2021-2022学年天津市西青区高三（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年天津市西青区高三（上）期末数学试卷

1.     已知全集，集合，集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     设，则“”是“直线与直线平行”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.     函数在的图象大致为(    )

A.
B.
C.
D.

4.     在黄陵中学举行的数学知识竞赛中，将高二两个班参赛的学生成绩得分均为整数进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是，，，，第二小组的频数是这两个班参赛的学生人数是(    )

A. 80 B. 90 C. 100 D. 120

5.     已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为.(    )

A.  B.  C.  D.

6.     已知双曲线的一条渐近线方程，且过点，则双曲线的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

7.     在上随机取一根实数m，能使函数在R上有零点的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.     将函数的图象向右平移个单位后，得到的图象，则函数的单调增区间为(    )

A.  B.
C.  D.

9.     定义在R上的函数其中，且，对于任意都有成立，则实数a的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 设，其中i为虚数单位，则z的虚部等于__________.
11. 的展开式中常数项是______ .
12. 若集合，，则集合B的所有子集的个数是______.
13. 已知直线l经过点，且被圆截得的弦长为8，则直线l的方程是______.
14. 已知函数有且只有一个零点，若方程无解，则实数k的取值范围为______.
15. 在等腰直角三角形ABC中，，点P在三角形内，满足，则__________.
16. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
    求的值；
    求的值．
17. 如图，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，，F为PA中点，，，四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点
    求平面ABC与平面PBC所成角的大小；
    在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为？若存在，请求出FQ的长；若不存在，请说明理由．

18. 已知是等差数列，且，；数列满足：
    求数列的通项公式；
    设数列的前n项和为，若，求n的最大值．
19. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，焦点为的抛物线D：的准线被椭圆C截得的弦长为
    求椭圆C的标准方程；
    若点，到直线l：的距离之积为1，求证：直线l与椭圆C相切．
20. 已知
    证明：；
    若时，恒成立，求实数a的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：，，，
，
故选：
进行补集、交集的运算即可．
本题考查了列举法的定义，补集、交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：直线与直线平行，直线斜率都存在且相等，
，解得：，
“”是““的充分不必要条件，
故选：
先利用两直线平行求出a的值，再结合充分必要条件的定义，从而求出答案．
本题考查了充分必要条件，考查直线位置关系，是一道基础题．
 

3.【答案】D 

【解析】解：，
函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除AB；
又，故排除
故选：
利用函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解．
本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题．
 

4.【答案】C 

【解析】解：由由频率分布直方图的面积和为1，
已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是，，，，
所以第二小组的频率为，
因为第二小组的频数是40，
所以这两个班参赛的学生人数是人
故选：
由频率分布直方图的面积和为1，求得第二小组的学生的频率，进而求得两个班总人数．
本题考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
 

5.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查球的体积和表面积，球的内接体问题，考查学生空间想象能力，属于基础题．
由于直三棱柱的底面为直角三角形，我们可以把直三棱柱补成直四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的半径后，代入球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积．

【解答】

解：由题意，三棱柱为直三棱柱，底面为直角三角形，把直三棱柱补成直四棱柱，

则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为
则直三棱柱外接球的表面积是
故选：
 

6.【答案】A 

【解析】解：由题意，得，解得
双曲线的方程为
故选：
由题意可得关于a，b的方程组，求解可得a与b的值，则双曲线的方程可求．
本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线方程的求法，是基础题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：若函数在R上有零点，
则，解得或，
即在上使函数有零点的范围为
由几何概型可得函数有零点的概率
故选：
首先明确函数有零点的x的范围，利用几何概型的公式解答即可．
本题考查了几何概型的概率求法；正确求出满足条件的x 范围，利用几何概型的公式求解．
 

8.【答案】A 

【解析】解：函数的图象向右平移个单位后，
得到：，
所以：
所以：
令：，
解得：，
所以：函数的单调递增区间为：，
故选：
首先根据函数的变换求出函数的关系式，进一步利用整体思想求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的确定，函数的图象的平移变换问题．
 

9.【答案】B 

【解析】解：任意都有成立，
即为在R上递减．
当时，递减，
可得，解得；
当时，递减，
可得；
由R上递减，可得，
解得
综上可得，
故选：
由题意可得在R上递减．运用一次函数和对数函数的单调性，结合的情况，解不等式即可得到所求范围．
本题考查分段函数的单调性的判断和运用，考查单调性的定义的运用，注意分界点的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用复数的运算法则即可得出．

【解答】

解：，则z的虚部为
故答案为
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二项式定理、方程思想、分类讨论思想，考查数学运算能力，属于中档题．
把看作一项，写出通项，可解决此题．

【解答】

解：的展开式的通项公式为，，1，2，3，
对于，它的通项公式为，，1，2，…
令，可得，；或，
故展开式中常数项为，
故答案为：

12.【答案】16 

【解析】解：，
的所有子集的个数是
故答案为：
可求出集合B，然后根据子集个数的计算公式即可求出B的子集个数．
本题考查了集合的列举法和描述法的定义，集合子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
 

