2021-2022学年天津市红桥区高三（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年天津市红桥区高三（上）期末数学试卷

1.     已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     已知命题p：，总有，则为(    )

A. ，使得
B. ，使得
C. ，总有
D. ，总有

3.     设，，，则.(    )

A.  B.  C.  D.

4.     设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于(    )

A.  B. 2 C.  D.

5.     函数的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能的值为(    )

A.  B.  C. 0 D.

6.     某部门为了了解一批树苗的生长情况，在3000棵树苗中随机抽取200棵，统计这200棵树苗的高度，将所得200个高度数据分为7组：并绘制了频率分布直方图如图，那么根据该图可推测，在这3000棵树苗中高度小于100cm的树苗棵数是(    )

A. 360 B. 600 C. 840 D. 1320

7.     函数在的图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

8.     一名学生申请加入学校的3个社团，假设各个社团通过这名学生的申请是相互独立的，并且概率都是，设X是这名学生申请被通过的次数，则随机变量X的期望为(    )

A.  B.  C.  D.

9.     如图，在平面四边形ABCD中，，，，若点E为边CD上的动点，则的最小值为(    )
    

A.  B.  C.  D. 3

10. 设复数z满足，则______.
11. 函数 的单调递减区间是______.
12. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为______.
13. 若直线与圆x²²交于A，B两点，则弦长______.
14. 若，，则的最小值为______.
15. 已知函数满足，，其中，若函数有4个零点，则实数k的取值范围是______.
16. 的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，已知，，
    求b的值；
    求的值；
    求的值．
17. 如图，是一个四棱锥，已知四边形ABCD是梯形，平面ABCD，，，，，点E是棱PC的中点，点F在棱PB上，
    证明：直线平面PAD；
    求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
    求平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值．

18. 已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，
    求数列的通项公式；
    数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
19. 已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为，
    求椭圆的方程；
    若直线l：与椭圆交于A、B两点，与以为直径的圆交于C、D两点，且满足，求直线l的方程．

20. 设函数有两个极值点，，且
    求a的取值范围；
    讨论的单调性；
    证明：
    

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
根据集合的基本运算进行求解即可．

【解答】

解：，，
，
故选：

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查了全称量词命题的否定的写法，全称量词命题的否定是存在量词命题，属于基础题.
据全称量词命题的否定为存在量词命题可写出命题p的否定．

【解答】

解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，
为，使得
故选

3.【答案】C 

【解析】

解：，
，
，

故选：
【分析】
利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．  

4.【答案】C 

【解析】

【分析】
求出双曲线的渐近线方程，代入抛物线方程，运用相切的条件：判别式为0，解方程，可得a，b的关系，再由双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到．
本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查直线和曲线相切的条件，考查运算能力，属于基础题．
【解答】
解：双曲线的渐近线方程为，
代入抛物线方程，
得，
由相切的条件可得，判别式，
即有，则，
则有
故选  

5.【答案】B 

【解析】解：令，
则，
为偶函数，
，
，，
当时，
故的一个可能的值为
故选：
利用函数的图象变换可得函数的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．
本题考查函数的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：由直方图可知，高度小于100cm的树苗所占的频率为
所以在这3000棵树苗中高度小于100cm的树苗棵数是，
故选：
由频率分布直方图先求出高度小于100cm的树苗的频率，再用总体乘以频率，可得结果．
本题考查了直方图求频数、频率，考查频率公式，属于基础题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：，，，
选项B符合，其它选项不符合．
故选：
结合图象把，代入函数，根据其符号判断即可．
本题考查函数图象性质，考查数学运算能力，属于中档题．
 

8.【答案】D 

【解析】解：由题意可得，X服从二项分布，，
故
故选：
由题意可得，X服从二项分布，结合二项分布的期望公式，即可求解．
本题主要考查二项分布的期望公式，属于基础题．
 

9.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了向量数量积，坐标法解决向量问题，属于中档题．
以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，求出A，B，C的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．

【解答】

解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，
以DC所在的直线为y轴，过点B作轴，过点B作轴，

，，，，
，，
，
，
，
，
，，，
设，
，，，
，
当时，取得最小值为
故选

10.【答案】 

【解析】解：复数z满足，则，
故答案为：
由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．
本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，属于基础题．
 

11.【答案】， 

【解析】解：的定义域是，
，
令，解得：，
故在，递减，
故答案为：，
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．
 

