2021-2022学年天津市河西区高三（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年天津市河西区高三（上）期末数学试卷

1.     设集合，集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     “”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.     函数的图象是(    )

A.  B.
C.  D.

4.     设，，为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则其中正确命题的序号为(    )
   ①，，则；
   ②，，，则；
   ③，，，则；
   ④，，，则

A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④

5.     已知数列的通项公式为，前n项和为，则取得最小值时，n的值等于(    )

A. 10 B. 9 C. 8 D. 4

6.     已知单位向量与的夹角为，则与的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

7.     设函数，则(    )

A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减
C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减

8.     已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点且与双曲线C的一条渐近线垂直的直线l与C的两条渐近线分别交于M，N两点，若，则双曲线C的离心率为(    )

A. 3 B. 2 C.  D.

9.     已知函数，当时，函数恰有六个零点，则实数k的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10. i是虚数单位，复数______.
11. 已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上一点A位于第一象限，且满足，则以点A为圆心，AF为半径的圆的方程为______.
12. 已知，，则的最小值为______.
13. 如图所示，某工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分球心与正方体的中心重合，若其中一个截面圆的周长为，则该球的体积是______.

14. 已知函数的最小正周期为，其图象的一条对称轴为，则______.
15. 如图所示，在梯形ABCD中，，，，，点E为AB的中点．若向量在向量上的投影向量的模为，则______；设M为线段CD上的动点，则的最小值为______.

16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
    求角A的大小；
    设，
    求a的值；
    求的值．
17. 如图所示，在三棱柱中，，，，平面平面ADEF，点G是线段AD的中点．
    求证：平面GCE；
    求直线BG与平面GCE所成角的正弦值；
    若点M在线段BE上，且平面GMC，求点M到平面GCE的距离．

18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，B为上顶点，，原点O到直线的距离为
    求椭圆的方程；
    设斜率不为0的直线l过点，与椭圆交于M，N两点，若椭圆上一点P满足，求直线l的方程．
19. 已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，，，成等比数列，数列满足，
    求数列和通项公式；
    求的值；
    证明：
20. 已知函数为自然对数的底数
    当时，求的极值；
    设函数，若在其定义域内恒成立，求实数a的最小值；
    若关于x的方程恰有两个相异的实根，，求实数a的取值范围，并证明
    

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：集合，
集合，

故选：
求出集合M，集合N，利用交集定义能求出
本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：由“”，一定有，
由“”推不出“”，例如，
因此“”是“”的的充分不必要条件．
故选：
由“”，一定有，由“”推不出“”，例如，，即可判断出结论．
本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

3.【答案】D 

【解析】解：，则是奇函数，排除A，C，
当时，，，但x增长比快，所以且大于0，排除B，
故选：
判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性是解决本题的关键，是基础题．
 

4.【答案】C 

【解析】解：对于①，，，则与相交或平行，故①错误；
对于②，，，，则由线面垂直的性质和面面垂直的判定定理得，故②正确；
对于③，，，，则m与相交、平行或，故③错误；
对于④，，，，由面面垂直的性质和线面垂直的判定定理得，故④正确；
故选：
根据线面垂直，面面垂直的判断定理对四个命题逐一进行判断．
本题考查了直线与平面，平面与平面的关系，属于中档题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：，
可得：时，数列单调递减，且；时，数列单调递减，且
取得最小值时，n的值等于
故选：
变形，利用数列的单调性即可得出结论．
本题考查了数列递推关系、数列的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

6.【答案】A 

【解析】解：单位向量与的夹角为，
，，
，
，
，
与的夹角的余弦值为
，
又，

故选：
根据平面向量数量积的定义，求模长与夹角即可．
本题考查了利用平面向量的数量积求模长与夹角的应用问题，是基础题．
 

7.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查复合函数单调性的求法，是中档题．
求出x的取值范围，由定义判断为奇函数，利用对数的运算性质变形，再判断内层函数的单调性，由复合函数的单调性得答案．

【解答】

解：由，得
又
，
为奇函数；
由
，


可得内层函数的图象如图，

在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
又对数函数是定义域内的增函数，
由复合函数的单调性可得，在上单调递减.
故选：

8.【答案】C 

【解析】解：双曲线的渐近线方程为，
设M在直线上，，，
则，，
，，
在中，可得，
，
，
双曲线的离心率为，
故选：
由题意可知为MN的三等分点，用a，b，c表示出的边长，利用勾股定理得出a，b的关系从而得出离心率．
本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用点到直线的距离公式和平面几何的知识，考查化简运算能力，属于中档题．
 

9.【答案】B 

【解析】解：当时，；
当时，
当时，，
可得，
当时，，
可得，
当时，，
可得
画出函数在上的图象如下图所示：


由上图，
函数恰有六个零点，即函数与函数有6个交点，
从上图观察可知在直线OA与直线OB之间即可满足题意，
此时，
故选：
先求出函数的表达式，再根据函数的表达式画出图象，最后根据数形结合思想求解．
求解本题的关键，一是求出函数的表达式，二是数形结合思想的运用，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：
故答案为：
根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：抛物线C：的焦点为F，点A在抛物线C上，且满足，则以点，
圆A的标准方程为
 故答案为：
利用抛物线的定义，求出A的坐标，然后求解圆的方程．
本题主要考查抛物线的定义和标准方程的应用，属于基础题．
 

