广东省广州市南沙区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

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2021-2022学年广东省广州市南沙区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）
1. 平面直角坐标系内一点（-3，4）关于原点对称点的坐标是（ ）
A. （3，4） B. （-3，-4 ） C. （3，-4） D. （4，-3)
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
【详解】∵P（-3，4），
∴关于原点对称点的坐标是（3，-4），
故选：C．
【点睛】此题主要考查了原点对称的点的坐标特点，关键是掌握坐标的变化规律：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
2. 如图，在⊙O中，OC⊥AB，若∠BOC＝40°，则∠OAB等于（　　）

A. 40° B. 50° C. 80° D. 120°
【答案】B
【解析】
【分析】根据OA，OB都为半径可知，△AOB为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，可知∠AOC=∠BOC=40°，进而可以算出∠AOB的角度，从而可以算出∠OAB的度数．
【详解】解：在⊙O中，OA=OB，
∴△AOB为等腰三角形，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=40°，
∴∠AOB=80°，
∴∠OAB=（180°-∠AOB）÷2=50°．
【点睛】本题考查圆的性质、等腰三角形的性质、垂径定理、利用圆的性质结合等腰三角形的性质是解决本题的关键，也可利用垂径定理解决本题．
3. 抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴是（　　）
A. 直线x＝3 B. 直线x＝﹣3 C. 直线x＝4 D. 直线x＝﹣4
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4，求得对称轴方程为：x=3．
【详解】解：抛物线y=﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴方程为：直线x=3，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，解题的关键是掌握：二次函数的顶点式与对称轴的关系．
4. 连续抛掷两次骰子，它们的点都是奇数的概率是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先列表，求解所有的等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式进行计算即可.
【详解】解：列表如下：

















































由表格信息可得：所有的等可能的结果数有个，符合条件的结果数有
故选C
【点睛】本题考查的是利用列表法求解等可能事件的概率，掌握“列表法”是解本题的关键.
5. 如图，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么x满足的方程是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可知：矩形挂图的长为（60+2x）cm，宽为（40+2x）cm；则运用面积公式列方程即可．
【详解】解：挂图长为（60+2x）cm，宽为（40+2x）cm，
所以根据矩形的面积公式可得：（60+2x）（40+2x）=2816．
故选：D．
【点睛】此题是一元二次方程的应用，解此类题的关键是看准题型列方程，矩形的面积=矩形的长×矩形的宽．
6. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+c的图象不经过（　　）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a、b的正负情况，再由一次函数的性质解答．
【详解】解：由势力的线与y轴正半轴相交可知c>0，
对称轴x=-＜0，得b<0．
∴
所以一次函数y＝﹣bx+c图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
7. 如图，正六边形螺帽的边长是4cm，那么这个正六边形半径R和扳手的开口a的值分别是（　　）

A. 2，2 B. 4，4 C. 4，2 D. 4，
【答案】B
【解析】
【分析】根据正六边形的内角度数可得出∠BAD=30°，为等边三角形，得BC=2AB，再通过解直角三角形即可得出a的值，进而可求出a的值，此题得解．
【详解】解：如图，

∵正六边形的任一内角为120°，
∴∠ABD=180°-120°=60°，
∴∠BAD=30°，为等边三角形，
∵
∴
∴
∴
∴这个正六边形半径R和扳手的开口a的值分别是4，4．
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形以及勾股定理，牢记正多边形的内角度数是解题的关键．
8. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α，得到△ADE，若点D恰好在CB的延长线上，则∠CDE等于（　　）

