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精品解析：广东省深圳实验学校2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷
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2022-2023学年广东省深圳实验学校九年级（上）第一次月考
数学试卷
一．选择题（每题3分，共计30分）
1. 2022年北京冬奥会已顺利闭幕，下列历届冬奥会会徽的部分图案中，是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合，掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质解答．不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：A、∵m>n，∴-2m<-2n，则-2m+1<-2n+1，故该选项不成立，不符合题意；
B、∵m>n，∴m+1>n+1，则，故该选项成立，符合题意；
C、∵m>n，∴m+a>n+a，不能判断m+a>n+b，故该选项不成立，不符合题意；
D、∵m>n，当a>0时，-am<-an；当a<0时，-am>-an；故该选项不成立，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
3. 在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm增加了4cm，则复印出的三角形的周长是原图中三角形周长的（ ）
A. 3倍 B. 6倍 C. 9倍 D. 12倍
【答案】A
【解析】
【分析】复印前后的三角形按照比例放大与缩小，因此它们是相似三角形，本题按照相似三角形的性质求解．
【详解】解：由题意可知，相似三角形的边长之比＝相似比＝2：（4+2）＝1：3，
所以周长之比＝相似比＝1：3，
所以复印出的三角形的周长是原图中三角形周长的3倍．
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，熟记相似三角形的性质是解题的关键．
4. 下列判断正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形
B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形、正方形、矩形的判定方法，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，说法错误，不符合题意；
B、对角线相等的菱形是正方形，说法正确，符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，说法错误，不符合题意；
故选：B
【点睛】此题考查了菱形、正方形、矩形的判定方法，掌握它们的判定方法是解题的关键．
5. 大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量反复实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出正方形二维码的面积，再根据点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，然后进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵正方形二维码的边长为3cm，
∴正方形二维码的面积为9cm2，
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴黑色部分的面积约为：9×0.6＝5.4；
故选C．
【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
6. 为应对市场对新冠疫苗越来越大的需求，某大型疫苗生产企业在更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产8万份疫苗，现在生产600万份疫苗所需的时间比更新技术前生产500万份疫苗所需时间少用6天，设现在每天生产x万份，据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设现在每天生产x万份，则更新技术前每天生产 万份，根据“现在生产600万份疫苗所需的时间比更新技术前生产500万份疫苗所需时间少用6天”即可得到方程．
【详解】设现在每天生产x万份，则更新技术前每天生产 万份，由题意得
故选：B．
【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，准确理解题意，找准数量关系是解题的关键．
7. 在△中，，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如果△BAD∽△CBD，可得∠ADB=∠BDC=90°，即BD是AC的垂线，根据作图痕迹判断即可．
【详解】当BD是AC的垂线时，△BAD∽△CBD．
∵BD⊥AC，
∴∠ADB =∠BDC=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠A=∠CBD，
∴△BAD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，BD是∠ABC的角平分线，不与AC垂直，不符合题意；
B选项中，BD是AC边的中线，不与AC垂直，不符合题意；
C选项中，BD是AC的垂线，符合题意；
D选项中，BD不与AC垂直，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
8. 如图，，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵AC＝CG，
∴，
故A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵AG＝FG，
∴BG＝EG，
∴BE＝2BG，
∵，
∴BG＝2DG，
∴BE＝4DG，
∴，
故B错误，符合题意；
∵，
∴，
∵BG＝2DG，BE＝4DG，
∴DE＝3DG，
∴，
故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵DE＝3DG，
∴EG＝2DG，
∴，
故D正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
9. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，E为边AB的黄金分割点（AE＞BE），AD＝AE，BC＝BE．AC，DE将四边形分为四个部分，它们的面积分别用S1，S2，S3，S4表示，则下列判断正确的是（ ）
