2022-2023学年天津市河西区高三（上）期中考试数学试卷（含解析）

2022-2023学年天津市河西区高三（上）期中考试数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设，，则“”是“且”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.  函数(    )

A.  B.
C.  D.

4.  已知点，，，，则向量在方向上的投影向量的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  设，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数

A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增
C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增

7.  已知等比数列满足，且，则当时，(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数的最小正周期为，将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则的图象(    )

A. 关于点对称 B. 关于直线对称
C. 关于点对称 D. 关于直线对称

9.  设，函数，若在区间内恰有个零点，则的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

10.  设，，为虚数单位，则的值为          ．

11.  含有个实数的集合既可表示成，又可表示成，则_____．

12.  数列的前项和为，，则通项公式          ．

13.  函数在区间上的最大值是_______．

14.  已知，，且，则的最小值为          ．

15.  如图，在矩形中，，，点是的中点，点在边上，若，则的值是          ．
 

三、解答题（本大题共5小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分

计算下列各式

式中字母均为正数；

17.  本小题分

在中，角所对的边分别为已知．

求角的大小；

求的值；

求的值．

18.  本小题分

已知函数在区间上有最大值，最小值，设．

求的值；

不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

19.  本小题分

设是首项为的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列．

求和的通项公式；

记和分别为和的前项和．证明：．

求证：

20.  本小题分

已知函数

讨论的单调性．

设，为两个不相等的正数，且，证明：

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查集合运算中的交集和补集运算，属于基础题．
分别求解出和，根据交集定义求得结果．

【解答】

解：，

故答案为．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．
根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．

【解答】

解：由不能推出且，如，，
由且能推出，
所以是且的必要而不充分条件．
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数图象的识别，对数型函数的图象，属于基础题．
注意函数的特征即可，根据函数的性质以及过点可排除错误项．

【解答】

解：函数的定义域为，且，即为偶函数，图象关于轴对称，排除，
又函数图象过点，排除，．
故答案为．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的坐标运算，投影向量的概念，向量的模长，属于基础题．
根据投影向量的定义、向量的模计算求解即可．

【解答】

解：因为，，

所以向量在方向上的投影向量为

投影向量的长度为

故选：

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用指数、对数函数的单调性比较大小，属于中档题．
利用对数函数、指数函数的单调性确定的范围，进而比较大小可得答案．

【解答】

解：因为在上单调递增，

所以，即；

因为在上单调递增，

所以，

因为在上单调递减，

所以，

所以．

故选：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正弦函数图象的平移及其单调性，属于中档题．
得出平移后的函数解析式，然后由正弦函数的性质求解即可．

【解答】

解：将函数的图象向右平移个单位长度，得，

令，，
化简可得单调递增区间为，，令，可知B正确；
令，，
化简可得单调递减区间为，，令，区间为
故选B．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了等比数列的通项公式，以及对数函数的性质的应用，属于中档题．
由题意得，从而得，结合对数运算，得到结果．

【解答】

解：等比数列， ，

当时，，当时，，

，公比，，，，

，

，

．

故选C．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查求三角函数的解析式，三角函数的对称性，周期性，平移变换，属于中档题．
由周期求出，按图象平移写出函数解析式，再由偶函数性质求出，然后根据正弦函数的性质判断．

【解答】

解：由题意，最小正周期为，
，平移得函数式为，其为偶函数，
，由于，．

，

，．

是对称中心．

故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了正弦函数和二次函数，考查了函数零点与方程的关系，需要学生掌握分类讨论的思想，且本题综合性强，属于难题．
分在区间有个零点且在区间没有零点，在区间有个零点且在区间有个零点，在区间有个零点且在区间有个零点，三种情况求出不等式组，解不等式组，综合可得答案．

【解答】

解：当在区间有个零点且在区间没有零点时，
满足，化简得，无解；
当在区间有个零点且在区间有个零点时，
满足，化简得，解得；
当在区间有个零点且在区间有个零点时，
满足，化简得，解得，
综上所述，的取值范围是，，
故选：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了复数相等的充要条件，复数的运算，属于基础题．
由复数的除法运算得到，再由复数相等即可得到，的值，从而得到所求的答案．