A. α B. 90°+ C. 90°﹣ D. 180°﹣2α
【答案】A
【解析】
【分析】证明∠ABD+∠ADE=180°，推出∠CDE=∠BAD即可解决问题．
【详解】解：由旋转的性质可得：∠ABC=∠ADE，
∵∠ABC+∠ABD=180°，
∴∠ABD+∠ADE=180°，即∠ABD+∠ADB+∠CDE=180°，
∵∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，
∴∠CDE=∠BAD，
∵∠BAD=α，
∴∠CDE=α．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9. 定义新运算“a⊗b”：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝（a﹣b）2﹣b，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3⊗2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x⊗k＝0（k为实数）是关于x的方程，且x＝2是这个方程的一个根，则k的值是（　　）
A. 4 B. ﹣1或4 C. 0或4 D. 1或4
【答案】D
【解析】
【分析】利用新运算把方程x⊗k＝0（k为实数）化为，把x＝2代入求解即可．
【详解】解：∵a⊗b＝（a﹣b）2﹣b，
∴关于x的方程x⊗k＝0（k为实数）化为，
∵x＝2是这个方程的一个根，
∴4-4k+k2-k=0，解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据新定义运算法则得到关于k的方程．
10. 已知平面直角坐标系中有点A（﹣4，﹣4），点B（a，0），二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k的图象必过一定点C，则AB+BC的最小值是（　　）
A. 4 B. 2 C. 6 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】将抛物线解析式变形求出点C坐标，再根据两点之间线段最短求出AB+BC的最小值即可．
【详解】解：二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k=(x-2)(x-1+k)-2
∴函数图象一定经过点C（2，-2）
点C关于x轴对称的点的坐标为（2，2），连接，如图，

∵
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，两点之间线段最短以及勾股定理等知识，明确“两点之间线段最短”是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 若方程mx2+3x-4=3x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是________
【答案】
【解析】
【分析】先移项合并，再根据一元二次方程的定义求解即可，只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．
【详解】解：mx2+3x-4=3x2，可变形为，
∵是一元二次方程，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的定义，熟记定义内容是解此题的关键．
12. 为了估计池塘里有多少条鱼，先从池溏里捕捞条鱼做上记号，然后放回池塘里去，经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕捞条鱼，若其中有条有标记，那么估计池塘里大约有鱼________条．
【答案】
【解析】
【分析】捕捞300条鱼，发现其中15条有标记，说明有标记的占到，而有标记的共有100条，由此即可解答．
【详解】设该池塘里现有鱼x条，由题意知，
，
∴x=2000.
∴估计池塘里大约有鱼2000条.
故答案为2000.
【点睛】本题考查了用样本估计总体的统计思想，在选取样本时一定要使样本足够大, 以提高估计的真实性．
13. 如图，扇形AOB的圆心角为120°，弦AB＝2，则图中阴影部分的面积是 _____．

【答案】

【解析】
【分析】阴影部分面积为扇形与三角形的面积差，分别求解两部分的面积然后即可．
【详解】解：由题意知：
∵
∴△OAB为等腰三角形
∴
∵
∴
∵

∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的面积，锐角三角函数等知识．解题的关键在于求解扇形与三角形的面积．
14. 已知⊙O的直径为8cm，如果直线AB上的一点与圆心的距离为4cm，则直线AB与⊙O的位置关系是 _____．
【答案】相切或相交
【解析】
【分析】本题需分类讨论，当直线上的点到圆心的连线垂直于直线AB时，直线于圆的位置关系为相切，当直线上的点到圆心的连线与直线AB不垂直时，直线到圆心的距离小于圆的半径，直线与圆相交．
【详解】设直线AB上与圆心距离为4cm的点为C，
当OC⊥AB时，OC=⊙O的半径，
所以直线AB与⊙O相切，
当OC与AB不垂直时，圆心O到直线AB的距离小于OC，
所以圆心O到直线AB的距离小于⊙O的半径，
所以直线AB与⊙O相交，
综上所述直线AB与⊙O的位置关系为相切或相交，
故答案为：相切或相交．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，本题需根据圆心与直线上一点的距离，分类讨论圆与直线的位置关系，利用分类讨论思想是解决本题的关键．
15. 已知二次函数y＝﹣x2+bx+c与一次函数y＝mx+n的图象相交于点A（﹣2，4）和点B（6，﹣2），则不等式﹣x2+bx+c＞mx+n的解集是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】不等式﹣x2+bx+c＞mx+n的解集是二次函数在一次函数的图象上方部分x的范围；结合图形，找出二次函数图象在一次函数上面的自变量的取值就是不等式的解集．
【详解】解：如图，

∵两函数图象相交于点A（-2，4），B（6，-2），
∴不等式﹣x2+bx+c＞mx+n的解集是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，解答该题时，要具备很强的读图能力．
16. 如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，斜边AC＝4，点P是三角形内的一动点，则PA+PB+PC的最小值是 _____．

