2021-2022学年辽宁省丹东市高三（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年辽宁省丹东市高三（上）期末数学试卷

1.     设集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     设，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.     若向量满足，则(    )

A.  B.  C. 1 D. 2

4.     若，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.     将4个a和2个b随机排成一行，则2个b不相邻的排法种数为(    )

A. 10 B. 15 C. 20 D. 24

6.     若双曲线的一条渐近线为，则C的离心率为(    )

A. 2 B. 3 C.  D.

7.     若直线是曲线的切线，则(    )

A.  B.  C. 1 D. e

8.     设，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.     为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如频率分布直方图：
   
   根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是(    )

A. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过万元
B. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于万元至万元之间
C. 该地农户家庭年收入的分位数的估计值为万元
D. 该地农户家庭年收入的分位数的估计值为万元

10. 设椭圆的两个焦点分别为，，上顶点为B，点P在C上，则(    )

A.  B. 的最大值
C. 的最大值为5 D. 的最大值为

11. 函数，已知在有且仅有5个零点，下面结论正确的是(    )

A. 的取值范围是 B. 在单调递增
C. 在有且仅有3个极大值点 D. 在有且仅有2个极小值点

12. 已知平行六面体的所有棱长都为1，顶点在底面ABCD上的射影为O，若，，则(    )

A.  B. 与所成角为
C. O是底面ABCD的中心 D. 与平面ABCD所成角为

13. 已知，，，那么__________.
14. 已知函数为奇函数，则__________.
15. 记为等比数列的前n项和，若，，则__________.
16. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为半圆面，若该圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，则球O的半径为__________.
17. 2014年，中央和国务院办公厅印发《关于引导农村土地经营权有序流转发展农业适度规模经营的意见》，要求大力发展土地流转和适度规模经营．某种粮大户2017年开始承包了一地区的大规模水田种植水稻，购买了一种水稻收割机若干台，这种水稻收割机随着使用年限的增加，每年的养护费也相应增加，这批水稻收割机自购买使用之日起，5年以来平均每台水稻收割机的养护费用数据统计如表：

求y关于x的线性回归方程；
若该水稻收割机的购买价格是每台16万元，由中的回归方程，从每台水稻收割机的年平均费用角度，你认为一台该水稻收割机是使用满5年就淘汰，还是继续使用到满8年再淘汰？
参考数据：
参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，

18. 如图，在平面四边形ABCD中，，，
    求；
    若，的面积为，求

19. 记为数列的前n项和，已知，，且数列是等差数列．
    证明：是等差数列．
    若，证明：
20. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，，E为AB的中点．
    证明：平面平面PDC；
    已知二面角的大小为，求点C到平面PDE的距离．

21. 抛物线E的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：交E于P，Q两点，且
    求E的方程；
    直线与E相交于A，B两点，点C在E上，直线AC的斜率与直线BC的斜率互为相反数，求内切圆D的方程．
22. 已知函数
    求的极值；
    若，且，函数有且仅有两个零点，求a的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查集合的运算，考查交集定义，是基础题．
利用交集定义直接求解．

【解答】

解：集合，，
则
故选：

2.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查复数的基本运算，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键，是基础题．
利用待定系数法设出，a，b是实数，根据条件建立方程进行求解即可．

【解答】

解：设，a，b是实数，
则，
则由，
得，
得，
得，得，，
即，
故选：

3.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．
由，用向量数量积运算即可．

【解答】

解：因为，所以，，
，
解得，
故选：

4.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数诱导公式及恒等变换的应用，属于基础题．
由诱导公式得，再由二倍角公式化简即可．

【解答】

解：，


，
故选：

5.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了排列组合的应用，对于不相邻问题，一般会运用插空法进行求解，属于基础题．
利用插空法即可求出．

【解答】

解：将4个a排好后，则有5个位置可以放b，故排放方法有种．
故选：

6.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法以及离心率的求法，是基础题．
通过双曲线的渐近线方程，求解m，然后求解双曲线的离心率即可．

【解答】

解：双曲线的一条渐近线为，
可得，解得，
所以，，所以双曲线的离心率为：
故选

7.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力，属于中档题．
设切点为，对求导数得，从而得到切线的斜率，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，对照已知直线列出关于、a的方程组，解之即可得到实数a的值．