A. S1＝4S2 B. S4＝3S2 C. S1＝S3 D. S3＝S4
【答案】C
【解析】
【分析】设AB＝a．求出△ADE，△ABC的面积（用a表示），可得结论．
【详解】解：设AB＝a．
∵E是AB的黄金分割点，AE＞EB，
∴AD＝AEa，BE＝BC＝a（1）a，
∴S△ADE•（a）2a2，S△ABCaaa2，
∴S△ADE＝S△ABC，
即S1+S2＝S2+S3，
∴S1＝S3，
故选：C．
【点睛】本题考查黄金分割，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
10. 如图所示，在平行四边形ABCD中，点E为BC中点，连接DE，过点A作于点F，交DE于点G，连接BG并延长交CD于点H，恰好使．已知，阴影部分△BEG的面积为3，则AG的长度是（ ）
A. B. 4 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】延长DE、AB，交于一点M，连接CG，根据点E为BC的中点，可以证明，得出，根据，得出，设，则，列出关于x的方程，得出x的值，即可求出的面积和GF的长，进而求出平行四边形的面积，从而求出AF的长，即可得出AG的长．
【详解】解：延长DE、AB，交于一点M，连接CG，如图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∴，
∵点E为BC的中点，
∴BE=CE，
∵在和中，
∴，
∴MB=CD=AB=5，，
∵与等底同高，
，
∵，，
∴，，
设，则，
∴，
则，
，，
，
，
即，
解得：，
∴，，
∴，
，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
二．填空题（每小题3分，共15分）
11. 在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，则点M的坐标是____．
【答案】(-5，3)
【解析】
【分析】先根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，再根据第二象限点坐标的特征解答即可．
【详解】解：∵点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为5
∴，
∵点M在第二象限
∴x=-5，y=3
∴M（-5,3）
故答案为：（-5,3）．
【点睛】本题考考了直角坐标系中点的坐标，掌握每个象限点坐标的特征和横坐标、纵坐标的意义是解答本题的关键．
12. 一根高为22厘米的蜡烛，点燃后蜡烛剩下的高度h（厘米）与燃烧时间t（小时）的关系如图所示，则该蜡烛可以燃烧的时间为__________小时．
【答案】5.5
【解析】
【分析】观察所给图象，根据燃烧时间与燃烧蜡烛的高度列方程，求出单位时间燃烧的蜡烛高度，即可解出答案．
【详解】解：设每小时燃烧蜡烛的高度为x厘米，由题意知：
解得
所以该蜡烛可以燃烧的时间为：（小时）
故答案是：5.5．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，根据已知图象中燃烧时间与燃烧蜡烛高度的关系列出方程是解题关键．
13. 关于x的方程有两个实数根．且．则_______．
【答案】3
【解析】
【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再根据可得一个关于的方程，解方程即可得的值．
【详解】解：由题意得：，
，
，
化成整式方程为，
解得或，
经检验，是所列分式方程的增根，是所列分式方程的根，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
14. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若，则CG的长是_____．
【答案】##24
【解析】
【分析】先证明△CDF≌△BCE，得到∠BGC＝90°，利用面积法即可求出．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，BC＝4，
∴∠CDF＝∠BCE＝90°，AD＝DC＝BC＝4，
又∵DE＝AF＝1，
∴CE＝DF＝3，
∴在△CDF和△BCE中，
，
∴△CDF≌△BCE（SAS），
∴∠DCF＝∠CBE，
∵∠DCF+∠BCF＝90°，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BGC＝90°，
∵Rt△BCE中，BC＝4，CE＝3，
∴,
∴BE•CG＝BC•CE，
∴，
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识，证明△CDF≌△BCE是解题关键．
15. 如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，DC＝12cm，点E、F分别为边AB、BC上的两个动点，点E从点A出发以每秒5cm的速度向点B运动，点F从点B出发以每秒3cm的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．若∠AFD＝∠AED，设运动时间为t秒，则t的值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意知AE＝5t，BF＝3t，证出△ DAE∽△ ABF，得到∠DEA＝∠AFB，然后由，得到∠AFB＝∠DAF，再结合条件∠AFD＝∠AED得证AD＝FD，然后利用勾股定理求得t的值即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ AB＝DC＝12，AD＝BC＝20，
由题意得，AE＝5t，BF＝3t
∴ CF＝20﹣3t，
∵∠DAE＝∠ABF＝90°，
∴ △ DAE∽△ ABF，
∴∠DEA＝∠AFB，
∵∠DFA＝∠DEA，
∴∠AFB＝∠DFA，
∴∠DAF＝∠AFB，
∴∠DFA＝∠DAF，
∴ AD＝FD＝20，
在Rt△ DCF中，CF2+CD2＝DF2，
∴（20﹣3t）2+122＝202，
解得：t＝12或t＝
∴ t＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等角对等边和矩形的性质等知识，根据对应边成比例且夹角相等得出两三角形相似，继而由等角对等边得出关于t的方程是解题的关键．
三．解答题（共7小题，共55分）
16. 解方程：
（1）；
（2）x2+6x﹣7＝0．
【答案】（1）无解 （2）x1＝﹣7，x2＝1
【解析】
【分析】（1）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即，得到分式方程的解；
