2021-2022学年天津市宝坻区大口屯高中高三（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年天津市宝坻区大口屯高中高三（上）期末数学试卷

1.     已知集合，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     设，则“”是“，”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.     已知函数的图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

4.     2021年4月23日是第26个世界读书日，某市举行以“颂读百年路，展阅新征程”为主题的读书大赛活动，以庆祝中国共产党成立100周年.比赛分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图所示，则该校获得复赛资格的人数为(    )

A. 650 B. 660 C. 680 D. 700

5.     已知，则a，b，c的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

6.     在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积是(    )

A.  B.  C.  D.

7.     已知函数，给出下列结论：
   ①；
   ②点是曲线的对称中心；
   ③函数在区间上单调递增；
   ④把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到图象．
   其中正确的结论个数有(    )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

8.     已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

9.     已知函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如复数为虚数单位为纯虚数，则实数m的值为______.
11. 的展开式中的系数是______.
12. 过点作一条直线l截圆所得弦长为，则直线l的方程是______.
13. 袋中有2个红球，2个白球共4个球，现有一个游戏：从袋中任取2个球，两个球颜色恰好相同则获奖，否则不获奖．则获奖的概率是______；有3个人参与这个游戏，则至少有2人获奖的概率是______.
14. 已知，，且，则的最小值等于______.
15. 已知菱形ABCD的边长为2，，点E、F分别在边BC，DC上，，，若，，则______.
16. 某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队每队3人进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用表示乙队的总得分．
    求的分布列和数学期望；
    求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．
17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中，，，，E为棱BC上的点，且
    求证：平面PAC；
    求二面角的余弦值；
    设Q为棱CP上的点不与C、P重合，且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值．

18. 已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为，
    求椭圆C的方程；
    设动直线l：与曲线C有且只有一个公共点P，且与直线相交于点求证：以PQ为直径的圆过定点
19. 正项等比数列的前n项和记为，，
    求数列的通项公式；
    等差数列的各项为正，且，又，，成等比数列，设，求数列的前n项和
20. 已知函数，为的导函数．
    求曲线在点处的切线方程；
    证明在区间存在唯一极小值点；
    证明在区间上有且仅有两个零点．
    

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：，，
，又，
，
故选：
直接进行集合的运算即可求解．
本题考查集合的基本运算，属基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【解答】

解：若，则或，
“”是“”的必要而不充分条件．
故选：

3.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数图象的识别和判断，属于基础题.
判断函数的奇偶性，零点及正负性，即可求解．

【解答】

解：函数的定义域为，关于原点对称，
且，
是偶函数，排除D；
由得，则，
即或，
即有两个零点，排除C；
当时，，排除
故选：

4.【答案】A 

【解析】解：由频率分布直方图可得，学生初赛成绩在分的频率为，
所以学生初赛成绩大于90分的频率为，
则该校获得复赛资格的人数为
故选：
由频率分布直方图求出学生初赛成绩在分的频率，从而求出学生初赛成绩大于90分的频率，由频率、频数、样本容量之间的关系求解即可．
本题考查了频率分布直方图的应用，解题的关键是掌握频率分布直方图中频率的求解方法，掌握频率、频数、样本容量之间的关系，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：，，

故选：
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

6.【答案】D 

【解析】解：取BC的中点为D，
由三棱锥中，，二面角的大小为，
得到和都是正三角形，
，，
是二面角的平面角，即，
设球心为O，和中心分别为E，F，
则平面ABC，平面SBC，
，，
外接球半径，
外接球的表面积为
故选：
取BC的中点为D，推导出和都是正三角形，从而，，是二面角的平面角，即，设球心为O，和中心分别为E，F，则平面ABC，平面SBC，推导出外接球半径，由此能求出外接球的表面积．
本题三棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识．考查运算化简能力、推理计算能力、化归转化思想．
 

7.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的图象和性质的应用，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
由函数解析式，利用三角函数性质及函数的图象和函数的平移变换的应用逐一判断选项即可.

【解答】

解：函数，
对于①，，故①错误；
对于②，当时，，故点是曲线的对称中心，故②正确；
③由于，故，函数在区间上不单调，函数的单调性应该是先增后减，故③错误；
④把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故④正确．
故本题选

8.【答案】C 

【解析】解：双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，
即点在抛物线的准线上，又由抛物线的准线方程为，则，
则抛物线的焦点为
双曲线的左顶点为，即
点在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为，
由双曲线的性质，可得
则双曲线的方程为
故选：
点在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，则双曲线方程可求．
本题考查双曲线与抛物线的性质，考查运算求解能力，是中档题．
 

9.【答案】C 

【解析】解：当时，在上单调递减，又，
所以函数在上没有零点，
在上单调递增，
所以函数在上至多有一个零点，
故当时，函数在R上至多有一个零点，不合题意；
当时，，，
，令，得，
时，，函数单调递增；时，，函数单调递减，
时，函数有最大值，，
当，即时，函数在上没有零点，
当，即时，函数在上有一个零点，
当，即时，函数在上有两个零点；
对于，对称轴为，
函数在上最小值为，
又，
当，即，函数在上没有零点，
当，即，函数在上有一个零点，
当，即，函数在上有两个零点；
解得或；
综上，实数a的取值范围是或
故选：
分类讨论，当时利用函数的单调性可得函数至多有一个零点；当时，分别讨论函数，，，的零点情况，进而可得，或，或，解不等式即可求a的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的零点问题，属于中档题．
 

