江西省赣州市章贡区2022年九年级上学期期末数学试题及答案

 九年级上学期期末数学试题

一、单选题

1．下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

2．下列说法正确的是（　　）

A．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是

B．若AC、BD为菱形ABCD的对角线，则的概率为1

C．概率很小的事件不可能发生

D．通过少量重复试验，可以用频率估计概率

3．如图， 是 的直径， 是 的弦.若 ，则 的度数是（　　） 

A． B． C． D．

4．如图，在中，，.将绕点逆时针方向旋转，得到，连接.则线段的长为（　　）

A．1 B． C． D．

5．如图，小正方形的边长均为 ，则 、 、 、 四个选项中的三角形（阴影部分）与 相似的是（　　） 

A． B． C． D．

6．若二次函数 的图象如图所示，则一次函数 与反比例函数 在同一个坐标系内的大致图象为（　　） 

A． B．

C． D．

二、填空题

7．的根为　             　．

8．把抛物线 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为　         　．

9．如图，已知每个小方格的边长均为1，则 与 的周长比为　     　． 

10．如图，中，，，，将绕原点O顺时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标是　         　．

11．点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在反比例函数y= （k＜0）的图象上，若y1＞y2，则a的取值范围是　          　．

12．如图，在中，AD为直径，弦于点H，连接OB．已知，．动点E从点O出发，在直径AD上沿路线以1cm/s的速度做匀速往返运动，运动时间为．当时，的值为　           　．

三、解答题

13．  

（1）解方程：

（2）我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释：宛田是指扇形形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．求这口宛田的面积．

14．已知关于x的一元二次方程x2-4x+m=0．

（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值．

15．如图，四边形ABCD是平行四边形，AD与圆相切，请在下图中，仅用无刻度的直尺按要求画图.

（1）若BC是圆的直径，画出平行四边形ABCD的边CD上的高；  

（2）若CD与圆相切，画出平行四边形ABCD的边BC上的高AE.  

16．为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．

（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是　     　；  

（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．  

17．如图，一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于点 ， ，与反比例函数 （ ）的图象交于点 ， . 

（1）分别求出两个函数的解析式；

（2）连接 ，求 的面积. 

18．我们定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．

（1）请说明方程是倍根方程；

（2）若是倍根方程，则，具有怎样的关系？

（3）若一元二次方程是倍根方程，则，，的等量关系是　        　（直接写出结果）

19．在中，，，点E在射线CB上运动．连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接CF．

（1）如图1，点E在点B的左侧运动．

①当，时，则　     　°；

②猜想线段CA，CF与CE之间的数量关系为　          　．

（2）如图2，点E在线段CB上运动时，第（1）问中线段CA，CF与CE之间的数量关系是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它们之间新的数量关系．

20．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．

（1）求该种水果每次降价的百分率；

（2）从第一次降价的第1天算起，第天（为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．

已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第（天）的利润为（元），求与（）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大．

21．   

（1）探究新知：如图1，已知 与 的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． 

（2）结论应用：如图2，点M，N在反比例函数 的图象上，过点M作 轴，过点N 作 轴，垂足分别为E，F．试证明： ． 

（3）拓展延伸：若（2）中的其他条件不变，只改变点M，N在反比例函数 图象上的位置，如图3所示，MN与x轴、y轴分别交于点A、点B，若 ，请求AN的长． 

22．如图，内接于圆O，AB为直径，与点D，E为圆外一点，，与BC交于点G，与圆O交于点F，连接EC，且．

（1）求证：EC是圆O的切线；

（2）当时，连接CF，

①求证：；

②若，求线段FG的长．

23．如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点（点B在第一象限），点C在AB的延长线上．且（n为正整数）．过点B，C的抛物线L，其顶点M在x轴上．

（1）求AB的长；

（2）①当时，抛物线L的函数表达式为　          　；

②当时．求抛物线L的函数表达式　          　；

（3）如图2，抛物线E：经过B、C两点，顶点为P．且O、B、P三点在同一直线上，

①求与n的关系式；

②当时，设四边形PAMC的面积，当时，设四边形PAMC的面积（k，t为正整数，，），若，请直接写出值．

答案解析部分

1．【答案】D

2．【答案】B

3．【答案】C

4．【答案】B

5．【答案】A

6．【答案】D

7．【答案】，

8．【答案】

9．【答案】2：1

10．【答案】

11．【答案】﹣1＜a＜1

12．【答案】1s或3s或6s

13．【答案】（1）解：，，

配方，得，

∴，

∴，

（2）解：∵扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，

∴这块田的面积（平方步）．

14．【答案】（1）解： 关于x的一元二次方程x2-4x+m=0 有实数根，
∴ △≥0，即(-4)2-4m=16-4m≥0，
解得m≤4 ；

（2）解： ∵ 方程两实数根为x1，x2，
∴ x1+x2=4，
∵ 5x1+2x2=2 ，
∴ 5x1+2x2=2(x1+x2)+3x1=2×4+3x2=2，
∴ x1=-2，把x1=-2代入x2-4x+m=0
得：(-2)2-4×(-2)+m=0，
解得：m=-1