（2）利用因式分解法解方程．
【小问1详解】
解：去分母得：3x﹣x﹣2＝0，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解；
【小问2详解】
解：x2+6x﹣7＝0，
（x+7）（x﹣1）＝0，
x+7＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣7，x2＝1．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解题关键是分式方程一定注意要验根；还考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
17. 先化简，再求值：，其中x是方程的根．
【答案】，
【解析】
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将x2+x＝3代入原式即可求出答案．
【详解】解：原式•
•
•
，
当x2+x﹣3＝0时，
∴x2+x＝3，
∴原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算．
18. 为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
社团活动
舞蹈
篮球
围棋
足球
人数
50
30
80
参加四个社团活动人数扇形统计图
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取学生共有 人，其中参加围棋社的有 人；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？
（3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．
【答案】（1）200，40
（2）人
（3）
【解析】
【分析】（1）用足球的人数除以足球所占的百分比，即可求得样本容量，进而求出参加围棋社的人数．
（2）先求出参加篮球社的学生所占百分比，再乘以3200，即可得出答案．
（3）用树状图表示3男2女共5名学生，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，所有可能出现的结果情况，进而求出答案即可．
【小问1详解】
抽取的学生共有：（人）,
参加围棋社的有：（人）;
【小问2详解】
若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生共有
（人）,
【小问3详解】
设事件为：恰好抽到一男一女
所有等可能出现的结果总数为20个，事件所含的结果数为12个
恰好抽到一男一女概率为．
【点睛】本题主要考查了读统计表与扇形图的能力和利用图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察，分析，研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了利用树状图或列表法求概率．
19. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝2，求．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF＝90°即可；
（2）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
【小问1详解】
证明：∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC．
即 EF＝BC．
在▱ABCD中，且AD＝BC，
∴且AD＝EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°．
∴四边形AEFD是矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形AEFD是矩形，
∴∠AEC＝∠DFC＝90°，AE＝DF＝4，
∴∠EAC+∠ECA＝90°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ECA+∠DCF＝90°，
∴∠EAC＝∠DCF，
∴△AEC∽△CFD，
∴，
∴EC＝2DF＝8，
解法一：∴．
解法二：∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
20. 为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共400吨，甲厂的生产量是乙厂的2倍少80吨．这批防疫物资将运往A地220吨，B地180吨，运费如表（单位：元吨）．
目的地生产
甲
30
45
乙
25
35
（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？
（2）设这批物资从甲厂运往A地吨，全部运往A，B两地的总运费为元．求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案，求出最少总运费．
【答案】（1）甲厂生产了240吨，乙厂生产了160吨
（2）从甲厂运往A地220吨，从甲运往B地20吨，从乙运往A地0吨，从乙运往B地160吨，最少总运费为13100元
【解析】
【分析】（1）设这批防疫物资乙厂生产了x吨，则甲厂生产了（2x﹣80）吨，根据题意列方程解答即可；
（2）根据题意得出w与a之间的函数关系式以及a的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【小问1详解】
设这批防疫物资乙厂生产了吨，则甲厂生产了吨，根据题意得：
，
解得，
，
答：甲厂生产了240吨，乙厂生产了160吨；
【小问2详解】
从甲厂运往A地吨，
从甲运往B地吨，从乙运往A地吨，从乙运往B地吨，
根据题意，得，
，
，
∵k＝﹣5＜0，
∴随增大而减小，
当时，总运费最少，，
即从甲厂运往A地220吨，从甲运往B地20吨，从乙运往A地0吨，从乙运往B地160吨，最少总运费为13100元．
【点睛】本题考查了一次函数、一元一次方程、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和一次函数的解析式．
21. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交BC于G．
（1）求证：BG=DE；
（2）若点G为CD的中点，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【详解】试题分析：（1）由于BF⊥DE，所以∠GFD=90°，从而可知∠CBG=∠CDE，根据全等三角形的判定即可证明△BCG≌△DCE，从而可知BG=DE；
