广东省广州市荔湾区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

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2021-2022学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题,每小题3分，共30分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2. 若关于x的方程（m﹣1）x2＋mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A. m≠1 B. m＝1 C. m＞1 D. m≠0
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，可知：m-1≠0，继而可求出答案．
【详解】解：根据一元二次方程的定义，可知：m-1≠0，
∴m≠1．
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，注意掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
3. 从拼音“shuxue”中随机抽取一个字母，抽中字母u的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】拼音“shuxue”中，总共有6个字母，其中字母u的个数为2，根据概率公式求解即可．
【详解】解：拼音“shuxue”中，总共有6个字母，其中字母u的个数为2，
根据概率公式可得，抽中字母u的概率为
故选A
【点睛】此题考查了概率的求解方法，掌握概率的求解方法是解题的关键．
4. 正十边形的中心角是（ ）
A. 18° B. 36° C. 72° D. 144°
【答案】B
【解析】
【分析】正多边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为360°除以正多边形的边数．
【详解】正十边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为：360°÷10=36°
故选：B
【点睛】本题考查了求正多边形中心角，这时要清楚正多边形的中心角都相等且它们的和组成一个周角．
5. 将抛物线y＝3x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的抛物线解析式是（　　）
A. y＝3（x﹣2）2﹣5 B. y＝3（x﹣2）2+5
C. y＝3（x+2）2﹣5 D. y＝3（x+2）2+5
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将抛物线y＝3x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后，得到的抛物线解析式是y＝3（x﹣2）2+5
故选B
【点睛】本题考查了二次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键．
6. 一个不透明的盒子中有100个红色小球，10个白色小球，1个黄色小球，现从中随机取出一个球，下列事件是不可能事件的是（　　）
A. 取出的是红色小球 B. 取出的是白色小球
C. 取出的是黄色小球 D. 取出的是黑色小球
【答案】D
【解析】
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义判断即可．
【详解】解：一个不透明的盒子中有100个红色小球，10个白色小球，1个黄色小球，现从中随机取出一个球，
可能取出是红色小球，也可能取出的是白色小球，也可能取出的是黄色小球，
不可能取出的是黑色小球，
所以：取出的是黑色小球是不可能事件，
故选：D．
【点睛】本题考查了随机事件，解题的关键是熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的概念．
7. 已知⊙O半径为4，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A. 点P在⊙O内 B. 点P在⊙O上 C. 点P在⊙O外 D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意求得的长为5，根据即可判断点P与⊙O的位置关系,当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】解：∵圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（3，4），
∴
⊙O半径为4，
点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O外
故选C
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：①点P在⊙O上；②点P在⊙O内；③点P在⊙O外，求得点到圆心的距离是解题的关键．
8. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱隆价1元，每天可多售出20箱．若要使每天销售饮料获利1400元，设每箱降价的价钱为x元，则根据题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设每箱降价的价钱为x元，则每箱的利润为（12-x）元，每天的销售量为（100+20x）箱，根据每天销售饮料获得的利润=每箱的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设每箱降价价钱为x元，则每箱的利润为（12-x）元，每天的销售量为（100+20x）箱，
依题意，得（12-x）（100+20x）=1400．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，此时点D落在边AB上，且DE垂直平分BC，则的值是（　　）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转的性质和线段垂直平分线的性质证明，对应边成比例即可解决问题．
【详解】解：如图，设与交于点，

由旋转可知：，，，，
垂直平分，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，旋转的性质，解题的关键是得到．
10. 已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）经过P1（1，y1），P2（2，y2），P3（3，y3），P4（4，y4）四点．若y1＜y2＜y3，则下列说法中正确的是（　　）
A. 若y4＞y3，则a＞0
B. 对称轴不可能是直线x＝2.7
C. y1＜y4
D. 3a+b＜0
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意判定抛物线开口方向，对称轴的位置，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断．
【详解】解：A、当时，抛物线开口向下，
当时，随增大而增大，
若，时，，
选项错误，不符合题意；
B、当对称轴为直线时，，
若则，不符题意，
若则，符合题意，
选项错误，不符合题意；
C、若，当抛物线对称轴为直线时，，
对称轴直线时满足题意，
此时，
，
若，当抛物线对称轴为直线时，，
当时，
选项正确，符合题意；
D、，
，
，
选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是判定对称轴的位置．
二、填空题（本大题共6小题,每小题3分，共18分）
11. 在平面直角坐标系中，点P（﹣10，a）与点Q（b，1）关于原点对称，则a+b＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称点的特征：关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求得的值，进而求得代数式的值．
【详解】解：∵点P（﹣10，a）与点Q（b，1）关于原点对称，
∴