13.【答案】和 

【解析】解：圆心，半径，弦长，
设弦心距是d，
则由勾股定理，

，
若l斜率不存在，直线是，
圆心和它的距离是3，符合题意，
若l斜率存在，设直线方程，
即，
则，
即，
解得，所以所求直线方程为和，
故答案为：和
求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦心距，通过直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离求解，求出直线的方程即可．
本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查圆心到直线的距离公式的应用，注意直线的斜率不存在的情况，容易疏忽，产生错误．
 

14.【答案】 

【解析】解：函数的定义域为R，
又，
所以为偶函数，
又函数有且只有一个零点，
所以，
解得，
故，
所以，
因为在上为单调递增函数，且在上为单调递增函数，
所以函数在上为单调递增函数，
又为偶函数，
所以，
因为方程无解，
所以，
故实数k的取值范围为
故答案为：
先判断出函数为偶函数，结合题意得到，得到a的值，从而求出，再判断函数的单调性，确定的取值范围，即可得到k的范围．
本题考查了函数与方程的综合应用，函数性质的综合应用，考查了函数单调性与奇偶性的判断与应用，函数零点定义的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量基本定理的应用，涉及向量的综合应用，属于较难题．
根据题意，长AP、BP、CP，交对边于D、E、F，由平面向量基本定理可得且，进而可得，求出的值，由此分析可得A、E、P、F四点共圆，计算可得答案．

【解答】

解：
根据题意，延长AP、BP、CP，交对边于D、E、F，
则，，
又由，
变形可得，
则有，即，则，
同理可得：，，即，
在等腰直角三角形ABC中，，，则有，
则有，
延长CF至点G，使得，则，
记，，
则，，
则，则，
故A、E、P、F四点共圆，则，
则；
故答案为

16.【答案】解：因为，
所以，由正弦定理可得，
所以，
因为，
所以；
由可得，可得，，，
所以 

【解析】利用余弦定理，正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合，即可求解的值；
由利用同角三角函数基本关系式可求，利用二倍角公式可求，的值，进而根据两角和的正弦公式即可求解的值．
本题主要考查了余弦定理，正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

17.【答案】解：连接DB，如图，

四边形ABCD是直角梯形，且，
，，
是直角三角形，，
面ABC，，，
是平面ABC与平面PBC所成角的平面角，
在中，，，
平面ABC与平面PBC所成角的大小为
平面ABCD，DA，平面ABCD，
，，
，即，即DP，DA，DC两两垂直，
以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，
设存在点在线段EF上，使得BQ与平面BCP所成角的大小为，
则存在实数，使得，即，
设平面BCP的法向量为，，，
 则，取，得，
，BQ与平面BCP所成角的大小为，
，即，
整理得，由，解得，
此时点Q与点E重合，
，则，
综上所述：在线段EF上存在点Q与点E重合，使得BQ与平面BCP所成角的大小为，
FQ的长度为 

【解析】连接DB，推导出，，从而是平面ABC与平面PBC所成角的平面角，由此能求出平面ABC与平面PBC所成角的大小．
推导出，，，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
本题考查二面角的求法，考查满足线面角的线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

18.【答案】解：设的首项为，公差为d，依题意，有，
解得，
所以；
，
，
由，
设，
由，及二次函数单调性可知，n的最大值为 

【解析】根据等差数列的通项公式即可得到有，解得即可，
根据裂项求和和数列的函数特征，即可求出n的最大值．
本题考查了等差数列的通项公式和裂项求和和数列的函数特征，即二次函数的性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题
 

19.【答案】解：抛物线D：焦点为，即，
由题意可知：，①
，②
整理得，，
所以椭圆的标准方程为；
证明：则到直线l的距离为，到直线l的距离为，
由，即，整理得，或舍去，①
联立，整理得，
，由①可得
所以，
直线l与椭圆C相切． 

【解析】根据抛物线的焦点坐标，求得c，根据椭圆的通径公式，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的标准方程；
根据中的椭圆方程，求得两个焦点，利用点到直线的距离公式求得m和n的关系，再将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理即可判断，即可证明直线l与椭圆C相切．
本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：证明：令，
，
令，，
可得：函数在上单调递增，
又，
因此存在唯一，使得，即，
函数在上单调递减，在上单调递增；
函数在处取得极小值即最小值，
，
因此
解：令，，
，
设函数，，
①时，，
可得，函数在上单调递增，
，满足条件;
②时，，
故在上单调递增，
；
当时，，此时函数在上单调递增，
，满足条件；
当时，存在，使得，
因此函数在上单调递减，，不满足条件舍去；
综上所述，a的求值范围是 

【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，不等式恒成立问题，零点存在定理，考查等价转化方法、分类讨论方法，推理能力与计算能力，属于较难题．
令，，，判断与零的大小关系即可得到的单调区间，进而求解；
令，，，，令，对a分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可得出．