（2）设CG=1，从而知CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，由易证△ABH∽△CGH，所以=2，从而可求出HG的长度，进而求出的值．
试题解析：（1）∵BF⊥DE，∴∠GFD=90°，∵∠BCG=90°，∠BGC=∠DGF，∴∠CBG=∠CDE，在△BCG与△DCE中，∵∠CBG=∠CDE，BC=CD，∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（ASA），∴BG=DE；
（2）设CG=1，∵G为CD的中点，∴GD=CG=1，由（1）可知：△BCG≌△DCE（ASA），∴CG=CE=1，∴由勾股定理可知：DE=BG=，∵sin∠CDE=，∴GF=，∵AB∥CG，∴△ABH∽△CGH，∴，∴BH=，GH=，∴ =．
考点：相似三角形判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
（1）[初步尝试]如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为____22____；
（2）[思考说理]如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值；
（3）[拓展延伸]如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点处，折痕为CM．
①求线段AC的长；
②若点O是边AC的中点，点P为线段上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到，点A的对应点为点 ，与CP交于点F，求的取值范围．
【答案】（1）AM＝BM；（2）；（3）①；②
【解析】
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）利用相似三角形的性质求出BM，AM即可．
（3）①证明△BCM∽△BAC，推出＝＝，由此即可解决问题．②证明△PFA′∽△MFC，推出＝，因为CM＝5，推出＝即可解决问题．
【详解】（1）解：如图①中，
∵△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，
∴MN垂直平分线段BC，
∴CN＝BN，
∵∠MNB＝∠ACB＝90°，
∴，
∴，
∵CN＝BN，
∴AM＝BM．
故答案为：AM＝BM．
（2）解：如图②中，
∵CA＝CB＝6，
∴∠A＝∠B，
由题意得：MN垂直平分线段BC，
∴BM＝CM，
∴∠B＝∠MCB，
∴∠BCM＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BCM∽△BAC，
∴，
∴，
∴BM＝，
∴AM＝AB﹣BM＝10﹣＝，
∴＝＝．
（3）解：①如图③中，
由折叠的性质可知，，∠BCM＝∠ACM，
∵∠ACB＝2∠A，
∴∠BCM＝∠ACM=∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BCM∽△BAC，
∴＝＝，
∴，
∴BM＝4，
∴AM＝CM＝5，
∴，
∴AC＝．
②如图③﹣1中，
∵，
∴，
∴＝，
∵CM＝5，
∴＝，
∵点P在线段OB′上运动，OA＝OC＝， ，
∴，
∴．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
2022-2023学年广东省深圳实验学校九年级（上）第一次月考
数学试卷
一．选择题（每题3分，共计30分）
1. 2022年北京冬奥会已顺利闭幕，下列历届冬奥会会徽的部分图案中，是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合，掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质解答．不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】解：A、∵m>n，∴-2m<-2n，则-2m+1<-2n+1，故该选项不成立，不符合题意；
B、∵m>n，∴m+1>n+1，则，故该选项成立，符合题意；
C、∵m>n，∴m+a>n+a，不能判断m+a>n+b，故该选项不成立，不符合题意；
D、∵m>n，当a>0时，-am<-an；当a<0时，-am>-an；故该选项不成立，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．
3. 在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm增加了4cm，则复印出的三角形的周长是原图中三角形周长的（ ）
A. 3倍 B. 6倍 C. 9倍 D. 12倍
【答案】A
【解析】
【分析】复印前后的三角形按照比例放大与缩小，因此它们是相似三角形，本题按照相似三角形的性质求解．
【详解】解：由题意可知，相似三角形的边长之比＝相似比＝2：（4+2）＝1：3，
所以周长之比＝相似比＝1：3，
所以复印出的三角形的周长是原图中三角形周长的3倍．
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，熟记相似三角形的性质是解题的关键．
4. 下列判断正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形
B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形、正方形、矩形的判定方法，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，说法错误，不符合题意；
B、对角线相等的菱形是正方形，说法正确，符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，说法错误，不符合题意；
故选：B
【点睛】此题考查了菱形、正方形、矩形的判定方法，掌握它们的判定方法是解题的关键．
5. 大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量反复实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出正方形二维码的面积，再根据点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，然后进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵正方形二维码的边长为3cm，
∴正方形二维码的面积为9cm2，
