2021-2022学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷

1.     若全集，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     设，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件

3.     函数的图象可能是(    )

A.  B.  C.  D.

4.     对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示．根据此图可知这批样本中寿命不低于300h的电子元件的个数为(    )

A. 800 B. 750 C. 700 D. 650

5.     设，，，则a，b，c的大小关系为.(    )

A.  B.  C.  D.

6.     设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且，，三棱锥的体积为18，则球O的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.     设函数的图象关于直线对称，它的最小正周期为，则下列结论正确的是(    )

A. 的图象过点 B. 在上是减函数
C. 的一个对称中心是 D. 的一个对称中心是

8.     已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线离心率为(    )

A.  B.  C. 2 D.

9.     函数的所有零点之和为(    )

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

10. 设i为虚数单位，计算__________.
11. 二项式的展开式中的常数项为______.
12. 若直线l：与圆交于A，B两点，则__________.
13. 对某实验项目进行测试，测试方法：①共进行3轮测试；②每轮测试2次，若至少合格1次，则本轮通过，否则不通过．已知测试1次合格的概率为，如果各次测试合格与否互不影响，则在一轮测试中，通过的概率为__________；在3轮测试中，通过的次数X的期望是__________.
14. 已知，，则的最小值为__________.
15. 在四边形ABCD中，，，，则__________；若E，F分别是边BC，AB上的点，且满足，则当时，的取值范围是__________.
16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，
    求角B；
    求a，c；
    求的值．
17. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，，E为PC上一点，且
    求证：平面PBC；
    求证：平面BDE；
    求平面AEB与平面AED的夹角的大小．

18. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，点P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为
    求椭圆C的方程；
    设斜率不为零的直线与椭圆C的另一个交点为
    求的取值范围；
    若PQ的垂直平分线交y轴于点，求直线PQ的斜率．
19. 在等比数列中，已知，且，，依次是等差数列的第2项，第5项，第8项．
    求数列和的通项公式；
    设数列的前n项和为
    求；
    求证：
20. 已知函数，
    当时，求函数的单调区间；
    若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值；
    是否存在一条直线与函数的图象相切于两个不同的点？并说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了集合的运算关系，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
先求出全集的元素，然后再求出集合A的补集，再根据交集的定义即可求解．

【解答】

解：由已知可得全集，
所以，
则，
故选：

2.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查充要条件的判断，转化为集合与集合的关系是解决问题的关键，属于基础题．
解不等式，可得或，由集合的关系可得答案．

【解答】

解：由，可解得或，
由或，不能推出，故“”是“”的不充分条件，
由，不能够推出或，故“”是“”的不必要条件，
综上，“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：

3.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查函数的性质和赋值法的应用，属于基础题．
直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果．

【解答】

解：根据函数的解析式，，
得到函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A和
当时，函数的值为0，故排除
故选

4.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了统计概率，学生的数学运算能力，属于基础题．
利用频率分布直方图即可计算出样本中不少于300小时的频率，即可解出结果．

【解答】

解：样本中不少于300小时的频率为：，
元件的个数为：，
故选：

5.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查三个数的大小的求法，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．属于基础题.
利用对数函数和指数函数的性质求解．

【解答】

解：，且，，即，
又，即，

故选：

6.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查锥体外接球的相关计算，球的体积公式等知识，属于基础题．依题意可知球的直径等于以PA，PB，PC长为棱长的长方体的对角线长，根据三棱锥的体积求出PC，从而求出球的半径，最后利用球的体积公式计算可得其体积．

【解答】

解：，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，
则球的直径等于以PA，PB，PC长为棱长的长方体的对角线长，
因为，，三棱锥的体积为18，
所以，
即，
所以，所以，所以，
故球O的体积，
故选：

7.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查由函数的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性和周期性，单调性，属于中档题.
根据周期求出，根据函数图象关于直线对称求出，可得函数的解析式，根据函数的解析式判断各个选项是否正确．

【解答】

解：由题意，，得
又的图象关于直线对称，
所以，，则，，
又，所以，
所以，，故A错误;
当时，，
在区间[，]上不单调，故B错误;
，则点是函数的图象的一个对称中心，故C正确;
，所以D错误.
故选

8.【答案】B 

【解析】解：设直线方程为，联立双曲线方程可得：
，
则，，
可得，
以线段PQ为直径的圆过右焦点F，可得，
即有为等边三角形，可得，
，
化为，
解得，
由，可得，
则
故选：
设直线方程为，联立双曲线方程，可得Q的坐标，由题意，即有为等边三角形，可得，再由a，b，c和e的关系式，计算可得所求值．
本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查直径所对的圆周角为直角，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
 

9.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合，属于中档题．
由题意画出函数图象，再判断零点个数，再求和即可．

【解答】

解：令可得，
作出和的函数图象如图所示：

由图象可知两函数图象有8个交点，
又两函数图象均关于直线对称，
的8个零点之和为
故选：

10.【答案】 

【解析】

【分析】

复数的分母实数化，化简为的形式即可．
本题考查复数的基本运算，复数的分母实数化是解题的关键．

【解答】

解：
故答案为：

11.【答案】112 

【解析】解：展开式的通项为，
令得，
所以展开式中的常数项为
故答案为：
利用二项展开式的通项公式求出二项式展开式的通项，令x的指数为0求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项．
本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了直线与圆相交性质的应用，点到直线的距离公式的应用，属于基础题.
由直线与圆相交的性质可知，，要求AB，只要求解圆心到直线的距离d即可．