【答案】
【解析】
【分析】将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△BHG，连接PH，AG，过点G作AB的垂线，交AB的延长线于N．证明△是等边三角形，得，所以，推出当A，P，G，H′共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值=AG的长，再运用勾股定理求出AG的长即可．
【详解】解：将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△BHG，连接PH，AG，过点G作AB的垂线，交AB的延长线于N，如图，

∵∠，

由勾股定理得：
∵将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△BHG，
∴△
∴，，∠
∴△是等边三角形，
∴
∴
∴当点A，点P，点G，点H共线时，有最小值，最小值为，
∵∠
∴∠
∴∠
∵
∴，
由勾股定理得，
∴
∴
∴最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理，旋转变换，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用旋转变换添加辅助线，用转化的思想思考问题．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．）
17. 解方程：（x+3）2﹣2x（x+3）＝0．
【答案】
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：（x+3）2﹣2x（x+3）＝0


解得
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上的一点，点C为的中点．若∠DCE＝110°，求∠BAC的度数．

【答案】55°
【解析】
【分析】由圆内接四边形的性质可得，根据“点C为的中点”可得AC是平分线，从而可得结论．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴
∵
∴
∵点C为的中点
∴
∴
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内角四边形的性质，求出是解答本题的关键．
19. 如图，已知△ABC中，BD是中线．

（1）尺规作图：作出以D为对称中心，与△BCD成中心对称的△EAD．
（2）猜想AB+BC与2BD的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）见详解；
（2）AB+BC＞2BD．证明见详解．
【解析】
【分析】（1）延长BD，在BD延长线上截取DE=BD，连结AE，则△ADE与△CDB关于点D成中心对称，根据点D为AC中点，得出AD=CD，再证△ADE≌△CDB（SAS），根据∠CDB+∠ADB=180°，得出△BCD绕点D旋转180°得到△EAD，
（2）根据△ADE≌△CDB（SAS），得出AE=BC，BD=ED，得出BE=2BD，在△ABE中，AB+AE＞BE即可．
【小问1详解】
解：延长BD，在BD延长线上截取DE=BD，连结AE，
则△ADE与△CDB关于点D成中心对称，
∵点D为AC中点，
∴AD=CD，
在△ADE和△CDB中，
，
∴△ADE≌△CDB（SAS），
∵∠CDB+∠ADB=180°，
∴△BCD绕点D旋转180°得到△EAD，
小问2详解】
AB+BC＞2BD．
证明：∵△ADE≌△CDB（SAS），
∴AE=BC，BD=ED，
∴BE=2BD，
在△ABE中，AB+AE＞BE，
即AB+BC＞2BD．
【点睛】本题考查尺规作图，三角形全等判定与性质，中心对称的定义，三角形三边关系，掌握尺规作图，三角形全等判定与性质，中心对称的定义，三角形三边关系是解题关键．
20. 如图是一座抛物线形的拱桥，拱桥在竖直平面内，与水平桥相交于A，B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9m，AB＝36m，D，E为拱桥底部的两点，DEAB．

（1）以C为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，求出此时抛物线的解析式．（忽略自变量取值范围）
（2）若DE＝48m，求E点到直线AB的距离．
【答案】（1）
（2）7
【解析】
【分析】（1）以中点为原点，建立平面直角坐标系，设，将点代入，待定系数法求解析式即可；
（2）令，代入求得，即可求得E点到直线AB的距离．
【小问1详解】
解：如图，


C到AB的距离为9m，AB＝36m，


设抛物线解析式为
将点代入得
解得

【小问2详解】
DE＝48m，
则
则
求E点到直线AB的距离为7
【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
21. 一个不透明口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，再从中摸取一个小球，又放回．小明摸取了60次，结果统计如下：
标号
1
2
3
4
次数
16
14
20
10

（1）上述试验中，小明摸取到“2”号小球的频率是 　 　；小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”号小球的概率是 　 　；
（2）若小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，再从中摸取一个小球，请用列举法求小明两次摸取到小球的标号相同的概率．
（3）若小明一次在袋中摸出两个小球，求小明摸出两个小球标号的和为5的概率．
【答案】（1），