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴黑色部分的面积约为：9×0.6＝5.4；
故选C．
【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
6. 为应对市场对新冠疫苗越来越大的需求，某大型疫苗生产企业在更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产8万份疫苗，现在生产600万份疫苗所需的时间比更新技术前生产500万份疫苗所需时间少用6天，设现在每天生产x万份，据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设现在每天生产x万份，则更新技术前每天生产 万份，根据“现在生产600万份疫苗所需的时间比更新技术前生产500万份疫苗所需时间少用6天”即可得到方程．
【详解】设现在每天生产x万份，则更新技术前每天生产 万份，由题意得
故选：B．
【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，准确理解题意，找准数量关系是解题的关键．
7. 在△中，，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如果△BAD∽△CBD，可得∠ADB=∠BDC=90°，即BD是AC的垂线，根据作图痕迹判断即可．
【详解】当BD是AC的垂线时，△BAD∽△CBD．
∵BD⊥AC，
∴∠ADB =∠BDC=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠A=∠CBD，
∴△BAD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，BD是∠ABC的角平分线，不与AC垂直，不符合题意；
B选项中，BD是AC边的中线，不与AC垂直，不符合题意；
C选项中，BD是AC的垂线，符合题意；
D选项中，BD不与AC垂直，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
8. 如图，，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵AC＝CG，
∴，
故A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵AG＝FG，
∴BG＝EG，
∴BE＝2BG，
∵，
∴BG＝2DG，
∴BE＝4DG，
∴，
故B错误，符合题意；
∵，
∴，
∵BG＝2DG，BE＝4DG，
∴DE＝3DG，
∴，
故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵DE＝3DG，
∴EG＝2DG，
∴，
故D正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
9. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，E为边AB的黄金分割点（AE＞BE），AD＝AE，BC＝BE．AC，DE将四边形分为四个部分，它们的面积分别用S1，S2，S3，S4表示，则下列判断正确的是（ ）
A. S1＝4S2 B. S4＝3S2 C. S1＝S3 D. S3＝S4
【答案】C
【解析】
【分析】设AB＝a．求出△ADE，△ABC的面积（用a表示），可得结论．
【详解】解：设AB＝a．
∵E是AB的黄金分割点，AE＞EB，
∴AD＝AEa，BE＝BC＝a（1）a，
∴S△ADE•（a）2a2，S△ABCaaa2，
∴S△ADE＝S△ABC，
即S1+S2＝S2+S3，
∴S1＝S3，
故选：C．
【点睛】本题考查黄金分割，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
10. 如图所示，在平行四边形ABCD中，点E为BC中点，连接DE，过点A作于点F，交DE于点G，连接BG并延长交CD于点H，恰好使．已知，阴影部分△BEG的面积为3，则AG的长度是（ ）
A. B. 4 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】延长DE、AB，交于一点M，连接CG，根据点E为BC的中点，可以证明，得出，根据，得出，设，则，列出关于x的方程，得出x的值，即可求出的面积和GF的长，进而求出平行四边形的面积，从而求出AF的长，即可得出AG的长．
【详解】解：延长DE、AB，交于一点M，连接CG，如图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∴，
∵点E为BC的中点，
∴BE=CE，
∵在和中，
∴，
∴MB=CD=AB=5，，
∵与等底同高，
，
∵，，
∴，，
设，则，
∴，
则，
，，
，
，
即，
解得：，
∴，，
∴，
，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
二．填空题（每小题3分，共15分）
11. 在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，则点M的坐标是____．
【答案】(-5，3)
【解析】
【分析】先根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，再根据第二象限点坐标的特征解答即可．
【详解】解：∵点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为5
∴，
∵点M在第二象限
∴x=-5，y=3
∴M（-5,3）
故答案为：（-5,3）．
【点睛】本题考考了直角坐标系中点的坐标，掌握每个象限点坐标的特征和横坐标、纵坐标的意义是解答本题的关键．
12. 一根高为22厘米的蜡烛，点燃后蜡烛剩下的高度h（厘米）与燃烧时间t（小时）的关系如图所示，则该蜡烛可以燃烧的时间为__________小时．
【答案】5.5
【解析】
【分析】观察所给图象，根据燃烧时间与燃烧蜡烛的高度列方程，求出单位时间燃烧的蜡烛高度，即可解出答案．
【详解】解：设每小时燃烧蜡烛的高度为x厘米，由题意知：
解得
所以该蜡烛可以燃烧的时间为：（小时）
故答案是：5.5．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，根据已知图象中燃烧时间与燃烧蜡烛高度的关系列出方程是解题关键．
13. 关于x的方程有两个实数根．且．则_______．
【答案】3
【解析】
【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再根据可得一个关于的方程，解方程即可得的值．
【详解】解：由题意得：，
，
，
化成整式方程为，
解得或，
