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    2021-2022学年天津市西青区高三(上)期末数学试卷(含答案解析)

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    这是一份2021-2022学年天津市西青区高三(上)期末数学试卷(含答案解析),共15页。

    2021-2022学年天津市西青区高三(上)期末数学试卷

     

    1.     已知全集,集合,集合,则(    )

    A.  B.  C.  D.

    1.     ,则“”是“直线与直线平行”的(    )

    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
    C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

    1.     函数的图象大致为(    )

    A.
    B.
    C.
    D.

    1.     在黄陵中学举行的数学知识竞赛中,将高二两个班参赛的学生成绩得分均为整数进行整理后分成五组,绘制如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是,第二小组的频数是这两个班参赛的学生人数是(    )


    A. 80 B. 90 C. 100 D. 120

    1.     已知直三棱柱6个顶点都在球O的球面上,若,则球O的表面积为.(    )

    A.  B.  C.  D.

    1.     已知双曲线的一条渐近线方程,且过点,则双曲线的方程为(    )

    A.  B.  C.  D.

    1.     上随机取一根实数m,能使函数R上有零点的概率为(    )

    A.  B.  C.  D.

    1.     将函数的图象向右平移个单位后,得到的图象,则函数的单调增区间为(    )

    A.  B.
    C.  D.

    1.     定义在R上的函数其中,且,对于任意都有成立,则实数a的取值范围是(    )

    A.  B.  C.  D.

    1. ,其中i为虚数单位,则z的虚部等于__________.
    2. 的展开式中常数项是______ .
    3. 若集合,则集合B的所有子集的个数是______.
    4. 已知直线l经过点,且被圆截得的弦长为8,则直线l的方程是______.
    5. 已知函数有且只有一个零点,若方程无解,则实数k的取值范围为______.
    6. 在等腰直角三角形ABC中,,点P在三角形内,满足,则__________.
    7. ABC中,角ABC所对的边分别为abc,且满足
      的值;
      的值.
    8. 如图,PD垂直于梯形ABCD所在的平面,FPA中点,,四边形PDCE为矩形,线段PCDE于点
      求平面ABC与平面PBC所成角的大小;
      在线段EF上是否存在一点Q,使得BQ与平面BCP所成角的大小为?若存在,请求出FQ的长;若不存在,请说明理由.


    1. 已知是等差数列,且;数列满足:
      求数列的通项公式;
      设数列的前n项和为,若,求n的最大值.
    2. 已知椭圆C的左、右焦点分别为,焦点为的抛物线D的准线被椭圆C截得的弦长为
      求椭圆C的标准方程;
      若点到直线l的距离之积为1,求证:直线l与椭圆C相切.
    3. 已知
      证明:
      时,恒成立,求实数a的取值范围.

    答案和解析

     

    1.【答案】C 

    【解析】解:

    故选:
    进行补集、交集的运算即可.
    本题考查了列举法的定义,补集、交集的运算,考查了计算能力,属于基础题.
     

    2.【答案】A 

    【解析】解:直线与直线平行,直线斜率都存在且相等,
    ,解得:
    ”是““的充分不必要条件,
    故选:
    先利用两直线平行求出a的值,再结合充分必要条件的定义,从而求出答案.
    本题考查了充分必要条件,考查直线位置关系,是一道基础题.
     

    3.【答案】D 

    【解析】解:
    函数为奇函数,其图象关于原点对称,故排除AB
    ,故排除
    故选:
    利用函数的奇偶性及特殊点的函数值,运用排除法得解.
    本题考查利用函数性质确定函数图象,属于基础题.
     

    4.【答案】C 

    【解析】解:由由频率分布直方图的面积和为1
    已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是
    所以第二小组的频率为
    因为第二小组的频数是40
    所以这两个班参赛的学生人数是
    故选:
    由频率分布直方图的面积和为1,求得第二小组的学生的频率,进而求得两个班总人数.
    本题考查了频率分布直方图的应用,属于基础题.
     

    5.【答案】C 

    【解析】

    【分析】

    本题考查球的体积和表面积,球的内接体问题,考查学生空间想象能力,属于基础题.
    由于直三棱柱的底面为直角三角形,我们可以把直三棱柱补成直四棱柱,则四棱柱的体对角线是其外接球的直径,求出外接球的半径后,代入球的表面积公式,即可求出该三棱柱的外接球的表面积.