【解答】

解：设切点为，
求导数得，
切线的斜率，
故切线方程为，
整理得，
易得且，
则，
故选

8.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查三个数的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．
利用对数函数的性质求解．

【解答】

解：，，
，
，
，，
，，
，
，
故选

9.【答案】BCD 

【解析】

【分析】

本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质、平均数、分位数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用频率分布直方图的性质、平均数、分位数的性质直接求解．

【解答】

解：对于A，估计该地农户家庭年收入的平均值为：
，
估计该地农户家庭年收入的平均值超过万元，故A错误；
对于B，家庭年收入介于万元至万元之间的频率为：
，
估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于万元至万元之间，故B正确；
对于C，内的频率为，
该地农户家庭年收入的分位数的估计值为万元，故C正确；
对于D，内有频率为：，
该地农户家庭年收入的分位数的估计值为万元，故D正确．
故选

10.【答案】BC 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的性质，属于基础题．
利用椭圆的性质逐项计算可判断结果．

【解答】

解：椭圆的方程知，，所以，，，
所以两个焦点分别为，，上顶点为，
，故A错误；
点P在C上，的最大值为，故B正确；
由，所以，所以，当且仅当时取等号，故C正确；
，当时，的最大值为，故D错误．
故选

11.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题主要考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了命题的真假判断与应用，考查了函数思想和数形结合思想的应用，属于中档题．
A.，，求得函数的零点，再根据在有且仅有5个零点求解判断；由，结合选项A的结论得到的最大范围，由的单调性判断；作出函数的大致图象即可判断．

【解答】

解：令，，解得，，
因为在有且仅有5个零点，
所以，解得，故A正确；
因为，则，函数在上递增，故B正确；
的大致图象如图所示：

因为在有且仅有5个零点，
所以所对应的位置应该在x轴的第5和第6个零点之间，
所以在这段范围内在有2或3个极大值点，有且仅有2个极小值点，故C错误D正确；
故选：

12.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题主要考查异面直线所成的角，线面角的计算，属于中档题．
由题设，若AC，BD交于E，易知、为等边三角形，、为等腰直角三角形，由线面垂直的判定可证面、面ABCD，即可判断C、D；再根据线面垂直的判定、性质可知，由平行的推论可得为直角三角形，即可判断A、

【解答】

解：由题知六面体上下底面、ABCD为正方形，

连接、、BD，又且棱长为1，
、为等边三角形，
，
又，则，
，则，
、为等腰直角三角形，
若AC，BD交于E，连接，则，即，
，
又，，、面，
面，同理可得平面ABCD，
的投影为E，即O与E点重合，故O是底面ABCD的中心，且与平面ABCD所成角为，故C、D正确；
，，，AE、面，即面，
又面，
，连接，则，故，
又，且，
，
在直角中，显然与所成角为不为，故A正确，B错误．
故选

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查条件概率公式以及全概率公式，属于较易题．
根据条件概率公式即可求解．

【解答】

解：由题意可得，
，
，

故答案为

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性的定义以及性质的应用，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．
根据题意，由奇函数的性质可得，求出a的值，验证即可得答案．

【解答】

解：根据题意，函数为奇函数，
其定义域为R，
则有，即，
解可得：或，
当时，，不是奇函数，不符合题意，
当时，，是奇函数，符合题意，
故，
故答案为：

15.【答案】4 

【解析】

【分析】

本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题．
由题意得，，，成等比数列，结合等比中项的性质可求．

【解答】

解：由题意得，，，成等比数列，
所以，
所以或
当时，由等比数列的求和公式得，
即不符合题意舍去，
故
故答案为：

16.【答案】2 

【解析】

【分析】

本题考查了几何体的外接球，弧长及扇形面积，属于较易题．
根据已知求圆锥的母线长，进而求圆锥体的高，根据高与底面半径的大小关系，结合已知条件判断外接球球心的位置，进而求球体的半径．