故答案为：
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的特征，掌握关于原点对称的点的特征是解题的关键．
12. 若关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知一元二次方程根的判别式大于0，解不等式即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
13. 在一个不透明口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则估计口袋中白球大约有_____个．
【答案】15
【解析】
【分析】摸到红球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．
【详解】设白球个数为：x个，
∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，
∴口袋中得到红色球的概率为25%，
∴，
解得：x=15，经检验，符合题意，
即白球的个数为15个，
故答案为：15．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
14. 飞机着陆后滑行的距离y（单位：米）关于滑行时间t（单位：秒）的函数解析式是y＝60t﹣1.5t2，则飞机从开始滑行到完全停下来总共用时 _____秒．
【答案】20
【解析】
【分析】根据题意，从开始滑行到完全停下来，即取得最大值时，的值，将函数解析式化为顶点式，利用函数的最值解答．
【详解】解：∵s＝60t﹣1.5t2=，
∴当t=20时，s有最大值600，
故答案为：20
【点睛】此题考查了二次函数的应用；将一般式函数化为顶点式，函数的最值，正确理解题意是解题的关键．
15. 如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为 _____cm2（结果保留π）

【答案】
【解析】
【分析】设AB=x，则DE=12-x，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程求解，进而求得圆锥的表面积．
【详解】解：设AB=x，则DE=12-x，
根据题意，得
解得x=8．
底面半径为
圆锥的表面积为
故答案为：
【点睛】本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
16. 如图所示，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为边BC，CD上动点（点E不与B，C重合，点F不与C，D重合），且∠EAF＝45°，下列说法：
①点E从B向C运动的过程中，△CEF的周长始终不变；
②以A为圆心，2为半径的圆一定与EF相切；
③△AEF面积有最小值；
④△CEF的面积最大值小于．
其中正确的有 _____.（填写序号）

【答案】①②#②①
【解析】
【分析】延长至点，使得，连接，然后证明，从而得到的周长；由和可知以点为圆心、2为半径的圆与相切，然后利用对称性可得与相切；设，，则，然后结合的三边关系得到与之间的关系，进而可以用含有的式子表示的面积和的面积，进而求得对应的最值．
【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，

四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
△，
，和△关于所在直线对称，
，
，
的周长始终不变，故①正确，符合题意；
，的半径，，
与相切，
和△关于所在直线对称，
与相切，故②正确，符合题意；
设，，则，，，
在中，，
，
化简得，，
，
，
当即时，的最小值为，故③错误，不符合题意；
当即时，的最大值为，故④错误，不符合题意；
故答案为：①②#②①．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、与圆有关的位置关系、正方形的性质、二次函数的性质求最值，解题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形．
三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）
17. 解一元二次方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【答案】x1＝﹣1，x2＝3．
【解析】
【分析】先把方程左边分解，原方程转化为x+1＝0或x﹣3＝0，然后解一次方程即可．
【详解】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x+1＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：配方法、公式法和因式分解法．三种方法均可解出方程的根，这里选用的是因式分解法．
18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点上，A（1，0）、B（2，﹣2），C（4，﹣1）．将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1．