    【解答】

    解:由题意,三棱柱为直三棱柱,底面为直角三角形,把直三棱柱补成直四棱柱,

    则四棱柱的体对角线是其外接球的直径,所以外接球半径为
    则直三棱柱外接球的表面积是
    故选:
     

      

    6.【答案】A 

    【解析】解:由题意,得,解得
    双曲线的方程为
    故选:
    由题意可得关于ab的方程组,求解可得ab的值,则双曲线的方程可求.
    本题考查双曲线的几何性质,考查双曲线方程的求法,是基础题.
     

    7.【答案】B 

    【解析】解:若函数R上有零点,
    ,解得
    即在上使函数有零点的范围为
    由几何概型可得函数有零点的概率
    故选:
    首先明确函数有零点的x的范围,利用几何概型的公式解答即可.
    本题考查了几何概型的概率求法;正确求出满足条件的x 范围,利用几何概型的公式求解.
     

    8.【答案】A 

    【解析】解:函数的图象向右平移个单位后,
    得到:
    所以:
    所以:
    令:
    解得:
    所以:函数的单调递增区间为:
    故选:
    首先根据函数的变换求出函数的关系式,进一步利用整体思想求出结果.
    本题考查的知识要点:三角函数的关系式的确定,函数的图象的平移变换问题.
     

    9.【答案】B 

    【解析】解:任意都有成立,
    即为R上递减.
    时,递减,
    可得,解得
    时,递减,
    可得
    R上递减,可得
    解得
    综上可得,
    故选:
    由题意可得R上递减.运用一次函数和对数函数的单调性,结合的情况,解不等式即可得到所求范围.
    本题考查分段函数的单调性的判断和运用,考查单调性的定义的运用,注意分界点的运用,考查运算能力,属于中档题和易错题.
     

    10.【答案】 

    【解析】

    【分析】

    本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
    利用复数的运算法则即可得出.

    【解答】

    解:,则z的虚部为
    故答案为
     

      

    11.【答案】 

    【解析】

    【分析】

    本题考查二项式定理、方程思想、分类讨论思想,考查数学运算能力,属于中档题.
    看作一项,写出通项,可解决此题.

    【解答】

    解:的展开式的通项公式为123
    对于,它的通项公式为12,…
    ,可得;或
    故展开式中常数项为
    故答案为:

      

    12.【答案】16 

    【解析】解:
    的所有子集的个数是
    故答案为:
    可求出集合B,然后根据子集个数的计算公式即可求出B的子集个数.
    本题考查了集合的列举法和描述法的定义,集合子集个数的计算公式,考查了计算能力,属于基础题.
     

    13.【答案】 

    【解析】解:圆心,半径,弦长
    设弦心距是d
    则由勾股定理,


    l斜率不存在,直线是
    圆心和它的距离是3,符合题意,
    l斜率存在,设直线方程



    解得,所以所求直线方程为
    故答案为:
    求出圆心与半径,利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理,求出弦心距,通过直线的斜率存在与不存在,利用圆心到直线的距离求解,求出直线的方程即可.
    本题是基础题,考查直线与圆的位置关系,考查圆心到直线的距离公式的应用,注意直线的斜率不存在的情况,容易疏忽,产生错误.
     

    14.【答案】 

    【解析】解:函数的定义域为R

    所以为偶函数,
    又函数有且只有一个零点,
    所以
    解得

    所以
    因为上为单调递增函数,且上为单调递增函数,
    所以函数上为单调递增函数,
    为偶函数,
    所以
    因为方程无解,
    所以
    故实数k的取值范围为
    故答案为:
    先判断出函数为偶函数,结合题意得到,得到a的值,从而求出,再判断函数的单调性,确定的取值范围,即可得到k的范围.
    本题考查了函数与方程的综合应用,函数性质的综合应用,考查了函数单调性与奇偶性的判断与应用,函数零点定义的理解与应用,考查了逻辑推理能力,属于中档题.
     

