2022-2023学年广东省东莞市南城中学九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省东莞市南城中学九年级（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−3的绝对值是( )
A. ±3B. 3C. −3D. −13
2.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. a5+a2=a7B. (a3)2=a5C. a3⋅a5=a8D. a6÷a2=a3
4.若关于x的方程x2−x−m=0有实数根，则实数m的取值范围是( )
A. m<14B. m≤14C. m≥−14D. m>−14
5.若点A(−2,y1)，B(−1,y2)都在反比例函数y=2x的图象上，则y1，y2的大小关系是( )
A. y1y2D. 不能确定
6.在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x−1)2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为( )
A. y=(x−2)2−1B. y=(x−2)2+3C. y=x2+1D. y=x2−1
7.不透明袋子中装有两个红球和一个绿球，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球，则摸到红球的概率是( )
A. 0B. 23C. 12D. 13
8.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=( )
A. 8cm
B. 5cm
C. 3cm
D. 2cm
9.如图，在△ABC中，DE/​/BC，ADDB=23，若AC=6，则EC=( )
A. 65
B. 125
C. 185
D. 245
10.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cs∠ADC的值为( )
A. 2 133
B. 3 133
C. 23
D. 53
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：3m2−3= ．
12.一元二次方程(x−2)(x+7)=0的根是______．
13.已知α、β均为锐角，且满足|sinα−12|+ (tanβ−1)2=0，则α+β=______．
14.在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为______.(结果保留π)
15.如图：EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是______度．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.计算：(13)−1+(π−1)0−2sin30°+ 16．
四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
化简求值：m2−2m+1m2−1÷(1−1m+1)，其中m= 3．
18.(本小题8分)
如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，求BD的长．
19.(本小题9分)
“二十大”之后，某校打算组织九年级90名团员开展一次以“爱国教育”为主题的观影活动.目前有A《万里归途》、B《我和我的祖国》、C《长津湖之水门桥》三部电影可供选择，小华和小军参加了此次观影活动．
(1)小军选择看《万里归途》的概率为______ ．
(2)请用画树状图或列表的方法，求小华和小军恰好选择看同一部电影的概率．
20.(本小题9分)
某汽车租赁公司共有20辆汽车，经统计，当每辆车的日租金为300元时，可全部租出，当每辆车的日租金每增加30元，租出的车将减少1辆．
(1)直接写出每日租出车的数量y(辆)与每辆车日租金x(元)之间的函数关系式；
(2)租赁公司要每日获利6000元，且以少租车多获利为前提，每辆车日租金多少元？
(3)每辆车日租金多少元，该租赁公司日获利最大？
21.(本小题9分)
如图，一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=k2x的图象交于点A(3,m3)和B(−2,m−18)．
(1)根据函数图象可知，当y1≤y2时，x的取值范围是______ ；
(2)求反比例函数和一次函数的解析式；
(3)点P是x轴上一点，且△APB的面积为15，求点P的坐标．
22.(本小题12分)
如图，AB是⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C.过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．
(1)求证：CD是⊙O的切线．
(2)若DC=3，AD=9，求⊙O半径．
23.(本小题12分)
如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A(3,0)和点B(−1,0)，交y轴于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)D是直线AC上方抛物线上一动点，连接OD交AC于点N，求DNON的最大值，并求出此时D的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−3的绝对值：|−3|=3，
故选：B．
根据绝对值的性质：|a|=a,(a>0)0,a=0−a,(a<0)即可得出答案．
本题考查了绝对值的相关概念，解题关键在于熟记绝对值的定义．
2.【答案】B
【解析】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B，图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故B符合题意；
C、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故D不符合题意．
故选：B．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义．
3.【答案】C
【解析】解：a5与a2不是同类项，不能合并，故选项A不合题意；
(a3)2=a6，故选项B不合题意；
a3⋅a5=a8，故选项C符合题意；
