2023-2024学年天津市河西区高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市河西区高二（上）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0,5)，F2(0,−5)，P是双曲线上一点且满足||PF1|−|PF2||=6，则双曲线的标准方程为( )
A. x216−y29=1B. x29−y216=1C. y216−x29=1D. y29−x216=1
2.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2−y23=1的渐近线的距离是( )
A. 1B. 12C. 3D. 32
3.等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn=( )
A. n(n+1)B. n(n−1)C. n(n+1)2D. n(n−1)2
4.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )
A. 在(−2,1)上y=f(x)单调递增B. 在(1,3)上y=f(x)单调递减
C. 当x=4时，y=f(x)取极大值D. 当x=2时，y=f(x)取极大值
5.过双曲线x23−y26=1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，|AB|=( )
A. 165 3B. 16 3C. 165D. 16
6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列{1anan+1}的前100项和为( )
A. 100101B. 99101C. 99100D. 101100
7.已知直线l1：4x−3y+6=0和直线l2：x=−1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A. 2B. 3C. 115D. 3716
8.如图给出一个“直角三角形数阵”满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，则第8行第3列的数为( )
A. 18
B. 14
C. 12
D. 1
9.若函数f(x)=2x2−lnx在其定义域内的一个子区间(k−1,k+1)内是单调函数，则实数k的取值范围是( )
A. [1,32)B. [32,+∞)C. [1,2)D. [32,2)
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
10.写出数列−1，12，−13，14，−15，…，的一个通项公式______ ．
11.函数f(x)=x+2csx,x∈[0,π2]的最大值为______．
12.数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+1，则{an}的通项公式为______ ．
13.已知方程x22+λ−y21+λ=1表示双曲线，则λ的取值范围为 ．
14.已知函数f(x)=mx2+lnx−2x在定义域内是增函数，则实数m范围为______ ．
三、解答题：本题共6小题，共53分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题4分)
如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽______ 米．
16.(本小题9分)
求下列函数的导数：
(Ⅰ)y=x3ex；
(Ⅱ)y=2sinxx2；
(Ⅲ)y=e−0.05x+1．
17.(本小题10分)
已知双曲线的焦点在x轴上，实半轴的长为2 5且经过点A(−5,2)．
(Ⅰ)求适合条件的双曲线的标准方程；
(Ⅱ)求双曲线的顶点坐标、渐近线方程、离心率．
18.(本小题10分)
成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5．
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式；
(Ⅱ)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn+54}是等比数列．
19.(本小题10分)
已知函数f(x)=x4+ax−lnx−32，其中a∈R，且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=12x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
20.(本小题10分)
已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4−b4=10．
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)记Tn=a1b1+a2b2+…+anbn，n∈N*，证明：Tn−8=an−1bn+1(n∈N*,n≥2)．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据题意可得c=5，2a=6，∴a=3，
∴b=4，又焦点在y轴上，
∴双曲线的标准方程为y29−x216=1，
故选：D．
根据双曲线的几何性质即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，属基础题．
2.【答案】D
【解析】解：抛物线y2=4x的焦点(1,0)到双曲线x2−y23=1的渐近线：y=± 3x的距离为：d= 3 1+3= 32．
故选：D．
求出抛物线的焦点坐标，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．
本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查等比数列的性质和等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，属基础题．
由题意可得a42=(a4−4)(a4+8)，解得a4可得a1，代入求和公式可得．
【解答】解：由题意可得a42=a2⋅a8，设公差为d，且d=2，
即a42=(a4−4)(a4+8)，
解得a4=8，
∴a1=a4−3×2=2，
∴Sn=na1+n(n−1)2×d
=2n+n(n−1)2×2=n(n+1)，
故选A．
4.【答案】D
【解析】解：对于A：在(−2,−1)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(−1,1)上f′(x)>0，f(x)单调递增，故A错误；
对于B：在(1,2)上，f′(x)>0，f(x)是增函数，
在(2,3)上f′(x)<0，f(x)单调递减，故B错误；
对于C：在(2,4)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(4,5)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=4时，y=f(x)取得极小值，故C错误；