（1）画出△A1B1C1；
（2）求点C在旋转过程中运动的路径长．（结果保留π）
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据坐标系，以及网格的特点，找到A（1，0）、B（2，﹣2），C（4，﹣1）绕坐标原点O顺时针旋转90°的对应点，再顺次连接，则△A1B1C1即为所求；
（2）根据旋转的性质可知旋转角度为，半径为的长度，勾股定理求得，进而根据弧长公式求解即可
【小问1详解】
找到A（1，0）、B（2，﹣2），C（4，﹣1）绕坐标原点O顺时针旋转90°的对应点，再顺次连接，则△A1B1C1即为所求，如图，
【小问2详解】
根据题意旋转角为，则在旋转过程中运动的路径为为半径，为圆心角的弧，连接，则
则在旋转过程中运动的路径长为：
【点睛】本题考查了坐标系中画旋转图形，根据旋转的性质求旋转角，以及弧长，掌握旋转的性质以及弧长计算公式是解题的关键．
19. 如图所示，⊙O的弦BD，CE所在直线相交于点A，若AB＝AC，求证：BD＝CE．

【答案】见详解
【解析】
【分析】如图，连接DE，BC．证明∠ADE=∠AED，推出AD=AE，可得结论．
【详解】证明：如图，连接DE，BC．

∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE+∠EDB=180°，∠C+∠EDB=180°，
∴∠ADE=∠C，
同法可证，∠AED=∠B，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴BD=EC．
【点睛】本题考查圆心角，弧，弦的关系，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明AD=AE．
20. 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）结合图形，求y＞0时自变量x的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）将点代入解析式，待定系数法求解析式即可；
（2）根据解析式令，求得点的坐标，进而根据抛物线与轴的交点结合函数图象即可求得y＞0时自变量x的取值范围．
【小问1详解】
解：将点代入抛物线y＝x2+bx+c，得

解得
则抛物线的解析式为：
【小问2详解】
由抛物线的解析式，令
即
解得

，，且抛物线开口向上，
y＞0时自变量x的取值范围为或
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据函数图象求自变量范围，数形结合是解题的关键．
21. 一只箱子里共3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率．
【答案】（1）P（摸出白球）= ；（2）P（两次摸出白球）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是白球的结果数，然后根据概率公式，即可求解．
【详解】解：（1）P（摸出白球）=
(2)根据题意画出树状图，如下：

共有6种等可能的结果，其中两次摸出白球有2种结果
所以P（两次摸出白球）．
【点睛】本题主要考查了列表法与树状图法，能利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率是解题的关键．
22. 受各方面因素的影响，最近两年来某市平均房价由40000元/平方米，下降到32400元/平方米．
（1）求房价年平均下降率；
（2）按照这个年平均下降率，预计下一年该市的平均房价每平方米多少元？
【答案】（1）10% （2）
【解析】
【分析】（1）设年平均下降率为，可得今年的房价＝去年的房价×（1-x），去年的房价＝前年的房价×（1-x），由此列方程求解即可．
（2）由（1）得年平均下降率为10%，根据题意计算即可．
【小问1详解】
设年平均下降率为，根据题意，得.
解得，（不合题意，舍去），
答：年平均下降率10%；
【小问2详解】
（元），
答：按照这个平均下降率，预计下一年房价每平方米元．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：若变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
23. 如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，以CD为直径的⊙O与边AB相切于点E．

（1）求作⊙O，并标出点E（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接CE，求证：CE平分∠BCD；
（3）若BC＝5，AB＝6，求CD的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）按题意作出的中点，以O为圆心，OC为半径画圆即可；
（2）由等腰三角形的性质得出，由切线的性质得出，证出，由平行线的性质可得出结论；
（3）证出，连接，设，则，由勾股定理得出，求出的值，则可得出答案．
【小问1详解】
解：如图，
【小问2详解】
证明：连接CE，
，
，
为的切线，
，
，
，
，
，
即平分；
【小问3详解】
解：∵OE⊥AB，∠A=∠B=90°，
∴，
∴,
∵为的中点，
∴E为AB中点，
为梯形的中位线，
，
，
连接，

