数学选择性必修 第一册4.4 二项式定理第2课时随堂练习题

第2课时　二项式系数的性质

A级必备知识基础练

1.已知(1+x)n的展开式中,第3项与第11项的二项式系数相等,则二项式系数和是(　　)

A.212 B.211 

C.210 D.29

2.已知(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,则a0-a1+a2-…+a6-a7=(　　)

A.1 B.-1 C.2 D.-2

3.在n的展开式中,所有奇数项二项式系数之和为1 024,则中间项系数是(　　)

A.330 B.462 C.682 D.792

4.若二项式-xn的展开式中所有项的系数的绝对值的和为,则展开式中二项式系数最大的项为(　　)

A.-x3 B.x4

C.-20x3 D.15x4

5.(多选题)下列关于(a+b)10的说法中正确的是 (　　)

A.展开式中的各二项式系数之和为1 024

B.展开式中第6项的二项式系数最大

C.展开式中第5项与第7项的二项式系数最大

D.展开式中第6项的系数最小

6.已知(a-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,若a2=80,则a0+a1+a2+…+a5=　　　　. 

7.(x-2y)100展开式的各项系数之和为　　　　. 

B级关键能力提升练

8.在n的二项展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则此展开式中各项系数绝对值之和为(　　)

A.9 B.9

C.8 D.8

9.(2022江苏常熟高二期中)若(1+x)3(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则a0+a2+a4+a6=(　　)

A.8 B.6 

C.5 D.4

10.(多选题)关于6的展开式,则(　　)

A.所有项的二项式系数和为128

B.所有项系数和为1

C.常数项为70

D.二项式系数最大的项为第4项

11.(多选题)在二项式(1-4x)8的展开式中,下列结论正确的是(　　)

A.第5项的系数最大

B.所有项的系数和为38

C.所有奇数项的二项式系数和为-27

D.所有偶数项的二项式系数和为27

12.(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=　　　　. 

13.(2022江苏连云港灌云高二期中)在①a1=35;②+…+=32(m∈N+);③展开式中二项式系数最大值为7m这三个条件中任选一个,补充在下面问题中.

已知(1+mx)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,且　　　　　. 

(1)求m的值;

(2)求a1+a3+a5+a7的值(结果可以保留指数形式).

C级学科素养创新练

14.(多选题)(2022福建龙岩高二期末)对任意实数x,有(2x-3)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7.则下列结论成立的是(　　)

A.a0=-1

B.a2=84 

C.a0-a1+a2-…+a6-a7=-37 

D.|a0|+|a1|+…+|a7|=37

参考答案

第2课时　二项式系数的性质

1.A　因为(1+x)n的展开式中,第3项与第11项的二项式系数相等,即,所以n=12,故(1+x)n的二项式系数和是212.故选A.

2.B　因为(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,令x=-1,得a0-a1+a2-…+a6-a7=[1+2×(-1)]7=-1,故选B.

3.B　∵二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n,而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等,故由题意得=1024,解得n=11.

即二项展开式共12项,中间项为第6项、第7项,其系数为=462.

4.A　令x=-1,可得展开式中系数的绝对值的和为n=,解得n=6.即二项式-xn的展开式中有7项,所以二项式-x6展开式中二项式系数最大的为第4项,T4=3(-1)3x3=-x3.故选A.

5.AB　根据二项式系数的性质,知(a+b)10的展开式中各二项式系数之和为210=1024,故A正确;(a+b)10的展开式中,二项式系数最大的项是中间项,即第6项的二项式系数最大,故B正确,C错误;易知展开式中各项的系数与对应二项式系数相等,故第6项的系数最大,故D错误.故选AB.

6.1　(a-x)5二项展开式的通项为Tr+1=(-1)rxr.令r=2,得a2=(-1)2a3=80,解得a=2,即(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5.令x=1,得a0+a1+a2+…+a5=1.

7.0　令x=y=1,则(1-2)100=1,故(x-2y)100展开式的各项系数之和为1.

8.D　只有第5项的二项式系数最大时,二项展开式共9项,则n=8.8各项系数绝对值之和即为8的各项系数的和.令x=1,可得各项系数绝对值之和为8.故选D.

9.D　令x=1,可得a0+a1+a2+…+a7=(1+1)3(1-2)4=8,

令x=-1,可得a0-a1+a2+…-a7=(1-1)3(1+2)4=0,两式相加可得,2(a0+a2+a4+a6)=8,所以a0+a2+a4+a6=4,故选D.

10.BD　二项式系数和=26=64,故A错误;令x=1,得所有项的系数和为1,故B正确;二项式6展开式的通项为Tr+1=-r=(-2)r,令6-3r=0,解得r=2,则常数项为T3=(-2)2=60,故C错误;

由题可得,二项式系数最大的项为第4项,故D正确.

故选BD.

11.BD　在二项式(1-4x)8的展开式中,第9项的系数为·(-4)8=48,第5项的系数为·(-4)4=70×44,>1,故A错误;

在二项式(1-4x)8的展开式中,令x=1,得所有项的系数和为(-3)8=38,故B正确;因为二项式(1-4x)8的展开式中,所有奇数项的二项式系数和等于所有偶数项的二项式系数和,为·28=27,故C错误,D正确.故选BD.

12.3　设f(x)=(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,

令x=1,则a0+a1+a2+…+a5=f(1)=16(a+1), ①

令x=-1,则a0-a1+a2-…-a5=f(-1)=0, ②

①-②得,2(a1+a3+a5)=16(a+1),所以2×32=16(a+1),解得a=3.

13.解(1)若选条件①,由题得,ar=mr,0≤r≤7.

又a1=35,所以m=35,解得m=5.

若选条件②,

因为+…+=32(m∈N+),

所以2m=32,解得m=5.

若选条件③,

因为展开式中二项式系数最大值为7m,

所以=7m,解得m=5.

(2)由(1)可知(1+5x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.

令x=1,可得67=a0+a1+a2+…+a7, ①

令x=-1,可得(-4)7=a0-a1+a2-…-a7, ②

①-②可得2(a1+a3+a5+a7)=67+47,

所以a1+a3+a5+a7=.

14.ACD　∵(2x-3)7=[-1+2(x-1)]7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7,

则(2x-3)7的通项为Tr+1=·(-1)7-r·[2(x-1)]r=·(-1)7-r·2r(x-1)r,

故a0,a2,a4,a6均小于0,且a1,a3,a5,a7均大于0.

令x=1,可得a0=-1,故A正确;a2=·(-1)5·22=-84,故B错误;

令x=0,可得a0-a1+a2-…+a6-a7=-37,故C正确;

∵|a0|+|a1|+…+|a7|=-a0+a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-(a0-a1+a2-…+a6-a7)=37,

故D正确.故选ACD.