江西省南昌市南昌县2022年九年级上学期期末数学试题（附答案）

 九年级上学期期末数学试题

一、单选题

1．下列四个汽车标志图案中，可以看作是中心对称图形的是 （　　）

A． B． C． D．

2．将点（1，2）绕原点逆时针旋转90°得到的点的坐标是（　　）

A．（﹣1，﹣2） B．（2，﹣1）

C．（1，﹣2） D．（﹣2，1）

3．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是（　　）

A．﹣7 B．7 C．2 D．﹣2

4．如图，半径为10的扇形中，，为弧上一点，，，垂足分别为，．若，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．

5．拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为m时，水面的宽度为（　　）米.

A．8 B．9 C．10 D．11

6．如图，AD为的直径，，，则AC的长度为（　　）

A． B． C．4 D．

二、填空题

7．有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数为奇数的概率是　     　．

8．如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是　     　

9．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点A为中心，将矩形ABCD旋转得到矩形AB'C'D'，使得点B'落在边AD上，则∠C'AC的度数为 　     　°．

10．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 ，该圆锥的母线长 ，则扇形的圆心角 度数为　     　.

11．已知抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），则线段AB的长为 　     　．

12．如图，等边△ABC的边长为1，以A为圆心，AC为半径画弧，交BA的延长线于D，再以B为圆心，BD为半径画弧，交CB的延长线于E，再以C为圆心，CE为半径画弧，交AC的延长线于F，则由弧CD，弧DE，优弧EF及线段CF围成的图形（CDEFC）的周长为 　     　．

三、解答题

13．解方程：

（1）；

（2）．

14．已知关于的一元二次方程．其中分别为三边的长．

（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．

15．如图，□ABCD 的顶点A、B、D都在⊙O上，请你仅用无刻度的直尺按下列要求画图：

（1）在图1中，画出一条弦与AD相等；

（2）在图2中，画出一条直线与AB垂直平分．

16．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0），经过点（1，0）．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）抛物线上有一点P到x轴的距离为1，求点P坐标．

17．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点，，．

（1）该圆弧所在圆的圆心坐标为　         　．

（2）求弧ABC的长．

18．如图，在中，D为边上的一点，过三点的圆O交于点E，已知，．

（1）求证：是圆O的直径；

（2）过点E作于点F，求证：与圆O相切．

19．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，点E是BC的中点，连结并延长OE交圆于点D．

（1）求证：OD AC． 

（2）若DE＝2，BE＝2 ，求阴影部分的面积． 

20．将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌上，随机抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字.

（1）能组成哪些两位数？（请用树状图表示出来）

（2）恰好是偶数的概率是多少？

21．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象分别经过点（0，3）（3，0）（﹣2，﹣5），

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若这个二次函数的图象与x轴交于点C、D（C点在点D的左侧），且点A是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使△ABC是等腰三角形，求出点B的坐标．

22．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE．

（1）求证：OD//BE；

（2）若梯形ABCD的面积是48，设OD＝x，OC＝y，且x+y＝14，求CD的长．

23．如图，在 中， ，BC为 的直径，D为 上任意一点，连接AD交BC于点F，过A作 交DB的延长线于E，连接CD. 

（1）求证：

（2）填空：①当 　     　 时，四边形ABDC是正方形 

②若四边形ABDC的面积为6，则AD的长为　     　.