经检验，是所列分式方程的增根，是所列分式方程的根，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
14. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若，则CG的长是_____．
【答案】##24
【解析】
【分析】先证明△CDF≌△BCE，得到∠BGC＝90°，利用面积法即可求出．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，BC＝4，
∴∠CDF＝∠BCE＝90°，AD＝DC＝BC＝4，
又∵DE＝AF＝1，
∴CE＝DF＝3，
∴在△CDF和△BCE中，
，
∴△CDF≌△BCE（SAS），
∴∠DCF＝∠CBE，
∵∠DCF+∠BCF＝90°，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BGC＝90°，
∵Rt△BCE中，BC＝4，CE＝3，
∴,
∴BE•CG＝BC•CE，
∴，
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识，证明△CDF≌△BCE是解题关键．
15. 如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，DC＝12cm，点E、F分别为边AB、BC上的两个动点，点E从点A出发以每秒5cm的速度向点B运动，点F从点B出发以每秒3cm的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．若∠AFD＝∠AED，设运动时间为t秒，则t的值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意知AE＝5t，BF＝3t，证出△ DAE∽△ ABF，得到∠DEA＝∠AFB，然后由，得到∠AFB＝∠DAF，再结合条件∠AFD＝∠AED得证AD＝FD，然后利用勾股定理求得t的值即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ AB＝DC＝12，AD＝BC＝20，
由题意得，AE＝5t，BF＝3t
∴ CF＝20﹣3t，
∵∠DAE＝∠ABF＝90°，
∴ △ DAE∽△ ABF，
∴∠DEA＝∠AFB，
∵∠DFA＝∠DEA，
∴∠AFB＝∠DFA，
∴∠DAF＝∠AFB，
∴∠DFA＝∠DAF，
∴ AD＝FD＝20，
在Rt△ DCF中，CF2+CD2＝DF2，
∴（20﹣3t）2+122＝202，
解得：t＝12或t＝
∴ t＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等角对等边和矩形的性质等知识，根据对应边成比例且夹角相等得出两三角形相似，继而由等角对等边得出关于t的方程是解题的关键．
三．解答题（共7小题，共55分）
16. 解方程：
（1）；
（2）x2+6x﹣7＝0．
【答案】（1）无解 （2）x1＝﹣7，x2＝1
【解析】
【分析】（1）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即，得到分式方程的解；
（2）利用因式分解法解方程．
【小问1详解】
解：去分母得：3x﹣x﹣2＝0，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解；
【小问2详解】
解：x2+6x﹣7＝0，
（x+7）（x﹣1）＝0，
x+7＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣7，x2＝1．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解题关键是分式方程一定注意要验根；还考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
17. 先化简，再求值：，其中x是方程的根．
【答案】，
【解析】
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将x2+x＝3代入原式即可求出答案．
【详解】解：原式•
•
•
，
当x2+x﹣3＝0时，
∴x2+x＝3，
∴原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算．
18. 为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
社团活动
舞蹈
篮球
围棋
足球
人数
50
30
80
参加四个社团活动人数扇形统计图
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取学生共有 人，其中参加围棋社的有 人；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？
（3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．
【答案】（1）200，40
（2）人
（3）
【解析】
【分析】（1）用足球的人数除以足球所占的百分比，即可求得样本容量，进而求出参加围棋社的人数．
（2）先求出参加篮球社的学生所占百分比，再乘以3200，即可得出答案．
（3）用树状图表示3男2女共5名学生，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，所有可能出现的结果情况，进而求出答案即可．
【小问1详解】
抽取的学生共有：（人）,
参加围棋社的有：（人）;
【小问2详解】
若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生共有
（人）,
【小问3详解】
设事件为：恰好抽到一男一女
所有等可能出现的结果总数为20个，事件所含的结果数为12个
恰好抽到一男一女概率为．
【点睛】本题主要考查了读统计表与扇形图的能力和利用图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察，分析，研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了利用树状图或列表法求概率．
19. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝2，求．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF＝90°即可；
（2）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
【小问1详解】
证明：∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC．
