2022-2023学年广东省广州大学附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）(解析版)

2022-2023学年广东省广州大学附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列实数中，最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    同步卫星在赤道上空大约米处．将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

3.    下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.    在中，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.    下列命题中，是真命题的是(    )

A. 三角形的外心是三角形三个内角角平分线的交点
B. 的平方根是
C. 对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形是矩形
D. 五边形的内角和为

6.    将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位后所得到的抛物线为(    )

A.  B.
C.  D.

7.    如图，在长为米、宽为米的矩形地面上修筑同样宽的道路图中阴影部分，余下部分种植草坪，要使小路的面积为平方米，设道路的宽为米，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

8.    已知关于的方程的两个根分别是和，若抛物线与轴交于点，过作轴，交抛物线于另一交点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.    一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，抛物线与轴交于点、，顶点为，对称轴为直线，给出下列结论：；若点的坐标为，则的面积可以等于；，是抛物线上两点，若，则；若抛物线经过点，则的方程的两根为，，其中正确的结论有个．(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. ______．
12. 若单项式与是同类项，则的值为______．
13. 因式分解：______．
14. 若是方程的一个根，则的值为______ ．
15. 若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围______ ．
16. 如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且连接，则周长的最小值是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
18. 本小题分
    已知：如图，、、、四点在同一条直线上，，，求证：．

19. 本小题分
    先化简，再求值：，请从，，，四个数中选择一个合适的数代入求值．
20. 本小题分
    某校名学生参加植树活动，要求每人植树的范围是棵，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，：棵；：棵；：棵；：棵，将各类的人数绘制成扇形统计图如图和条形统计图如图回答下列问题：
    
    补全条形统计图；
    被调查学生每人植树量的众数、中位数分别是多少？
    估计该校全体学生在这次植树活动中共植树多少棵？
21. 本小题分
    冰墩墩，是年北京冬季奥坛会的吉祥物、将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰哲运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中，两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：

第一次小冬元购进了，两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个．
第二次小冬进货时，网店规定欧玩便进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？

22. 本小题分
    如图，已知点为的边上一点．
    请在边上确定一点，使得要求；尺规作图、保留作图痕迹、不写作法；
    根据你的作图证明．

23. 本小题分
    已知关于的一元二次方程有实数根．
    求的取值范围；
    若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
24. 本小题分
    如图所示，在正方形中，，分别为，的中点，和相交于点，连接，．
    如图，试猜想与的数量关系和位置关系，请说明理由；
    求证：；
    试猜想、与之间的数量关系，并证明你的猜想．
     
25. 本小题分
    在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与于点，已知抛物线经过、两点．
    求抛物线的解析式；
    如图，点是在直线上方的抛物线上的动点，连接、，当点到直线的距离最大值时，求点的坐标；
    若二次函数，当时，函数的最大值与最小值之差等于，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
最大的数是，
故选：．
选项，的绝对值是，所以这个数都是正数，选项，，即可得到最大的的数是．
本题考查了实数的比较大小，知道是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．

此题考查了对科学记数法的理解和运用．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项A、，故本选项不符合题意；
选项B、，故本选项符合题意；
选项C、，故本选项不符合题意；
选项D、，故本选项不符合题意；
故选：．
根据幂的乘方和积的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法分别求出每个式子的值，再判断即可．
本题考查了幂的乘方和积的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
      本题考查判断命题的真假，涉及平方根、中点四边形、多边形内角和、三角形的外心等知识，熟知它们的前提条件是解答的关键．根据平方根、中点四边形、多边形内角和、三角形的外心等知识进行判断即可．
【解答】
解：、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，三角形三个内角角平分线的交点是三角形的内心，故为假命题；
B、的平方根是，算数平方根是，故为假命题；
C、对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形是菱形，故为假命题；
D、五边形的内角和为，为真命题．
故选D．  

6.【答案】 

【解析】解；将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位后所得到的抛物线为，
故选：．
根据图象右移减，上移加，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移的规律是：左加右减，上加下减．
 

7.【答案】 

【解析】解：设道路的宽米，则
．
故选C．
设道路的宽米，小路的面积一个长宽的矩形面积一个长宽的矩形的面积，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．
 

8.【答案】 

【解析】解：方程的两个根分别是和，
抛物线与轴的交点为，，
，
解得，
，
当时，，
当时，，得，，
点的坐标为，点的坐标为，
，
故选：．
方程的两个根分别是和，可以得到抛物线与轴的交点为，，然后即可得到、的值，从而可以得到抛物线的解析式，然后求出点和点的坐标，即可得到的值．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是求出、的值．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，故选项A错误；
在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，故选项B错误；
在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，故选项C错误；
在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，故选项D正确；
故选：．
根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断、的正负情况，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的图象和一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是根据函数图象判断、的正负情况．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴在轴右侧，则，而，，故正确，符合题意；
的面积，解得：，则点，即与图象不符，故错误，不符合题意；
函数的对称轴为，若，则，则点离函数对称轴远，故，故错误，不符合题意；
抛物线经过点，则过点，根据函数的对称轴是直线可知该抛物线也过点，故方程的两根为，，故正确；
故选：．
根据对称轴和抛物线与轴的交点可对作出判断；
根据的面积可得的长，得出点的坐标，可对作出判断；
根据抛物线的对称轴得到点、离对称轴得远近，可对作出判断；
根据抛物线与一元二次方程的关系可对作出判断．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．
此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，，
解得，
所以，
．
故答案是：．
根据同类项的定义所含字母相同，相同字母的指数相同列出方程，求出，的值，再代入代数式计算即可．
本题考查了算术平方根和同类项的定义．解题的关键是掌握算术平方根和同类项的定义，要注意同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
 