【解答】

解：，
所以，，
所以．
故答案为．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查集合相等，属于基础题．
根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果．

【解答】

解：因为，

由其中实数可知 ，故，则；

此时两集合分别是，

则，解得或．

当时，不满足互异性，故舍去；

当时，满足题意．

所以

故答案为：．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查数列的前项和与通项公式之间的关系，属于基础题．
由求得，再由数列的前项和求得首项，验证首项是否满足即可．

【解答】

解：当时，，

当时，，不满足上式，

则．

故答案为．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用导数求函数的最值，属于中档题．
利用导数判断函数的单调性，进而可求出最大值．

【解答】

解：，令，则，

所以时，，函数单调递增；

时，，函数单调递减；

所以函数在处取得极大值，也是最大值，时，
又当时，时，，均小于

因此，

故答案为：．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

首先分析题目已知，，且，求的最小值．等式变形为，则 根据基本不等式即可得到答案．
此题主要考查基本不等式的应用问题，题中凑基本不等式是解题的关键，有一定的技巧性，但覆盖的知识点较少，属于基础题目．

【解答】

解：已知，，且．
即：．
利用基本不等式：则，当且仅当，即，时，等号成立．
则的最小值为．
故答案为．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的运算，注意运用坐标表示，属于基础题．
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，设，运用向量的数量积的坐标表示，可得，再由向量的数量积的运算计算即可得到所求值．

【解答】

解：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则，，
设，则，
，
，
．
故答案为：．

16.【答案】解： ．

原式

．

【解析】本题考查指数式、对数式的化简，属于中档题．
根据根式与分数指数幂的互化及指数的运算法则求解；

根据对数的运算法则与性质化简求值即可．

17.【答案】解：在中，由余弦定理及，有

，又因为，所以．

在中，由正弦定理及．

可得．

由及，可得，

，

，

所以．

【解析】本题主要考查利用正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换的综合应用，属于中档题．
由余弦定理求出，即可得出角的大小；

由正弦定理即可求出答案；

求出，由二倍角公式求出，再由两角差的正弦公式即可求出．

18.【答案】解：，

当时，在上为增函数，故

当时，在上为减函数，故

．

，不等式化为，

，令，则，，
记，

．

【解析】本题考查由二次函数的最值求参，指数函数的综合问题，属于综合题．

由题意得到关于实数，的方程组，求解方程组可得；

不等式恒成立转化为，结合二次型复合函数的性质和恒成立的条件可得实数的取值范围是．

19.【答案】解：因为是首项为的等比数列且，，成等差数列，

所以，设公比为，所以，

即，解得，所以，

所以．

由可得，

，

，

得，

所以，

所以，

所以．

由知，

，

，当时，显然，当时，

．

综上：．

【解析】本题考查了等差数列与等比数列的性质，等比数列的前项和公式和利用错位相减法求数列的前项和，考查了方程思想和转化思想，属中档题．
利用等差数列的性质及得到，解方程即可；

利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可．

由知，根据，利用放缩法即可得证．

20.【答案】解：的定义域为 ，

，

由解得，

由解得，

在上单调递增，在上单调递减；

证明：由可得，

整理得：，即，

不妨设，且，

即，即证明，

由在上单调递增，在上单调递减，且，

可得，

先证明，

令，，

，

在上单调递增，

又，

，

，即，

由可知在上单调递减，

，即；

下面再证明，

不妨设 则，由可得

，化简 ，

要证，即证，即证，

即证，即证，

设，，

，

令，，

，

，

在上单调递减，

，

，

在上单调递减，

，即，

，

故．

【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，及利用导数证明不等式，属于拔高题．

求导，解不等式，即可判断的单调性；

先对左右两边同除以，化简可得，不妨设，且，，要证，即证，先证明，即证，即证，构造函数，即证明，利用导数即可证明；

再证明，不妨设 则，由可得，即证，即证，构造，可得单调递减，即可证得．