【解答】

解：设圆锥的母线为l，则，
解得，
圆锥的高，
设球O的半径为R，则，
解得
故答案为

17.【答案】解：由表格数据可得，，，
，
，
故线性回归方程为
若满5年就淘汰，
则每台水稻收割机年平均费用为万元，
若满8年就淘汰，
则每台水稻收割机年平均费用为万元，
，
建议使用8年再淘汰． 

【解析】本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于中档题．
根据已知条件，结合最小二乘法公式，即可求解．
分别求出两种情况的年平均费用，通过比较大小，即可求解．
 

18.【答案】解：中，，
所以，
所以；
中，由正弦定理得，，
所以，
又，
所以，
则，
因为的面积，
所以，
由余弦定理得，，
所以 

【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
由已知结合同角平方关系先求出，然后结合三角形内角和及诱导公式即可求解；
中，由正弦定理得可求BD，结合诱导公式可求，结合三角形面积公式可求CD，最后利用余弦定理即可求解．
 

19.【答案】证明：为数列的前n项和，已知，，且数列是等差数列，
所以设公差，
所以，
整理得，
所以时，，
当时，满足上式，
故数列是等差数列；
当时，由得：，
所以，
故 

【解析】本题考查的知识要点：数列的递推关系式和等差数列的定义，数列的求和，裂项相消法的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
直接利用等差数列的定义和关系式的变换求出数列是等差数列；
利用的结论，进一步利用裂项相消法求出结果
 

20.【答案】证明：取PC的中点N，CD的中点M，连结EM，EN，MN，
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，，，PA，平面PAD，
所以平面PAD，平面PAD，所以，
因为，所以，，，MN，平面EMN，
所以平面EMN，平面EMN，
所以
因为E为AB的中点，所以
因为，，，
所以
所以，又，PC，平面PCD，
所以平面PCD，平面PEC，
所以平面平面PDC；
解：以AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，设，
所以，，，，
所以，，，
设为平面PDE的法向量，则，即，
取，，，则，
由可得平面PCD，
因为，
取为平面PDC的法向量，则，，
解得，所以，，
则 

【解析】本题主要考查空间线面关系的证明、空间向量的应用，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中档题．
取PC的中点N，CD的中点M，连结EM，EN，MN，证明面PCD，再利用面面垂直的判定定理，即可得到答案；
以AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，根据条件求出a的值，再根据公式可求解．
 

21.【答案】解：设抛物线 E的方程为，
由，解得，
不妨设，，
因为，所以，
即，
解得，
所以抛物线的方程为
由得：，
设，，，
则  ①，②，
因为直线AC的斜率与直线BC的斜率互为相反数，
所以，
即，
即，
即，
解得或，
联立方程①②解得或，
不妨取，
若，则C点与A点或B点重合，故舍去；
故，，
所以直线BC的方程为：，
因为直线AC的斜率与直线BC的斜率互为相反数，所以的平分线即为，
因为内切圆的圆心在角平分线上，即圆心在直线上，
设圆心为，则圆心到直线AB的距离为，
圆心到直线BC的距离为，
因为，
所以或，
因为圆心在直线的上方，
令，则对应在直线上的点的坐标为，
则，
所以，则，
所以内切圆的方程为： 

【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的综合应用知识能力和运算能力，属中档题．
设抛物线 E的方程为，由，求得P，Q的坐标，再根据，由求解；
由求得 A， B的坐标，再根据直线AC的斜率与直线BC的斜率互为相反数，由，求得点 C的坐标，易知圆心在过 C垂直 x轴的直线上，由圆心到直线 AB和 BC的距离相等，求得圆心和半径即可．
 

22.【答案】解：由题设，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
的极大值为，无极小值．
设，是的一个零点，
与单调性相同，由可知当时，，所以，
若，在有唯一零点，因为，
所以在有唯一零点，
若，在有唯一零点，由可知，
因为，所以，
从而，
所以在有唯一零点，
若，在有唯一零点，当时，，
因此有且仅有一个零点，
综上，a的取值范围为 

【解析】本题考查了利用导数研究函数的极值，函数的零点问题，属于中档题．
利用导数求的极值即可；
设，可得是的一个零点，分类讨论，研究的零点个数即可得a的取值范围.