    15.【答案】 

    【解析】

    【分析】

    本题考查平面向量基本定理的应用,涉及向量的综合应用,属于较难题.
    根据题意,长APBPCP,交对边于DEF,由平面向量基本定理可得,进而可得,求出的值,由此分析可得AEPF四点共圆,计算可得答案.

    【解答】

    解:
    根据题意,延长APBPCP,交对边于DEF

    又由
    变形可得
    则有,即,则
    同理可得:,即
    在等腰直角三角形ABC中,,则有
    则有
    延长CF至点G,使得,则


    ,则
    AEPF四点共圆,则

    故答案为

      

    16.【答案】解:因为
    所以,由正弦定理可得
    所以
    因为
    所以
    可得,可得
    所以 

    【解析】利用余弦定理,正弦定理,两角和的正弦公式化简已知等式,结合,即可求解的值;
    利用同角三角函数基本关系式可求,利用二倍角公式可求的值,进而根据两角和的正弦公式即可求解的值.
    本题主要考查了余弦定理,正弦定理,两角和的正弦公式,同角三角函数基本关系式,二倍角公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.
     

    17.【答案】解:连接DB,如图,

    四边形ABCD是直角梯形,且

    是直角三角形,
    ABC
    是平面ABC与平面PBC所成角的平面角,
    中,
    平面ABC与平面PBC所成角的大小为
    平面ABCDDA平面ABCD

    ,即,即DPDADC两两垂直,
    D为坐标原点,DAx轴,DCy轴,DPz轴,建立空间直角坐标系,


    设存在点在线段EF上,使得BQ与平面BCP所成角的大小为
    则存在实数,使得,即
    设平面BCP的法向量为
     ,取,得
    BQ与平面BCP所成角的大小为
    ,即
    整理得,由,解得
    此时点Q与点E重合,
    ,则
    综上所述:在线段EF上存在点Q与点E重合,使得BQ与平面BCP所成角的大小为
    FQ的长度为 

    【解析】连接DB,推导出,从而是平面ABC与平面PBC所成角的平面角,由此能求出平面ABC与平面PBC所成角的大小.
    推导出,以D为坐标原点,DAx轴,DCy轴,DPz轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出结果.
    本题考查二面角的求法,考查满足线面角的线段长的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
     

    18.【答案】解:的首项为,公差为d,依题意,有
    解得
    所以




    及二次函数单调性可知,n的最大值为 

    【解析】根据等差数列的通项公式即可得到有,解得即可,
    根据裂项求和和数列的函数特征,即可求出n的最大值.
    本题考查了等差数列的通项公式和裂项求和和数列的函数特征,即二次函数的性质,考查了运算能力和转化能力,属于中档题
     

    19.【答案】解:抛物线D焦点为,即
    由题意可知:,①
    ,②
    整理得
    所以椭圆的标准方程为
    证明:则到直线l的距离为到直线l的距离为
    ,即,整理得,或舍去,①
    联立,整理得
    ,由①可得
    所以
    直线l与椭圆C相切. 

    【解析】根据抛物线的焦点坐标,求得c,根据椭圆的通径公式,即可求得ab的值,即可求得椭圆的标准方程;
    根据中的椭圆方程,求得两个焦点,利用点到直线的距离公式求得mn的关系,再将直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理即可判断,即可证明直线l与椭圆C相切.
    本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理及点到直线的距离公式的应用,考查计算能力,属于中档题.
     

    20.【答案】解:证明:令


    可得:函数上单调递增,

    因此存在唯一,使得,即
    函数上单调递减,在上单调递增;
    函数处取得极小值即最小值,

    因此
    解:令

    设函数
    时,
    可得,函数上单调递增,
    ,满足条件;
    时,
    上单调递增,

    时,,此时函数上单调递增,
    ,满足条件;
    时,存在,使得
    因此函数上单调递减,,不满足条件舍去
    综上所述,a的求值范围是 

    【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值,不等式恒成立问题,零点存在定理,考查等价转化方法、分类讨论方法,推理能力与计算能力,属于较难题.
    ,判断与零的大小关系即可得到的单调区间,进而求解;
    ,令,对a分类讨论,利用导数与函数单调性的关系即可得出.
     

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