15．【答案】（1）解：如图①所示，连接AC，AC为所求的高； 

理由如下：∵BC是圆的直径，

∴∠BAC＝90°

∴AC⊥AB，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD

∴AC⊥CD

∴AC是平行四边形ABCD的边CD上的高；

（2）解：如图②所示，连接BD交圆于点E，连接CE并延长交AD于点F，则CF⊥AD，过点A作AE∥CF，则AE即为所求的高. 

理由如下：∵AD、CD都与圆相切

∴AD＝CD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC，BD平分AC

∴BE是圆的直径，

∴∠BCE＝90°

∴CF⊥BC

又∵AE∥CF

∴AE⊥BC，即AE是平行四边形ABCD的边BC上的高。

16．【答案】（1）

（2）解：树状图如图所示： 

共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率 ．

17．【答案】（1）解：∵双曲线 （m>0）过点C（1，2）和D（2，n）， 

∴ ，解得， .

∴反比例函数的解析式为 .

∵直线 过点C（1，2）和D（2，1），

∴ ，解得， .

∴一次函数的解析式为

（2）解：当x=0时，y1=3，即B（0，3）.

∴ .

如图所示，过点D作DE⊥y轴于点E.

∵D（2，1），

∴DE=2.

∴

18．【答案】（1）解：是倍根方程，理由如下：

解方程，

得，，

∵2是1的2倍，

∴一元二次方程是倍根方程；

（2）解：是倍根方程，且，

，或，

∴，或

（3）

19．【答案】（1）30；

（2）解：不成立．

如图2，过点F作交BC的延长线于点H．

∴，，

∵，

∴，

在△FEC和△AEM中

，

∴，

∴，，

∴，

∴为等腰直角三角形，

∴．

又∵，

即．

20．【答案】（1）解：设该种水果每次降价的百分率是，依题意，得：

解得或（不符合题意，舍去），

答：该种水果每次降价的百分率是10%；

（2）解：当时，第1次降价后的价格：元，

∴，

∵，

∴随的增大而减小，

∴当时，有最大值，（元），

当时，第2次降价后的价格：8.1元，

∴，

∵，

∴当时，有最大值，（元）

∵380＞334.3

∴第10天时销售利润最大；

21．【答案】（1）解：分别过点C，D，作 ， ，垂足为G，H， 

则 ．

∴ ．

∵ 与 的面积相等，

∴ ．

∴四边形CGHD为平行四边形．

∴ ．

（2）解：连结MF，NE．

设点M的坐标为 ，点N的坐标为 ，

∵点M，N在反比例函数 的图象上，

∴ ， ．

∵ 轴， 轴，

∴ ， ，

∴ ， ，

∴ ，

由（1）中的结论可知： ．

（3）解：如图，根据题意，将图补充完成，连结MF，NE．

同理即可得， ，

∵ 轴，

∴ ，

∴四边形FEMA是平行四边形，

∴ ．

同理：∵ 轴，

∴ ，

∴四边形FEBN是平行四边形，

∴ ．

在 和 中，

，

∴ ≌ ，

∴ ．

22．【答案】（1）证明：如图，连接OC，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

，

∴是圆的切线；

（2）解：①证明：∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

②作于，

为直径，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，，

∴，

在和中，

∵，

∴，

∴，

∴．

23．【答案】（1）解：联立直线与抛物线组成方程组，

消去y得：，

解得，

故点A、B的坐标分别为、，

∴

（2）；

（3）解：①当时，，则点C的坐标为，

则抛物线顶点M横坐标为，

故点P的横坐标也为，

设OB的解析式为y=sx，

点B代入得1=，

解得，

直线OB的表达式为，

∵点P在直线OB 上，

当时，，故点P的坐标为；

则抛物线E的表达式为，

将点B的坐标代入上式得：，

解得：；

②或