为的直径，
，
四边形为矩形，
，
设，
，
，
，
解得，
，
．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了尺规作图，圆周角定理，勾股定理，切线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解是解题的关键．
24. 已知抛物线G：y＝mx2﹣（4m+2）x+4m+1（m≠0）经过定点A，直线l：y＝kx+b经过点A和抛物线G的顶点B．
（1）求点A的坐标；
（2）求直线l的解析式；
（3）已知点P为抛物线G上的一点，且△PAB的面积为2．若满足条件的点P有且只有3个，求抛物线的顶点B的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）解析式变形为，即可求得定点为；
（2）把抛物线化成顶点式，可得出点的坐标，利用待定系数法可解；
（3）过点作轴，交于点，设点，，由（2）可知，直线的解析式为：，，分两种情况讨论计算当时，得到的值，再根据的面积求出的值，令两者相等，求得即可；当时，思路同．
【小问1详解】
解：

，
时，，
定点；
【小问2详解】
，
顶点，，
将点和点代入解析式中，，
解得，
直线的解析式为：；
【小问3详解】
①当时，过点作轴，交于点，如图，

设点，，
由（2）可知，直线的解析式为：，
，
的面积为2，满足条件的点有且只有3个，
在直线的下方的点只有1个，即最大，
，
，
当时，有最大值，
，
，即，
，解得，
，
，
，
；
②当时，过点作轴，交于点，如图，

在直线的上方的点只有1个，即最大，
，
，
当时，有最大值，
，
，即，
，解得，
，
，
，
；
综上，或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数表达式，三角形的面积问题等知识，第（3）问注意需要分类讨论．也可以不分类讨论，线段的长加绝对值即可．
25. 如图1，ABCD是边长为4的正方形，以B为圆心的⊙B与BC，BA分别交于点E，F，还接EF，且EF＝4．

（1）求BE的长；
（2）在平面内将图1中△BEF绕点B顺时针旋转360°，在旋转的过程中，
①求∠CDE的取值范围；
②如图2，取DE的中点G，连接CG并延长交直线DF于点H，点P为正方形内一动点，试求PH+PA+PB的最小值．
【答案】（1）
（2）①15゜≤∠CDE≤75゜②
【解析】
【分析】（1）由△BEF是等腰直角三角形及勾股定理得BE的长；
（2）①当DE分别为⊙B的切线时，∠CDE最大或最小，由BD=2BE1即可求得∠E1DB为30度，从而解决；
②延长DC到 ，使，连接BD，，首先可以证明，则可看成是△BDF绕点B顺时针旋转90度得到的，则；再证明∠DHC=90゜，取CD中点O，连接OH，将△APB绕点A顺时针旋转60゜得到，连接，当点H、P、、 四点共线时，PA+PB+PH=，再求出的长度即可解决．
【小问1详解】
∵四边形ABCD是正方形
∴∠B=90゜
∵BE=BF
∴△BEF是等腰直角三角形
由勾股定理得：
即
∴
【小问2详解】
①如图，连接BD
当DE分别为⊙B的切线时，∠CDE最大或最小

∵BD为正方形的对角线
∴
当点E移动到位置时，∠CDE最小
在中，BD=2BE1
∴
∴
当点E移动到位置时，∠CDE最大
同理可计算得
∴15゜≤∠CDE≤75゜
②延长DC到 ，使，连接BD，，如图

则是等腰直角三角形
∴，
∵△BEF是等腰直角三角形
∴ BF=BE，∠FBE=90゜
∴
∴
∴可看成是△BDF绕点B顺时针旋转90度得到的
∴
∵G、C分别为DE、的中点
∴GC为的中位线
∴
∴CG⊥DF
即∠DHC=90゜
取CD的中点O，连接OH，则
将△APB绕点A顺时针旋转60゜得到，连接，
∴，，
∴是等边三角形，故有PA=
∵
∴
当点H、P、、 四点共线时，PH+PA+PB取得最小值，且最小值为
∵
∴是等边三角形
∴ ，
连接OA、OB，则可得OA=OB
∵
∴
∴
∴
设交AB于点M，在中，
∴
∴
即PH+PA+PB最小值为
【点睛】本题是一个综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到临界状态及旋转△APB是问题的关键与难点