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】D

3．【答案】B

4．【答案】C

5．【答案】C

6．【答案】A

7．【答案】

8．【答案】26°

9．【答案】90

10．【答案】150°

11．【答案】8

12．【答案】6π+3

13．【答案】（1）解：原方程可化为

即或，

∴，

（2）解：∵，，，

∴，

∴，

∴，

14．【答案】（1）解：△ABC为等腰三角形，理由如下：

把x=1代入方程得b-c-2a+c+b=0，

则a=b，

所以△ABC为等腰三角形

（2）解：△ABC为直角三角形，理由如下：

根据题意得Δ=（-2a）2-4（b-c）（b+c）=0，

整理得b2-c2=a2，即b2 =a2+c2，

所以△ABC为直角三角形．

15．【答案】（1）解：BE 就是所求作的弦；

（2）解：FG 就是所求作的垂直平分线．

16．【答案】（1）解：将点代入抛物线解析式可得：

，

解得：，

∴抛物线的解析式为：；

（2）解：①当点P在x轴上方时，到x轴的距离为1，

∴，

∴，

解得：，，

∴点P的坐标为：，；

②当点P在x轴下方时，到x轴的距离为1，

∴，

∴，

解得：，

∴点P的坐标为：；

综合可得：点P的坐标为，，．

17．【答案】（1）（2，0）

（2）解：连接AC，

根据网格可得，OP=CQ=2，OA=PQ=4，

∠AOP=∠PQC=90°，

由勾股定理得，

AP= =PC，

∵AP2=22+42=20，CP2=22+42=20，AC2=22+62=40，

∴AP2+CP2=AC2，

∴∠APC=90°，

∴弧ABC的长为，

答：弧ABC的长为π．

18．【答案】（1）证明：∵BD=AD，

∴∠B=∠BAD=36°，

∴∠ADC=72°，

∵∠DAC=∠BAD=18°，

∴∠ADC+∠DAC=90°，

∴∠C=90°，

∴AD是圆O的直径

（2）证明：连接OE，

∵EF⊥BC，

∴∠EFC=90°，

∵OE=OA，

∴∠OEA=∠BAD=36°，

∴∠OEA=∠B，

∴OE∥BC，

∴∠OEF+∠EFC=180°，

∴∠OEF=90°，

∴OE⊥EF，

∵OE为圆O的半径，

∴EF与圆O相切．

19．【答案】（1）证明：如图连接OC，

∵OC=OB，点E为BC的中点，

∴OE⊥BC，

∴∠BEO=90°，

∵AB为圆的直径，

∴∠ACB=∠BEO=90°，

∴OD∥AC；

（2）解：连接OC，设圆的半径为r，则OE=r-2，

∵ ，

∴ ，

解得 ，

∴ ，

∴∠ABC=30°，

∴∠COA=60°，

由（1）可得 ，

∴ ，

∴ ，

∵△BOC与△AOC等底同高，

∴ ，

∴

20．【答案】（1）解：画树状图得：

能组成的两位数是12，13，21，23，31，32；

（2）解：根据树状图可知，共有6种等可能的情况，恰好是偶数的情况有2种，

则P（偶数）＝ .

21．【答案】（1）解：将三点坐标代入y=ax2+bx+c，得：

解得：

∴这个二次函数的解析式为

（2）解：由y=﹣x2+2x+3可知，C（﹣1，0），A（1，4），由于B点在对称轴上，则设B点坐标为（1，y）．

由于△ABC是等腰三角形，则分三种情况：

AC边为腰，AC=AB，则B（1，4﹣2）或（1，4+2）；

②AC边为腰，AC=BC，则B（1，﹣4）；

③AC边为底，AB=BC，则B（1，）．

22．【答案】（1）证明：如图，连接OE，

∵CD是⊙O的切线，

∴OE⊥CD，

在Rt△OAD和Rt△OED中，，

∴Rt△OAD≌Rt△OED（HL）

∴∠AOD＝∠EOD＝∠AOE，

在⊙O中，∠ABE＝∠AOE，

∴∠AOD＝∠ABE，

∴OD∥BE（同位角相等，两直线平行）．

（2）解：与（1）同理可证：Rt△COE≌Rt△COB，

∴∠COE＝∠COB＝∠BOE，

∵∠DOE＋∠COE＝90°，

∴△COD是直角三角形，

∵S△DEO＝S△DAO，S△OCE＝S△COB，

∴S梯形ABCD＝2（S△DOE＋S△COE）＝2S△COD＝OC•OD＝48，

即xy＝48，

又∵x＋y＝14，

∴x2＋y2＝（x＋y）2−2xy＝142−2×48＝100，

在Rt△COD中，

CD＝＝=＝10，

∴CD＝10．

23．【答案】（1）证明： 为 直径， 

，

，

四边形ABDC为 的内接四边形，

，

在 和 中，

，

，

，

，

（2）45；