实数根．
综上，不论为任何实数，方程 总有实数根．

令，则 ．
解得 ，．
抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，
．
抛物线的解析式为．

点与在抛物线上，
．
，
．
可得 ．
即  ．
点，不重合，
．
．
． 

【解析】分别讨论当和的两种情况，对一元一次方程和一元二次方程的根进行判断；
令，则 ，求出两根，再根据抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，求出的值；
点与在抛物线上，求出和，和相等，求出 ，然后整体代入求出代数式的值．
本题主要考查二次函数的综合题的知识，解答本题的关键熟练掌握方程与函数之间的联系，此题难度不大，第三问需要整体代入．

24.【答案】解：抛物线：经过点，，
，解得：，
抛物线的解析式为：；

如图，过作轴，交于点，

设，
平分，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
直线的解析式为：，
，
，

，
，
当
时，面积最大，
此时，点坐标为；
存在，理由：
设，分四种情况：
当在对称轴的左边，且在轴下方时，如图，过作轴，交轴于，交于，

，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
≌，
，
，
则，
解得：舍去或，
的坐标为；
当在对称轴的左边，且在轴上方时，
同理得：，
解得：舍或，
的坐标为；
当在对称轴的右边，且在轴下方时，

如图，过作轴于，过作于，
同理得≌，
，
则，
解得：或舍去；
的坐标为；
当在对称轴的右边，且在轴上方时，如图，

同理得，
解得：或舍去
的坐标为：；
综上所述，点的坐标是：或或或 

【解析】利用待定系数法可得抛物线的解析式；
过作轴，交于点，设，根据的解析式表示点的坐标，表示的长，根据面积和可得的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；
存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明≌，根据，列方程可得点的坐标；同理可得其他图形中点的坐标．
本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想解决问题的关键．