12.【答案】2：3 

【解析】解：设球的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，
球的体积与圆柱的体积之比是：：3；
故答案为：2：
设球的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，分别求出球与圆柱的体积，则答案可求．
本题考查几何体的体积的求法，考查计算能力，是基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：圆x²²的圆心坐标为，半径为，
C到直线的距离，

故答案为：
求出圆心坐标和半径，由垂径定理得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，考查了垂径定理的应用，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值为，
故答案为：
先变形得到，再利用基本不等式求最值即可．
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：当时，函数的图象如下图所示：

此时若函数，则，
则，只有一解，不合题意，
当时，函数的图象如下图所示：

此时若函数，则，
则，或，只有三解，不合题意，
当时，函数的图象如下图所示：

此时若函数，则，
则，或，有四解，满足题意，
故满足条件的实数k的取值范围是
故答案为：
函数的零点个数，即为方程的解的个数，结合函数，求解方程可得答案．
本题考查的知识点是函数零点的判定，其中将函数的零点问题转化为方程根的个数问题，是解答的关键．
 

16.【答案】解：由余弦定理知，，
所以，即，解得或舍负，
故
因为，，所以，
由正弦定理知，，所以，
所以
因为，，
所以，，
所以 

【解析】利用余弦定理，即可得解；
先求得的值，再由正弦定理，得解；
先根据二倍角公式求得和的值，再由两角和的余弦公式，得解．
本题考查解三角形与三角函数的综合，熟练掌握正弦定理，余弦定理，二倍角公式，两角和的余弦公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】证明：取PD的中点G，连接AG，GE，
因为G，E分别为PD，PC的中点，
则，，
又，，
所以且，
故四边形AGEB为平行四边形，
所以，
又平面PAD，平面PAD，
所以平面PAD；
解：因为平面ABCD，且AD，平面ABCD，
则，，又，
故以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
所以，
则，，
设平面PBD的法向量为，
则，
令，则，
故，
所以，
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为；
解：因为，
则，
所以，
故，
设平面DEF的法向量为，
则，
令，则，，
故，
又平面ABCD的一个法向量为，
所以，
故平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值为 

【解析】取PD的中点G，连接AG，GE，利用中位线定理证明，，从而可证明四边形AGEB为平行四边形，得到，由线面平行的判定定理即可证明结论；
建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PBD的法向量，由向量的夹角公式求解即可；
利用向量线性运算以及向量的坐标运算求出的坐标，利用待定系数法求出平面DEF的法向量，由向量的夹角公式求解即可．
本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理和线面垂直的性质的应用，线面角与二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
 

18.【答案】解：设等差数列的公差为d，且，，成等比数列，
则，
且，解得，
所以；
因为，
设，
 ，①
，②
①-②得：，
 所以，
则，
得，
当n为偶数时，，
当n为奇数时，，
所以 

【解析】设等差数列的公差为d，根据条件列出方程，求出d，进而可得通项公式；
首先利用错位相减法求得，代入不等式可得关于n的不等式，分n为奇数和偶数两种情况可得的取值范围．
本题考查了等差数列的通项公式以及数列与不等式的综合，属于中档题．
 

19.【答案】解：由题意可得，
解得，，
椭圆的方程为；
由题意可得以为直径的圆的方程为
圆心到直线l的距离，
由，可得，
，
设，，
联立，
化为，
，
可得，

，
由，得，
解得满足题意．
因此直线l的方程为 

【解析】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交的弦长问题、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于较难题．
由题意可得，解出即可；
由题意可得以为直径的圆的方程为，利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线l的距离d及，可得m的取值范围．利用弦长公式可得设，把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，进而得到弦长由，即可解得m，从而求解．
 

20.【答案】解：，
令，其对称轴为，
由题意知，是方程的两个均大于的不相等实根，
所以，解得，
所以a的取值范围为；
当时，，所以在区间上为增函数；
当时，，所以在区间上为减函数；
当时，，所以在区间上为增函数；
证明：由，知，
，，

设，
则，
当时，，所以在单调递增，
所以，即 

【解析】由有两个极值点，可得，即在上有两个不等实根，然后求出a的取值范围；
根据函数单调性与导数的关系即可求解；
由知，可得，，则，构造函数，求导判断函数单调性，从而证明成立．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了转化思想和函数思想，属难题．