四川省绵阳市2022-2023学年八年级上学期10月月考数学试题(解析版)

这是一份四川省绵阳市2022-2023学年八年级上学期10月月考数学试题(解析版)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。

四川省绵阳市2022-2023学年八年级上册数学第一次月考试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1. 盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其窗框不变形如图所示，这样做的数学依据是（ ）

A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短
2. 如图，和中，，，若，则等于（ ）

A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
3. 以下列各组线段为边长，能组成三角形的是（　　）
A. 2，3，6 B. 3，4，8 C. 5，6，10 D. 7，8，18
4. 如图，为测量桃李湖两端AB的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD=∠ACB，CD=CB，再测得AD的长，就是AB的长．那么判定△ABC≌△ADC的理由是（ ）

A SAS B. SSS C. ASA D. AAS
5. 一副三角尺如图摆放，则α的大小为（　　）

A. 105° B. 120° C. 135° D. 150°
6. 如图，ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=22°，则∠DEA等于（　　）

A. 22° B. 158° C. 68° D. 112°
7. 根据下列条件，能作出唯一的△ABC的是（　　）
A. AB=3，AC=4，∠B= B. AB=3，BC=4，AC=8
C. ∠A=，∠B=，AB=4 D. ∠C=，AB=5
8. 如图，已知∠1+2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（　　）

A. 70° B. 80° C. 90° D. 100°
9. 如图是正五边形ABCDE， DG平分正五边形的外角∠EDF，连接AD，则∠ADG= ( )

A. 54° B. 60° C. 72° D. 88°
10. 一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1440°，则原来多边形的边数可能是（　　）
A. 9，10，11 B. 12，11，10 C. 8，9，10 D. 9，10
11. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是（ ）

A. 6＜AD＜8 B. 6≤AD≤8 C. 1＜AD＜7 D. 1≤AD≤7
12. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA延长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B的大小是（　　）

A. 32° B. 64° C. 77° D. 87°
二、填空（每小题3分，共18分）
13. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____．
14. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB的直线交DE的延长线于点F．若DE＝FE，AB＝5，CF＝3，则BD的长是________．

15. 一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x +y =_______．
16. 在直角三角形中，锐角是另一个内角的一半，则锐角的度数为__________
17. 如图，在ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E，AD与BE交于点F，BF=AC，∠ABE=20°，则∠CAD度数是___________．

18. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB的角平分线CF交AB于点F，∠BAC的角平分线AE分别交CF和BC于点D、E，连接EF，过点D作AE的垂线分别交AB和CB的延长线于点P、H，连接EP，则下列结论①∠ADF＝45°；②AE＝DH+DP；③EP平分∠BEF；④S四边形ACEF＝2S△ACD，其中正确的序号是 ___．

三、解答题（共46分）
19. 如图，ABC中，∠ABC=82°，∠C=58°，BD⊥AC于D，AE平分∠CAB，BD与AE交于点F，求∠AFB．

20. 如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E

（1）求证：CD=BE；
（2）若DE=3，BE=2，求AD的长.
21. 如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且．

（1）求证：；
（2）判断和位置关系并证明．
22. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点E在AC上，且DE=BD．

（1）求证：∠B=∠CED；
（2）若AB=16，AE=6，求CE的长．
23. 已知在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC
（1）如图1，连接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的长度．
（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ＝AP＋CQ，求证：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC
（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ＝AP＋CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．

24. 等腰三角形的两边长为6和3，则它的周长为__________．
25. 现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有___________种．
26. ABC为等腰直角三角形，若A（4，0），C（0，2），则点B的坐标为___________.

27. 如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为_______．

28. 如图，四边形中，对角线平分，，，则的度数为_____



八年级上册数学第一学月月考试卷答案解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1. 盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其窗框不变形如图所示，这样做的数学依据是（ ）

A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短
【答案】A
【解析】
【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：A．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
2 如图，和中，，，若，则等于（ ）

A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
【答案】B
【解析】
【分析】根据“SSS”证明，根据全等三角形的性质得出即可．
【详解】解：∵在和中，
∴（SSS），
∴，故B正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
3. 以下列各组线段为边长，能组成三角形的是（　　）
A. 2，3，6 B. 3，4，8 C. 5，6，10 D. 7，8，18
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系逐项判断即可得．三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边．
【详解】解：A、，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形；
B、，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形；
C、，满足三角形的三边关系定理，能组成三角形；
D、，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题关键．
4. 如图，为测量桃李湖两端AB的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD=∠ACB，CD=CB，再测得AD的长，就是AB的长．那么判定△ABC≌△ADC的理由是（ ）