即 EF＝BC．
在▱ABCD中，且AD＝BC，
∴且AD＝EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°．
∴四边形AEFD是矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形AEFD是矩形，
∴∠AEC＝∠DFC＝90°，AE＝DF＝4，
∴∠EAC+∠ECA＝90°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ECA+∠DCF＝90°，
∴∠EAC＝∠DCF，
∴△AEC∽△CFD，
∴，
∴EC＝2DF＝8，
解法一：∴．
解法二：∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
20. 为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共400吨，甲厂的生产量是乙厂的2倍少80吨．这批防疫物资将运往A地220吨，B地180吨，运费如表（单位：元吨）．
目的地生产
甲
30
45
乙
25
35
（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？
（2）设这批物资从甲厂运往A地吨，全部运往A，B两地的总运费为元．求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案，求出最少总运费．
【答案】（1）甲厂生产了240吨，乙厂生产了160吨
（2）从甲厂运往A地220吨，从甲运往B地20吨，从乙运往A地0吨，从乙运往B地160吨，最少总运费为13100元
【解析】
【分析】（1）设这批防疫物资乙厂生产了x吨，则甲厂生产了（2x﹣80）吨，根据题意列方程解答即可；
（2）根据题意得出w与a之间的函数关系式以及a的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【小问1详解】
设这批防疫物资乙厂生产了吨，则甲厂生产了吨，根据题意得：
，
解得，
，
答：甲厂生产了240吨，乙厂生产了160吨；
【小问2详解】
从甲厂运往A地吨，
从甲运往B地吨，从乙运往A地吨，从乙运往B地吨，
根据题意，得，
，
，
∵k＝﹣5＜0，
∴随增大而减小，
当时，总运费最少，，
即从甲厂运往A地220吨，从甲运往B地20吨，从乙运往A地0吨，从乙运往B地160吨，最少总运费为13100元．
【点睛】本题考查了一次函数、一元一次方程、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和一次函数的解析式．
21. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交BC于G．
（1）求证：BG=DE；
（2）若点G为CD的中点，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【详解】试题分析：（1）由于BF⊥DE，所以∠GFD=90°，从而可知∠CBG=∠CDE，根据全等三角形的判定即可证明△BCG≌△DCE，从而可知BG=DE；
（2）设CG=1，从而知CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，由易证△ABH∽△CGH，所以=2，从而可求出HG的长度，进而求出的值．
试题解析：（1）∵BF⊥DE，∴∠GFD=90°，∵∠BCG=90°，∠BGC=∠DGF，∴∠CBG=∠CDE，在△BCG与△DCE中，∵∠CBG=∠CDE，BC=CD，∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（ASA），∴BG=DE；
（2）设CG=1，∵G为CD的中点，∴GD=CG=1，由（1）可知：△BCG≌△DCE（ASA），∴CG=CE=1，∴由勾股定理可知：DE=BG=，∵sin∠CDE=，∴GF=，∵AB∥CG，∴△ABH∽△CGH，∴，∴BH=，GH=，∴ =．
考点：相似三角形判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
（1）[初步尝试]如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为____22____；
（2）[思考说理]如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值；
（3）[拓展延伸]如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点处，折痕为CM．
①求线段AC的长；
②若点O是边AC的中点，点P为线段上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到，点A的对应点为点 ，与CP交于点F，求的取值范围．
【答案】（1）AM＝BM；（2）；（3）①；②
【解析】
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）利用相似三角形的性质求出BM，AM即可．
（3）①证明△BCM∽△BAC，推出＝＝，由此即可解决问题．②证明△PFA′∽△MFC，推出＝，因为CM＝5，推出＝即可解决问题．
【详解】（1）解：如图①中，
∵△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，
∴MN垂直平分线段BC，
∴CN＝BN，
∵∠MNB＝∠ACB＝90°，
∴，
∴，
∵CN＝BN，
∴AM＝BM．
故答案为：AM＝BM．
（2）解：如图②中，
∵CA＝CB＝6，
∴∠A＝∠B，
由题意得：MN垂直平分线段BC，
∴BM＝CM，
∴∠B＝∠MCB，
∴∠BCM＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BCM∽△BAC，
∴，
∴，
∴BM＝，
∴AM＝AB﹣BM＝10﹣＝，
∴＝＝．
（3）解：①如图③中，
由折叠的性质可知，，∠BCM＝∠ACM，
∵∠ACB＝2∠A，
∴∠BCM＝∠ACM=∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BCM∽△BAC，
∴＝＝，
∴，
∴BM＝4，
∴AM＝CM＝5，
∴，
∴AC＝．
②如图③﹣1中，
∵，
∴，
∴＝，
∵CM＝5，
∴＝，
∵点P在线段OB′上运动，OA＝OC＝， ，
∴，
∴．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
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