对于D：在(−1,2)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
在(2,4)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
故当x=2时，f(x)取极大值，故D正确．
故选：D．
根据已知中函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象，分析函数的单调性和极值，进而可得答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查直线与双曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
确定直线AB的方程，代入双曲线方程，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长．
【解答】
解：由双曲线的标准方程可得F2(3,0)，
则直线AB的方程为y= 33(x−3)①，
将其代入双曲线方程消去y得，5x2+6x−27=0，
设Ax1,y1,Bx2,y2，
可得x1=−3，x2=95．
将x1，x2代入①，得y1=−2 3，y2=−2 35，
故|AB|= (95+3)2+(−2 35+2 3)2=16 35．
故选：A．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，及数列求和的裂项求和方法的应用，属于基础题．
由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求a1，d，进而可求an，代入可得1anan+1=1n(n+1)=1n−1n+1，裂项可求和．
【解答】
解：设等差数列的公差为d，
由题意可得，a1+4d=55a1+10d=15,
解方程可得d=1，a1=1，
由等差数列的通项公式可得，an=a1+(n−1)d=1+(n−1)×1=n，
∴1anan+1=1n(n+1)=1n−1n+1，
S100=1−12+12−13+…+1100−1101
=1−1101=100101．
故选A．
7.【答案】A
【解析】解：如图，
抛物线y2=4x的焦点F(1,0)，直线l2：x=−1为抛物线的准线，
则抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值即为F到直线l1的距离．
d=|4×1−3×0+6| 42+(−3)2=2．
故选：A．
由已知结合抛物线的定义，把问题转化为F到直线l1的距离求解．
本题考查抛物线中的最值问题，考查化归与转化思想，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由题意，第1列是首项为14，公差为14的等差数列，
所以第8行第1列为14+7×14=2，
又因为第8行是公比为12的等比数列，
所以第8行第3列的数为2×(12)2=12．
故选：C．
观察可得第一列的数为等差数列，第八行的数为等比数列，分别根据等差数列和等比数列的通项公式可得答案．
本题考查等差数列和等比数列的应用，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】解：∵f(x)定义域为(0,+∞)，
∴f′(x)=4x−1x=(2x+1)(2x−1)x，
令f′(x)>0，解得：x>12
令f′(x)<0，解得：0∴f(x)在(0,12)递减，在(12,+∞)递增，
∵f(x)在(k−1,k+1)内是单调函数，
∴k−1≥12，解得，k≥32，
故选：B．
先确定函数的定义域然后求导数fˊ(x)，解关于导函数的不等式，求出f(x)的单调区间，根据子区间(k−1,k+1)是单调函数，建立不等关系，解之即可．
本题主要考查了对数函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．属于基础题．
10.【答案】an=(−1)n1n
【解析】解：因为数列−1，12，−13，14，−15，…，
所以−11，12，−13，14，−15，…，
即an=(−1)n1n．
故答案为：an=(−1)n1n．
根据数列的变化规律得解．
本题考查数列的通项公式，属于基础题．
11.【答案】π6+ 3
【解析】解：函数f(x)=x+2csx,x∈[0,π2]的导数为f′(x)=1−2sinx，
由1−2sinx=0，解得x=π6∈[0,π2]，
当x∈[0,π6]时，f′(x)>0，f(x)递增；
当x∈[π6,π2]时，f′(x)<0，f(x)递减．
可得f(x)在x=π6处取得极大值，且为最大值π6+ 3．
故答案为：π6+ 3．
求出f(x)的导数，令导数为0，可得极值点，求出单调区间，可得极大值，且为最大值．
本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于基础题．
12.【答案】an=4,n=12n+1,n≥2
【解析】解：由Sn=n2+2n+1，得a1=S1=4；
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2+2n+1−[(n−1)2+2(n−1)+1]=2n+1．
验证a1=4不适合上式，
∴an=4,n=12n+1,n≥2．
故答案为：an=4,n=12n+1,n≥2．
在Sn=n2+2n+1中，取n=1求得首项，再由Sn−Sn−1求得n≥2时的an，验证首项得答案．
本题考查数列递推式，训练了利用数列的前n项和求数列的通项公式，是基础题．
13.【答案】(−∞,−2)∪(−1,+∞)
【解析】【分析】
本题主要考查了双曲线的标准方程．解题时要考虑焦点在x轴和y轴两种情况，属于基础题．
根据双曲线的标准方程，只需2+λ与1+λ同号即可，即解不等式(2+λ)(1+λ)>0，即可求解．
【解答】
解：由题意知(2+λ)(1+λ)>0，
解得λ>−1或λ<−2．
即λ的范围是λ>−1或λ<−2．
故答案为：(−∞,−2)∪(−1,+∞)
14.【答案】m ≥ 12
【解析】解：求导函数，可得f′(x)=2mx+1x−2，x>0，
函数f(x)=mx2+lnx−2x在定义域内是增函数，所以f′(x)≥0成立，
所以2mx+1x−2≥0，x>0时恒成立，
所以−2m≤(1x−1)2−1，
所以−2m≤−1
所以m≥12时，函数f(x)在定义域内是增函数．
故答案为m ≥ 12．
求出f′(x)=2mx+1x−2，因为函数在定义域内是增函数，即要说明f′(x)大于等于0，分离参数求最值，即可得到m的范围．
考查学生利用导数研究函数单调性的能力，会找函数单调时自变量的取值范围，属于基础题
15.【答案】2 6
【解析】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，
将A(2,−2)代入x2=my，
得m=−2
∴x2=−2y，代入B(x0,−3)得x0= 6，
故水面宽为2 6m.