A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS
【答案】A
【解析】
【分析】已知条件是∠ACD=∠ACB，CD=CB，AC=AC，据此作出选择．
【详解】解：在△ADC与△ABC中，
．
∴△ADC≌△ABC（SAS）．
故选：A．
【点评】此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5. 一副三角尺如图摆放，则α的大小为（　　）

A. 105° B. 120° C. 135° D. 150°
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得∠ABC=45°，∠1=30°，∠C=90°，则可求得∠2=15°，利用三角形的外角性质即可求∠α的度数．
【详解】解：如图，

由题意得：∠ABC=45°，∠1=30°，∠C=90°，
∴∠2=∠ABC∠1=15°，
∴∠α=∠2+∠C=105°．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
6. 如图，ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=22°，则∠DEA等于（　　）

A. 22° B. 158° C. 68° D. 112°
【答案】D
【解析】
【分析】由ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°，可求得∠B的度数，由折叠的性质可得：∠CED=∠B=68°，∠BDC=∠EDC，由三角形外角的性质，可求得∠ADE的度数．
【详解】解：ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°，
∴∠B=90°∠A=68°，
由折叠的性质可得：∠CED=∠B=68°，
∠DEA=180°68°=112°，
故选：D．
【点评】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
7. 根据下列条件，能作出唯一的△ABC的是（　　）
A. AB=3，AC=4，∠B= B. AB=3，BC=4，AC=8
C. ∠A=，∠B=，AB=4 D. ∠C=，AB=5
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定及三角形三边之间的关系解决问题即可．
【详解】解：A.边边角，不能唯一确定三角形．本选项不符合题意；
B.因为3+4<8，所以这三条线段不能组成三角形．本选项不符合题意；
C.角角边，能唯一确定三角形．本选项符合题意；
D.边角，不能确定三角形．本选项不符合题意；
故选C．
【点评】本题考查全等三角形的判定、三角形三边之间的关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
8. 如图，已知∠1+2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（　　）

A. 70° B. 80° C. 90° D. 100°
【答案】B
【解析】
【分析】根据任意多边形内角和都等于360°，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
∠1+2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∵∠1+2+∠3+∠4＝280°，
∴∠5＝360°﹣280°＝80°，
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握任意多边形内角和都等于360°是解题的关键．
9. 如图是正五边形ABCDE， DG平分正五边形的外角∠EDF，连接AD，则∠ADG= ( )

A. 54° B. 60° C. 72° D. 88°
【答案】C
【解析】
【分析】根据正多边形外角和定理求出正五边形的外角为72°，根据角平分线求出∠EDG，求出内角∠AED的度数，利用AE=DE，求出∠ADE，进而可得到∠ADG的度数．
【详解】解：正五边形每个外角的度数为，
∵DG平分正五边形的外角∠EDF，
∴∠EDG=，
∵∠AED=，AE=DE，
∴∠ADE=，
∴∠ADG=∠ADE+∠EDG=72°，
故选：C．
【点评】此题考查了正多边形的内角与外角的计算，熟记正多边形内角和公式及外角和度数是解此类题的关键．
10. 一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1440°，则原来多边形的边数可能是（　　）
A. 9，10，11 B. 12，11，10 C. 8，9，10 D. 9，10
【答案】A
【解析】
【分析】首先求得内角和为的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
【详解】解：设内角和为的多边形的边数是则，
解得：．
∵一个多边形截取一个角后，变成的多边形可能比原来少一边，也可能相同，也可能多一边；
∴原来多边形的边数可能是9或10或11
故选：A．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键．
11. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是（ ）

A. 6＜AD＜8 B. 6≤AD≤8 C. 1＜AD＜7 D. 1≤AD≤7
【答案】C
【解析】
【分析】先延长AD到E，且AD=DE，并连接CE，利用SAS易证△ADB≌△EDC，从而可得AB=CE，在△ABE中，再利用三角形三边的关系，可得AC-CE＜AE＜AC+CE，从而易求1＜AD＜7．
【详解】解：如图，延长AD至点E，使AD=DE，连接CE，

∵AD是边BC上的中线，
∴CD=BD，
△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED，
∴AB=CE=6，
在△ACE中，8-6 ∴1＜AD＜7，
故选：C．
【点评】此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系，掌握利用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键．
12. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B的大小是（　　）