（2）

（3）

【解析】
【分析】（1）摸取到“2”号小球的频率为，摸到“2”号小球的概率是；
（2）小明两次摸取到小球的标号为共16种可能的情况，其中两次标号相同的为共4种可能的情况，进而可求概率；
（3）列举法可知一次摸出两个小球的有标号为共6种可能情况，标号和为5有两种情况，进而可求概率．
【小问1详解】
解：摸取到“2”号小球的频率为
摸到“2”号小球的概率是
故答案为： ．
【小问2详解】
解：列举法求小明两次摸取到小球的标号为共16种可能的情况，其中两次标号相同的为共4种可能的情况
∵
∴小明两次摸取到小球的标号相同的概率为．
【小问3详解】
解：列举法可知一次摸出两个小球的有标号为共6种可能情况，标号和为5有两种情况
∵
∴小明摸出两个小球标号的和为5的概率为．
【点睛】本题考查了频率，列举法求概率．解题的关键在于正确的列举所有事件．
22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心的⊙O半径为3．
（1）试判断点A（3，3）与⊙O的位置关系，并加以说明．
（2）若直线y＝x+b与⊙O相交，求b的取值范围．
（3）若直线y＝x+3与⊙O相交于点A，B．点P是x轴正半轴上的一个动点，以A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形，求点P的坐标．
【答案】（1）点A在外
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）由勾股定理求出AO的长，再与圆的半径比较即可得出结论；
（2）求出直线与相切时OB的长度即可得到b的取值；
（3）分，和三种情况求解即可．
【小问1详解】
∵
∴
∵
∴点A在外
【小问2详解】
如图，当直线与相切于点C时，连接OC，则OC=3

∵∠
∴
∴直线与相交时，；
【小问3详解】
∵直线与相交于点A，B，
∴，

∴
当时，点P坐标为：
，（舍去）
当时，
∵轴
∴
∴
当时，点P与点O重合，
∴（舍去）
综上，点P的坐标为：或
【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，切线的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决问题．
23. 已知关于x的方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣2＝0．
（1）若方程有两个实数根，求a的取值范围．
（2）若x＝2是方程一个根，求另一个根．
（3）在（1）的条件下，试判断直线y＝（2a﹣3）x﹣a+5能否过点A（﹣1，3），并说明理由．
【答案】（1）且
（2）
（3）能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程的定义，以及根的判别式进行判断即可
（2）根据方程的解的定义求得，进而根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；
【小问1详解】
关于x的方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣2＝0有两个实数根，
则，


a的取值范围为：且
【小问2详解】
x＝2是方程的一个根，

解得
设另一根为，则

另一个根为
【小问3详解】
若y＝（2a﹣3）x﹣a+5过点A（﹣1，3），
则
解得
且
y＝（2a﹣3）x﹣a+5能经过点A（﹣1，3），
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，根与系数的关系，根的判别式，一函数的性质是解题的关键．
24. 已知关于x的一元二次方程﹣+ax+a+3＝0．
（1）求证：无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）如图，若抛物线y＝﹣+ax+a+3与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，连结BC，BC与对称轴交于点D．
①求抛物线的解析式及点B的坐标；
②若点P是抛物线上的一点，且点P位于直线BC的上方，连接PC，PD，过点P作PN⊥x轴，交BC于点M，求△PCD的面积的最大值及此时点P的坐标．

【答案】（1）见解析；
（2）①y=，点B（4，0）；②△PCD的面积的最大值为1，点P（2，4）．
【解析】
【分析】（1）判断方程的判别式大于零即可；
（2）①把A（-2，0）代入解析式，确定a值即可求得抛物线的解析式，令y=0，求得对应一元二次方程的根即可确定点B的坐标；
②设点P的坐标为（x，），确定直线BC的解析式y=kx+b，确定M的坐标（x，kx+b），求得PM=-（kx+b），从而利用C，D的坐标表示构造新的二次函数，利用配方法计算最值即可．
【小问1详解】
∵，
∴△=
=＞0，
∴无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
①把A（-2，0）代入解析式，
得，
解得a=1，
∴抛物线的解析式为，
令y=0，得，
解得x=-2（A点的横坐标）或x=4，
∴点B（4，0）；
②设直线BC的解析式y=kx+b，
根据题意，得，
解得，