13.【答案】 

【解析】解：

．
用平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，将代入方程，得：，
则，


，
故答案为：．
把代入方程求出，把化成代入求出即可．
本题考查了一元二次方程的解的应用，用了整体代入思想，即把当作一个整体来代入．
 

15.【答案】或 

【解析】解：解不等式组得：，
所有整数解的和是，
不等式组的整数解为，，或，，，，，，，，
或；
故答案为：或．
解不等式组得出解集，根据整数解的和为，可以确定整数解为，，或，，，，，，，，再根据解集确定的取值范围．
考查一元一次不等式组的解集、整数解，根据整数解和解集确定待定字母的取值范围，在确定的过程中，不等号的选择应认真细心，切实选择正确．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，作点关于的对称点，连接、，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，．
，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
，，三点共线，
此时的周长最小．
，
，即，
，
周长的最小值为：．
故答案为：．
如图，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，，，，三点共线，此时的周长最小．
本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用轴对称的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：方程移项得：，
分解因式得：，
可得或，
解得：，；
方程，
这里，，，
，
，
解得：，． 

【解析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可；
找出方程中，，的值，代入求根公式计算即可求出解．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】证明：，
，
，
在和中

≌，
． 

【解析】求出，根据推出≌，根据全等三角形的性质推出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
 

19.【答案】解：原式



，
，，时，原分式无意义，
，
当时，原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：这次调查一共抽查植树的学生人数为人，
类人数人，补全统计图如下：

植棵的人数最多，
众数是棵，
把这些数从小到大排列，中位数是第、个数的平均数，则中位数是棵．
这组数据的平均数是：棵，
棵．
答：估计这名学生共植树棵． 

【解析】由类型的人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以类型的对应的百分比即可求出其人数，据此可补全图形；
根据众数和中位数的概念可得答案；
先求出样本的平均数，再乘以总人数即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：设购进款玩偶个，则购进款玩偶个，
由题意可得：，
解得，
，
答：购进款玩偶个，则购进款玩偶个；
设购进款玩偶个，则购进款玩偶个，利润为元，
由题意可得：，
随的增大而增大，
网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半，
，
解得，
当时，取得最大值，此时，，
答：购进款玩偶个，购进款玩偶个时才能获得最大利润，最大利润是元． 

【解析】根据题意和表格中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；
根据题意，可以写出利润与购进中玩偶数量的函数关系式，再根据网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半，可以得到中玩偶数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
 

22.【答案】解：如图，用作等角的方法，作，使，则点即为所求；

连接，分别过点和点作，，垂足分别为，，
，
．
，，
．
 

【解析】过点作交于，点即为所求；
连接，分别过点和点作，，由可得到，再由三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查作图复杂作图，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：根据题意得：，
解得：．
故的取值范围是：．
根据题意得：，，
，
，即，
解得：，由得，故舍去．
故的值为． 

【解析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可；
根据根与系数的关系得到，，利用整体代入的方法得到，然后解关于的方程即可．
注意：由得，故舍去．
 

24.【答案】解：结论：，．
理由：正方形中，、分别为，的中点，
，，，
≌．
，，
，
，
，
；

证明：如图，设是的中点，连接交于点，

四边形是正方形，是的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
是的中点，
是的中点，
；

解：结论：．
理由：如图，延长到点，使，

≌，
，
，
、分别为，的中点，
，
≌．
，，
，
是等腰直角三角形．
，
，
，
． 

【解析】结论：，证明≌推出，，可得结论；
如图，设是的中点，连接交于点，证明垂直平分线段即可；
结论：如图，延长到点，使，证明是等腰直角三角形，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

25.【答案】解：在中，令得，令得，
，，
把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
过作于，过作轴交于，如图：

设，则，
，
，
，，
，
，
，
，
，
当时，取最大值，最大值为，
此时，
；
，
抛物线的顶点为，对称轴是直线，且抛物线开口向下，
当，即时，在取得最大值，在取最小值，
，
解得；
当，且，即时，
在取得最大值，在取最小值，
，
解得舍去或舍去，
当，且，即时，
在取得最大值，在取最小值，
，
解得舍去或舍去；
当时，在取得最大值，在取最小值，
，
解得，
综上所述，或时，函数的最大值与最小值之差等于，
的值是或． 

【解析】在中，可得，，用待定系数法抛物线的解析式为；
过作于，过作轴交于，设，则，可得，，即可得，从而得到答案；
抛物线的顶点为，对称轴是直线，且抛物线开口向下，分四种情况：当，即时，在取得最大值，在取最小值，，当，且，即时，，当，且，即时，，当时，在取得最大值，在取最小值，，解方程即可得到答案．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，二次函数最大小值等问题，解题的关键是分类讨论思想的应用．