a6÷a2=a4，故选项D不合题意．
故选：C．
选项A根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；
选项B根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；
选项C根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
选项D根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵关于x的方程x2−x−m=0有实数根，
∴Δ=(−1)2−4(−m)=1+4m≥0，
解得m≥−14，
故选：C．
根据判别式的意义得到Δ=1+4m≥0，解不等式即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
5.【答案】C
【解析】解：∵点A(−2,y1)，B(−1,y2)都在反比例函数y=2x的图象上，k=2>0，
∴在每个象限内y随x的增大而减小，
∵−2<−1，
∴y1>y2，
故选：C．
根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：将二次函数y=(x−1)2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y=(x−1+1)2+1−2，即y=x2−1．
故选：D．
根据图象的平移规律，可得答案．
主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
7.【答案】B
【解析】解：∵袋中装有2个红球，1个绿球，
∴摸到红球的概率23．
故选：B．
根据概率公式即可得出摸到红球的概率．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】A
【解析】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，
∴CE=12CD=4cm．
在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，
∴OE= OC2−CE2=3cm，
∴AE=AO+OE=5+3=8cm．
故选：A．
根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE=AO+OE即可得出AE的长度．
本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出OE的长度是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵DE/​/BC，
∴ADDB=AEEC=23，
∴AC−ECEC=23，
∴6−ECEC=23，
∴EC=185．
故选：C．
利用平行线分线段成比例定理解答即可．
本题主要考查了平行线分线段成比例定理，正确使用定理得出比例式是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
又∵点A，B，C都在格点上，
∴∠ADC=∠ABC，
在Rt△ABC中，AB= 22+32= 13，
∴cs∠ADC=cs∠ABC=BCAB=3 13=3 1313．
故选：B．
由格点构造直角三角形，由直角三角形的边角关系以及圆周角定理可得答案．
本题考查圆周角定理，直角三角形的边角关系，掌握圆周角定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
11.【答案】3(m+1)(m−1)
【解析】解：3m2−3，
=3(m2−1)，
=3(m+1)(m−1)．
故答案为：3(m+1)(m−1)．
先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12.【答案】x1=2，x2=−7
【解析】解：(x−2)(x+7)=0，
x−2=0或x+7=0，
x1=2，x2=−7，
故答案为：x1=2，x2=−7．
利用解一元二次方程−因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握解一元二次方程−因式分解法是解题的关键．
13.【答案】75°
【解析】【分析】
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键.根据非负数的性质，可得特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】
解：由题意，得
sina−12=0，tanβ−1=0，
解得α=30°，β=45°，
α+β=30°+45°=75°．
故答案为75°．
14.【答案】4π3
【解析】解：∵∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，
∴AB=2AC=4，∠BAC=60°，
由旋转的性质得，∠BAB′=∠BAC=60°，
∴B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为60π⋅4180=4π3，
故答案为：4π3．
由含30度直角三角形的性质求出AB，根据弧长公式即可求出结论．
本题主要考查了旋转的性质，弧长公式，含30度直角三角形的性质，熟记弧长公式是解决问题的关键．
15.【答案】99
【解析】解：∵EB、EC是⊙O的切线，
∴EB=EC，
又∵∠E=46°，
∴∠ECB=∠EBC=67°，
∴∠BCD=180°−(∠BCE+∠DCF)=180°−99°=81°；
∵四边形ADCB内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD=180°，
∴∠A=180°−81°=99°．
根据切线长定理得EC=EB，则∠ECB=∠EBC=67°，再根结合内接四边形的对角互补得∠A=∠ECB+∠DCF=67°+32°=99°．
此题综合考查了切线长定理、圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理等知识．
16.【答案】解：(13)−1+(π−1)0−2sin30°+ 16
=3+1−2×12+4
=3+1−1+4
=7．
【解析】先计算(13)−1、(π−1)0、 16，再代入30°的正弦值算乘法，最后算加减．
本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．