∴直线BC的解析式为y=-x+4；
∵抛物线的解析式为，直线BC的解析式为y=-x+4；
∴设点P的坐标为（x，），则M（x，），点N（x，0），
∴PM=-（）=，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点D（1，3），
∵
=
=
=，
∴当x=2时，y有最大值1，此时=4，
∴△PCD的面积的最大值为1，此时点P（2，4）．
【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数，一次函数的解析式，一元二次方程根的判别式，抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，分割法求图形的面积，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键．
25. 已知：如图①，AD为⊙O的直径，点A为优弧的中点，延长BO交AC于点E．

（1）求证：∠BAC＝2∠ABE；
（2）若△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的度数；
（3）如图②，若弦BC垂直平分半径OD，连接DE交BC于点F，DF＝a，EF＝k•DF，S△BEF＝1，M、N、P分别为直线BD、BF、DF上的三个动点，求△MNP周长的最小值．
【答案】（1）见解析 （2）72°或67.5°
（3）
【解析】
【分析】（1）连接OC，根据A是的中点，得出AB=AC，∠AOC=∠AOB，再利用△AOB≌△AOC，得出结论；
（2）分两种情况讨论：当BC=BE时和当BC=BE时，解答即可；
（3）作P点关于BF，BD的对称点，，连接B，B，M，N，判断当，，M，N四点在一条直线上时，△MNP周长最小为的长，利用轴对称的性质求解即可．
【小问1详解】
连接OC，
∵A是的中点，
∴，
∴AB=AC，∠AOC=∠AOB，
∵OA=OA，OB=OC，
∴△AOB≌△AOC，
∴∠OAB=∠OAC，
∵OA=OB，
ABO=∠OAB，
∴∠BAC=∠2∠ABO；
【小问2详解】
设∠OBA=x，则∠BAC=2x，∠ACB=90°-x，∠BEC=3x，
当BC=BE时，∠BEC=∠ACB，即3x=90°-x，
∴x=22.5°，
∴∠BCE=90°-22.5°=67.5°；
当BC=EC时，∠CBE=∠BEC=3x，则∠BCE=∠CBE+∠OBA=4x=∠ABC，
∴3x+3x+4x=180°，
∴x=18°，∠BCE=70°；
BE≠EC，
∴当∠BCE=72°或67.5°时，△BEC是等腰三角形；
【小问3详解】
设OD与BC交于H，过点E作EG⊥AD于点G，设⊙O的半径为r，
∵弦BC垂直平分半径OD，
∴OB=BD，OH=DH=，
∴OB=OD=BD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠OBH=∠DBH=∠CAD=30°，
∴BH==，
∵AD为⊙O的直径，点A为优弧的中点，
∴AD⊥BC，BH=CH，
∴∠BAC=2∠CAD=60°，AB=AC，
∴△ABC等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵EG⊥AD，AD⊥BC，
∴GE∥BC，
∴∠AEG=∠ACB=60°，∠OBH=∠OEG=30°，
∴∠AEO=∠AEG+∠GEO=90°，OE=OA=，
OG=OE·sin30°=，GE==，
∵GE∥BC，
∴△DHF∽△DGE，
∴，
∴，解得HF=，
∴，
∴k=，
∵S△BEF＝1，
∴，即，解得：r²=，
∴=，
设B点到DE的距离为d，
在Rt△DEG中，
DE==，
∴，
∴d=，

如图2，作P点关于BF，BD的对称点，，连接B，B，M，N，
则，，，
∴PM+PN+MN=，
当，，M，N四点在一条直线上时，△MNP周长最小为的长，
∵∠DBF=30°，
∴∠，
∴△是等边三角形，
∴最短时，是点B到DE的最短距离d，
∴△MNP周长的最小值为d==，

【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，轴对称-最短路径问题及勾股定理的应用，关键是根据轴对称的性质判断当，，M，N四点在一条直线上时，△MNP的周长最小．