12.【答案】2 

【解析】解：因为，，
所以，
当且仅当时，等号成立；
故答案为：
由，利用基本不等式求出结果．
本题考查了基本不等式的应用，考查了运算能力，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可知，球心到截面所在平面的距离为，
设截面圆的半径为r，球的半径为R，则，解得，
，
该球的体积为
故答案为：
求出球心到截面圆所在平面的距离以及截面圆的半径，利用勾股定理可求得球的半径，再求出该球的体积．
本题考查球的体积的求法，考查球的体积公式、截面圆性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为最小正周期为，所以，可得，
因为图象的一条对称轴为，
所以，，
所以，，
因为，
所以，，
所以，，
所以
故答案为：
由题意根据周期公式可求，根据一条对称轴为，结合的范围可求，从而求出，然后代值计算即可．
本题主要考查了余弦函数的图象和性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：以B为坐标原点，为x，y轴建立平面直角坐标系，

则，
设，
，
向量在向量上的投影向量的模为，
，
，
又，，
解得：，
；
，
；
设，
又，
，解得：，
，
，
，
，
当时，取得最小值
以B为坐标原点可建立平面直角坐标系，由与可构造方程求得D点坐标，由向量数量积坐标运算可得；
设，可得，则可将表示为关的函数，利用二次函数最值求法可得结果．
本题考查了向量数量积的坐标运算以及最值问题，属于中档题．
 

16.【答案】解：由得
即，
得，
则，
则
设，则，
则
，

则，
则 

【解析】利用余弦定理建立方程进行求解即可；
利用余弦定理进行求解即可；
利用两角和差的三角公式进行转化求解即可．
本题主要考查解三角形的应用，利用余弦定理以及两角和差的三角公式进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
 

17.【答案】证明：取线段EF的中点P，连结PG，因为平面平面ADEF，，
所以平面ABCD，
所以平面ABCD，
因为，，
所以是正三角形，
又点G是线段AD的中点，所以
可以建立以G为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系如图，

可得，
证明：，设为平面GCE的法向量，则，即，
不妨令，可得，
又，故，
因此平面
依意，，由知为平面GCE的法向量．
因此，
所以直线BG与平面GCE所成角的正弦值为
解：依题意，设，
所以，因此，
设为平面GMC的法向量，
则，即，
不妨令，可得，
，因为平面GMC，所以，解得，
所以，
设点M到平面GCE的距离为，
则，
所以点M到平面GCE的距离为 

【解析】建立如图所示空间直角坐标系，
求出平面GCE的法向量，利用证明即可；
由知，平面GCE的法向量为，再求出直线BG的方向向量，利用向量的夹角公式即可求解．
根据，求出点M，再求出平面GMC的法向量为，在根据平面GMC，得可求出i，最后利用点M到平面GCE的距离公式即可求解．
本题考查空间向量的应用，考查学生的分析及运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：由题意得，，
因为，所以，
由原点O到直线：的距离为，
可得，解得，
所以椭圆的方程为
因为直线l的斜率不为0，且过点，
所以设直线l的方程为，
设点，，
联立方程，得，
则，，
因为，所以，
将点P的坐标代入椭圆方程得，
而，整理得到，
即，
，
，
解得，所以直线l的方程为或 

【解析】根据及原点到直线的距离可求a，b，从而可求椭圆的方程．
设直线l的方程为，，，可用所设两点的坐标表示P，联立直线方程和椭圆方程，消元后利用韦达定理结合P在椭圆上可求直线的方程．
本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
 

19.【答案】解：设等差数列的公差为d，，
由，可得，即，
由，，成等比数列，可得，即，
解得，
则；
数列满足，，即为，
可得是首项为2，公比为2的等比数列，
则，即；


；
证明：，，2，，n，
所以，
即 

【解析】设等差数列的公差为d，，由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得；由等比数列的定义和通项公式，可得；
由等差数列的通项公式和正弦函数值，结合并项求和方法和等差数列的求和公式，计算可得所求和；
推得，，2，，n，再由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式、不等式的性质，可得证明．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列不等式的证明，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：当时，，，
所以，
令，解得，

所以的极大值为，无极小值．
由题意得在上恒成立，
因为，所以在上恒成立．
设，则，
令，解得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
因此，所以，即
所以实数a的最小值
证明：由即得，
令，则，
设，则，
因为，所以恒成立，函数在单调递减，
而，故在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以
故方程恰有两个相异的实根只需
所以实数a的取值范围是
下证：，不妨设，则，，
所以
因为，
所以
，
令，则，
所以在上单调递增，
所以当时，，即，
所以，所以 

【解析】首先求出函数的导函数，即可得到x、与的关系，从而求出函数的极值；
依题意参变分离即可得到在上恒成立，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围；
由，即可得到，令，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，依题意可得，即可求出参数a的取值范围；设，则，则，再令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得证；
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，不等式恒成立问题，根据方程的实根求参数的取值范围和不等式的证明，考查了方程思想和转化思想，属中档题．