故答案为：2 6．
先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=−3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．
本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．
16.【答案】解：(Ⅰ)y′=3x2ex+x3ex=x2ex(3+x)；
(Ⅱ)y′=2x2csx−4xsinxx4=2xcsx−4sinxx3；
(Ⅲ)y′=−0.05e−0.05x+1．
【解析】(Ⅰ)根据基本初等函数和积的导数的求导公式求导即可；
(Ⅱ)根据基本初等函数和商的导数的求导公式求导即可；
(Ⅲ)根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导即可．
本题考查了基本初等函数、积的导数、商的导数和复合函数的求导公式，是基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)由于双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1；
由题意得a=2 5，且过点M(−5,2)，
∴2520−4b2=1，
解得b2=4，
所求双曲线的标准方程为：x220−y24=1．
(Ⅱ)由双曲线的方程x220−y24=1，可得a=2 5，b=2，c= 20+4=2 6．
故双曲线的顶点坐标为(2 5,0)，(−2 5,0)；渐近线方程为y=± 55x；离心率e=ca= 305．
【解析】(Ⅰ)由题意设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1，求出a、b的值即可．
(Ⅱ)根据双曲线的方程即可求解结论．
本题主要考查双曲线的标准方程以及双曲线的性质，属于基础题．
18.【答案】解：(I)设成等差数列的三个正数分别为a−d，a，a+d
依题意，得a−d+a+a+d=15，解得a=5
所以{bn}中的依次为7−d，10，18+d
依题意，有(7−d)(18+d)=100，解得d=2或d=−13(舍去)
故{bn}的第3项为5，公比为2
由b3=b1⋅22，即5=4b1，解得b1=54
所以{bn}是以54首项，2为公比的等比数列，通项公式为bn=54⋅2n−1
(II)数列{bn}的前和Sn=54(1−2n)1− 2=54⋅2n−54
即Sn+54=5⋅2n4，所以S1+54=52，Sn+1+54Sn+54=5⋅2n−15⋅2n−2=2
因此{Sn+54}是以52为首项，公比为2的等比数列
【解析】(I)利用成等差数列的三个正数的和等于15可设三个数分别为5−d，5，5+d，代入等比数列中可求d，进一步可求数列{bn}的通项公式
(II)根据(I)及等比数列的前n项和公式可求Sn，要证数列{Sn+54}是等比数列⇔Sn+1+54Sn+54=q≠0即可．
本题主要考查了等差数列、等比数列及前n和公式等基础知识，同时考查基本运算能力
19.【答案】解：(1)
∵f(x)=x4+ax−lnx−32，
∴f′(x)=14−ax2−1x，
∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=12x.
∴f′(1)=14−a−1=−2，
解得：a=54．
(2)由(1)知：f(x)=x4+54x−lnx−32，
f′(x)=14−54x2−1x=x2−4x−54x2(x>0)，
令f′(x)=0，
解得x=5，或x=−1(舍)，
∵当x∈(0,5)时，f′(x)<0，
当x∈(5,+∞)时，f′(x)>0，
故函数f(x)的单调递增区间为(5,+∞)；
单调递减区间为(0,5)；
当x=5时，函数取极小值−ln5．
【解析】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是导数的综合应用，难度中档．
(1)由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=12x可得f′(1)=−2，可求出a的值；
(2)根据(1)可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f(x)的单调区间与极值．
20.【答案】解：(1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，
由a4+b4=27，S4−b4=10，得方程组2+3d+2q3=278+6d−2q3=10，
解得d=3q=2，
所以：an=3n−1，bn=2n．
(2)证明：由第一问得：Tn=2×2+5×22+8×23+…+(3n−1)×2n； ①；
2Tn=2×22+5×23+…+(3n−4)×2n+(3n−1)×2n+1，②．
由①−②得，−Tn=2×2+3×22+3×23+…+3×2n−(3n−1)×2n+1
=6×(1−2n)1−2−(3n−1)×2n+1−2
=−(3n−4)×2n+1−8．
即Tn−8=(3n−4)×2n+1．
而当n≥2时，an−1bn+1=(3n−4)×2n+1．
∴Tn−8=an−1bn+1(n∈N*,n≥2)．
【解析】(1)直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．
(2)先借助于错位相减法求出Tn的表达式；再代入所要证明的结论的两边，即可得到结论成立．
本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题．解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识，基本方法．并考察计算能力．