10.【答案】0 

【解析】解：为纯虚数，
，
解得
则实数m的值为：
故答案为：
直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，又已知复数z为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
 

11.【答案】24 

【解析】解：由于的展开式的通项公式为，
令，解得，故 ，故展开式中的系数是24，
故答案为：
求出的通项公式为，令，求出r的值，即可求得的系数．
本题考查二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，求出通项公式为
，是解题的关键，属于中档题．
 

12.【答案】或 

【解析】解：圆，
，表示圆心为，半径为3的圆，
由圆的弦长公式，解得，
当直线l的斜率不存在时，即直线l为，此时圆心到直线的距离为2，满足题意，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，
圆心到直线的距离为2，则，解得，
故直线l的方程为，
综上所述，直线l的方程是或
故答案为：或
圆，则，表示圆心为，半径为3的圆，由圆的弦长公式，解得，再分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．
 

13.【答案】  

【解析】解：取出两个颜色相同的球的事件数为：2，
从4个球中取出两个球的事件数为：，
故获奖的概率为：；
每个人获奖的概率为，所以有3个人参与这个游戏，则至少有2人获奖的概率；
故答案为：，
利用古典概型概率计算公式，即可解出．
本题考查了概率的计算公式，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，且，
则

，
当且仅当且即且时取最小值，
故答案为：
由已知可得，，展开后利用基本不等式式即可求解；
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑.
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可得



，
；…①
又





，
即；…②
由①②求得
故答案为：
利用两个向量的加减法运算法则，计算两个向量的数量积，列出关于、的方程组，即可求得的值．
本题主要考查了两个向量的加减法运算问题，也考查了两个向量的数量积应用问题，是中档题．
 

16.【答案】解：由题意知，的可能取值为0，10，20，30，
由于乙队中3人答对的概率分别为，，，
，
，
，
，
的分布列为：

由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”，B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”，可知A、B互斥．
又，，
则甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率为
 

【解析】由题意知，的可能取值为0，10，20，30，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和；
由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”，B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”，可知A、B互斥．利用互斥事件的概率计算公式即可得出甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用，确定随机变量，及其概率．
 

17.【答案】证明：因为平面ABCD，AB、平面ABCD，
所以，，
而，因此PA、AB、AD两两垂直.
以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如下图：

因为，，，E为棱BC上的点，且，
所以，，，，
，，
因此，，
，，
，，
而，PA、平面PAC，因此平面
解：由知平面PAC的法向量，
设平面PCD的法向量，
，，
，取，得
若二面角的大小为，由图知：为锐角，
因此，
即二面角的余弦值为
设，即，
，
，
直线QE与平面PAC所成角的正弦值为，
，，
解得， 

【解析】以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系利用向量法能证明平面
求出平面PAC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．
设，即，由直线QE与平面PAC所成角的正弦值，利用向量法能求出的值．
本题考查了直线与平面所成角，二面角，利用空间向量求线线、线面和面面的夹角和利用空间向量判定线面的垂直、平行关系，属于中档题．
 

18.【答案】解：由已知，，
，，
椭圆C的方程为；
消去得，
曲线C与直线l只有一个公共点，，
可得，
设，
，，
又由，，
，，
，，
以PQ为直径的圆过定点 

【解析】本题主要考查椭圆方程、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．
根据离心率，长轴的左右端点分别为，，求出几何量，即可求椭圆C的方程；
直线l：与曲线C联立，消去y，利用曲线C与直线l只有一个公共点，得，可得，求出P，Q的坐标，证明，可得以PQ为直径的圆恒过定点．
 

19.【答案】解：设公比q，则，得或，
，，
；
设的公差为d，
，可设，，
又由，，，，
，
，
解得或，
等差数列的各项为正，
，，
，
，
，
，
，
 

【解析】利用求得q，进而求得通项公式；
利用等比中项可得，设，，代入可得，则，进而利用错位相减法求解即可．
本题考查等比数列的通项公式，考查等比中项的应用，考查错位相减法求数列的和，属于中档题．
 

20.【答案】解：因为，则，
所以，
又，因此切点为，
所以曲线在点处的切线方程为：，
即；
证明：由，
则，
当时，，在是均单调递增，
所以在是单调递增，
而，
所以存在唯一的使得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
在区间存在倠一极小值点，其中是方程的解；
证明：因为，
当时，，，
所以，
所以在上单调递增，又，所以在0，上有一个零点，
当时，由可知在上单调递减，在上单调递增，
而，
所以时，，因此在上单调递减，
又，所以当时，，因此在上无零点，
令，则，当时，，所以时，
因此在上单调递增，而在上也单调递增，
所以在上单调递增，
又，
所以存在唯一的使，
所以可知时，；时，
因此在上单调递减，在单调递增，
而，
所以时，，可知在上单调递减，
而，
所以存在唯一的使，
所以可知时，；时，
因此在上单调递增，在单调递减，
而，
所以在上仅有一个零点．
综上可知：在区间上有且仅有两个零点． 

【解析】确定切点和斜率即可求解切线方程；
研究在区间上的单调性即可证明；
分别从和及这三个区间上进行研究可证明结论．
本题主要考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性、极值与零点，属于中档题．