17.【答案】解：m2−2m+1m2−1÷(1−1m+1)
=(m−1)2(m+1)(m−1)÷m+1−1m+1
=m−1m+1⋅m+1m
=m−1m，
当m= 3时，原式= 3−1 3=3− 33．
【解析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
先化简括号内的式子，再算括号外的除法，然后将m的值代入化简后的式子计算即可．
18.【答案】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，
∴AB=AD=1，∠BAD=∠CAE=90°，
∴BD= AB2+AD2= 2．
∴BD的长为 2．
【解析】由旋转的性质得：AB=AD=1，∠BAD=∠CAE=90°，再根据勾股定理即可求出BD．
本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理，掌握旋转的性质是解决问题的关键．
19.【答案】13
【解析】解：(1)小军选择看《万里归途》的概率为13，
故答案为：13；
(2)画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小华和小军选择看同一部电影的结果有3种，
∴小华和小军选择看同一部电影的概率为39=13．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有9种等可能的结果，小华和小军选择看同一部电影的结果有3种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键．
20.【答案】解：(1)根据题意可知，y=20−x−30030=−130x+30；
(2)根据题意可知，x(−130x+30)=6000，
解得：x1=300(不合题意，舍去)x2=600，
答：每辆车日租金为600元；
(3)设租赁公司日获利为w元，w=x(−130x+30)，
即w=−130(x−450)2+6750，
∵a=−130<0，
∴当x=450时，w有最大值，
∴x=450时，w的最大值值为6750元．
∴当每日租金为450元时，该租赁公司每日获利最大．
【解析】(1)根据当每辆车的日租金每增加30元，租出的车将减少1辆，可直接得出结论；
(2)表达利润，并让其等于6000，建立方程，解之即可；
(3)根据已知得到的二次函数关系求得日收益的最大值即可．
本题考查了二次函数的应用和一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出代数式或函数关系式是解题关键．
21.【答案】0【解析】解：(1)由图象可知，当y1≤y2时，x的取值范围是0故答案为：0(2)∵点A(3,m3)和B(−2,m−18)在反比例函数y2=k2x的图象上．
∴k2=3×m3=−2(m−18)，
解得m=12，
∴A(3,4)，B(−2,−6)，
∴反比例函数为y2=12x，
将点A和点B的坐标代入y1=k1x+b得3k1+b=4−2k1+b=−6，
解得k1=2b=−2，
∴一次函数为y1=2x−2；
(3)设直线AB与x轴交于点C，
∴S△APB=S△APC+S△PCB=5PC=15，
∴PC=3，
∵C(1,0)，
∴P(4,0)或(−2,0)．
(1)根据函数图象，得出反比例函数在直线上方时x的取值范围即可；
(2)分别将点A和点B的坐标代入反比例函数解析式中，求出k2的值，确定出反比例解析式，再将A和B的坐标代入一次函数解析式中即可求出k1的值；
(3)设直线AB与x轴交于点C，根据S△APB=S△APC+S△PCB=5PC=15，求出PC的长，得出点C的坐标，进而得出点P的坐标即可．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的数学思想，数形结合思想是数学中重要的思想方法，学生做题时注意灵活运用．
22.【答案】(1)证明：连接OC，
∵AC平分∠FAB，
∴∠FAC=∠CAO，
∵AO=CO，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠FAC=∠ACO，
∴AD/​/OC，
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC，
∵OC为半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：过点O作OE⊥AF于E，
∴AE=EF=12AF，∠OED=∠EDC=∠OCD=90°，
∴四边形OEDC为矩形，
∴CD=OE=3，DE=OC，
设⊙O的半径为r，则OA=OC=DE=r，
∴AE=9−r，
∵OA2−AE2=OE2，
∴r2−(9−r)2=32，
解得r=5．
∴⊙O半径为5．
【解析】(1)根据角平分线的定义和平行线的判定和性质以及切线的判定定理即可得到结论；
(2)过点O作OE⊥AF于E，证明四边形OEDC为矩形，设⊙O的半径为r，由勾股定理列出方程求解．
本题主要考查了切线的判定，矩形的性质与判定，构造直角三角形是解题的关键．
23.【答案】解：(1)把点A(3,0)和B(−1,0)代入抛物线y=ax2+bx+3得：9a+3b+3=0a−b+3=0，
解得：a=−1b=2，
∴抛物线的表达式为y=−x2+2x+3；
(2)过点D作DH//y轴，交AC于点H，如图所示：

设D(m,−m2+2m+3)，直线AC的解析式为y=kx+n，
∵抛物线的解析式为y=−x2+2x+3，
∴C(0,3)，
∵点A(3,0)，
∴3k+n=0n=3，解得：k=−1n=3，
∴直线AC的解析式为y=−x+3，
∴H(m,−m+3)，
∴DH=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m，
∵DH/​/y轴，
∴△OCN∽△DHN，
∴DNON=DHOC，
∴DNON=−m2+3m3=−13(m−32)2+34，
∵−13<0，
∴当m=32时，DNON的最大值为34，此时D的坐标为(32,154).
【解析】(1)把点A(3,0)和B(−1,0)代入解析式求解即可；
(2)过点D作DH//y轴，交AC于点H，由(1)设D(m,−m2+2m+3)，直线AC的解析式为y=kx+n，然后可求出直线AC的解析式，则有H(m,−m+3)，进而可得DH=−m2+3m，最后根据△OCN∽△DHN可进行求解．
本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质、相似三角形的性质与判定是解题的关键．