【解答】

解：由圆得，
可得，圆心，半径，
圆心到直线的距离，
则由圆的性质可得，，
即
故答案为：
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，以及二项分布的期望公式，即可求解．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，以及二项分布的期望公式，属于基础题．

【解答】

解：由题意可得，一轮测试2次都不合格的概率，
故在一轮测试中，通过的概率为，
在3轮测试中，通过的次数X的所有可能取值为0，1，2，3，
各次测试合格与否互不影响，通过的次数X服从二项分布，即

故答案为：；

14.【答案】8 

【解析】

【分析】

先利用完全平方公式对已知式子进行变形，然后结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题中要注意等号成立条件的检验，属于中档题．

【解答】

解：，，
则，
根据基本不等式可得，，
当且仅当，即时取等号，
，当且仅当，即时取等号，
同理，，当时取等号，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值
 

15.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的数量积运算，考查平面向量的运算法则，是中档题．
由已知可得四边形ABCD为等腰梯形，，，再利用平面向量的运算法则求出，求出，，的值，结合平面向量的运算法则求得，即可求出的范围．

【解答】

解：在四边形ABCD中，，，，
四边形ABCD为等腰梯形，，，
，，

，，，
，，，
，，
，
，，
解得或，
，，
的取值范围是，
故答案为：，

16.【答案】解：由于，
利用正弦定理：，
由于，所以，所以
所以，由于，
所以
利用余弦定理，且，
整理得，
解得，
故；
利用正弦定理，整理得，
因为，所以，
所以，
所以；
，

 

【解析】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，三角函数的倍角公式，属于中档题．
直接利用正弦定理和三角函数的值的应用求出结果；
利用余弦定理的应用求出结果；
利用正弦定理和三角函数关系式中倍角公式的应用求出结果．
 

17.【答案】证明：因为底面ABCD，，所以AB、AD、AP两两垂直，
建系如图，，，，，，
，，，
因为，，所以平面
证明：因为，
，，，
令，
因为，，所以是平面BDE的法向量，
因为，又平面BDE，所以平面
解：因为，，，
令，，
因为，，所以是平面ABE的法向量，
因为，，所以是平面ADE的法向量，
设平面AEB与平面AED的夹角的大小为，
，所以 

【解析】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了两平面夹角的计算问题，属于中档题．
只要证明，即可；
只要证明平面BDE的法向量与的数量积为零即可；
用向量数量积计算两平面夹角的余弦值．
 

18.【答案】解：由题意可得：，，又，
联立解得：，，，
椭圆C的方程为：
由知，而直线不垂直于y轴，
设直线PQ的方程为，
由，消去x，并整理得：，
设，，则，，
，
，，
的取值范围为；
设线段PQ的中点为，则，，
，
的垂直平分线交y轴于点，则，
否则，M与重合，此时点T与原点重合，
，，
，，
整理得，解得，
直线PQ的斜率为或 

【解析】本题考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
设出椭圆C的半焦距，根据离心率及三角形面积列出方程组求解即得．
设直线的方程，与椭圆C的方程联立，求出弦PQ长，由此能求出的取值范围．
求出PQ中点M的坐标，借助向量垂直列式计算，能求出直线PQ的斜率．
 

19.【答案】解：设等比数列的公比为q，
而等差数列的第2项，第5项，第8项成等差数列，则
，即，
解得，
又因为，所以，
显然有，，
则等差数列公差，
所以，
所以数列和的通项公式分别是，
由得，……
……

由得，，
所以…
 

【解析】本题考查等差数列、等比数列、分组求和、裂项相消法求和，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
设出等比数列的公比，根据已知条件列出方程求出此公比及等差数列的公差，再列式即可作答．
由的结论结合分组求和方法即可计算；
利用和的结论，借助裂项相消法求出即可作答．
 

20.【答案】解：时，，，
令，解得：，令，解得：，
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
恒成立，
即恒成立，
令，
，
时，，，在上单调递增，
，
关于x的不等式不能恒成立，
时，，令，得，
时，，时，，
故函数在递增，在递减，
故函数的最大值是，
令，则在递减，
，，
时，，故整数a的最小值是2；
假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点，，
不妨，则处切线的方程为：，
处切线的方程为：，
，为同一直线，，
整理得，
消去得，，①
令，由与，得，
记，则，
为上的单调减函数，则，
从而①式不可能成立，
假设不成立，从而不存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点． 

【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想方法，属于拔高题．
代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
问题转化为恒成立，令，求出函数的导数，通过讨论a的范围，根据函数的单调性求出a的最小值即可；
假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点，，不妨，分别求出处切线的方程，处切线的方程，得到，①利用导数证明该式不可能成立，说明假设不成立，从而不存在一条直线与函数的图象有两个不同的点．