A. 32° B. 64° C. 77° D. 87°
【答案】C
【解析】
【分析】取CF的中点T，连接DT，AT．证明∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，进而证明CT＝TF，得到∠AFC＝45°，∠BFD＝13°，最后求出∠B＝77°．
【详解】解：如图，取CF的中点T，连接DT，AT．
∵∠BAC＝90°，FD⊥BC，
∴∠CAF＝∠CDF＝90°，
∴AT＝DT＝CF，
∴TD＝TC＝TA，
∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，
∵∠ADB＝45°，
∴∠ADT+∠TDC＝135°，
∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，
∴AT⊥CF，
∵CT＝TF，
∴AC＝AF，
∴∠AFC＝45°，
∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°，
∵∠BDF＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°．

故选：C
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的直线等于斜边一半、等腰三角形的性质、三角形的角的计算等知识，根据题意添加辅助线，构造等腰三角形是解题关键．
二、填空（每小题3分，共18分）
13. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____．
【答案】9
【解析】
【详解】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9．
故答案为：9．
14. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB的直线交DE的延长线于点F．若DE＝FE，AB＝5，CF＝3，则BD的长是________．

【答案】2
【解析】
【分析】先根据平行线性质可得，再根据定理证出，然后根据全等三角形的性质可得，最后根据线段和差即可得．
【详解】解：，
，
在和中，，
，
，
，
，
故答案为：2．
【点评】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．
15. 一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x +y =_______．
【答案】11
【解析】
【详解】三边为的三角形与三边为的三角形全等，


故答案为
16. 在直角三角形中，锐角是另一个内角的一半，则锐角的度数为__________
【答案】45°或30°．
【解析】
【分析】需要分类讨论：锐角α是直角的一半和锐角α是另一锐角的一半．
【详解】解：①当锐角α是直角的一半时，α=×90°=45°；
②当锐角α是另一锐角的一半时，α=（90°-α），此时α=30°．
综上所述，锐角α的度数为45°或30°．
故答案是：45°或30°．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，解答该题时，需要进行分类讨论，以防漏解．
17. 如图，在ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E，AD与BE交于点F，BF=AC，∠ABE=20°，则∠CAD的度数是___________．

【答案】25°##25度
【解析】
【分析】先证明DBFDAC，根据全等三角形的性质得出AD=BD，求出∠ABD=∠DAB=45°，即可得出答案．
【详解】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=90°，∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠C=90°，∠DBF+∠C=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
DBF和DAC中，，
∴DBFDAC（AAS），
∴AD=BD，
∵∠ADB=90°，
∴∠ABD=∠DAB=45°，
∵∠ABE=20°，
∴∠CAD=∠DBF=∠ABD-∠ABE=45°-20°=25°，
故答案为：25°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解此题的关键．
18. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB的角平分线CF交AB于点F，∠BAC的角平分线AE分别交CF和BC于点D、E，连接EF，过点D作AE的垂线分别交AB和CB的延长线于点P、H，连接EP，则下列结论①∠ADF＝45°；②AE＝DH+DP；③EP平分∠BEF；④S四边形ACEF＝2S△ACD，其中正确的序号是 ___．

【答案】①②④
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质及角平分线定义可判断①；根据ASA可得△ACD≌△HCD，得出AD=DH，然后根据△ADP≌△HDE，得出DE=DP，最后根据AE=DE+AD=DP+HD可判断②；根据△DEP为等腰三角形直角三角形，得出EP∥CF，再根据EF不一定平行AC，得出EP不一定平分∠BEF，只有当AB=BC时才平分可判断③；根据同底等高三角形的面积相等得出，最后利用全可判断④；
【详解】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∵CF是∠ACB的角平分线，AE是∠BAC的角平分线，
∴∠CAE+∠ACF=(∠BAC+∠ABC)=45°，
∴∠ADF＝∠CAE+∠ACF=45°，故①正确；
∵∠ADF=∠CDE=45°，
∴∠ADC=180º-45º=135º，
∴DH⊥AE，
∴∠EDH=90º，
∴∠CDH=∠EDH+∠CDE=90°+45°=135°，
∴∠CDH=∠ADC，
∵CD=CD，∠ACD=∠BCD，
∴△ACD≌△HCD（ASA），
∴AD=DH，
∵∠APD=∠HPB，∠ADP=∠PBH，
∴∠DAP=∠DHE，
∵∠ADP=∠HDE，AD=DH，
∴△ADP≌△HDE，
∴DE=DP，
∴AE=DE+AD=DP+HD，故②正确；
由②得△DEP为等腰三角形直角三角形，
∴∠DEP=45º=∠ADP，
∴EP∥CF，
∴∠PEB=∠FCB=∠DCE，∠DFE=∠FEP，
∵EF不一定平行AC，
∴∠ACD≠∠DFE+∠FCE，
∴∠FEP≠∠PEB，
∴EP不一定平分∠BEF，只有当AB=BC时才平分，故③错误；
∵EP∥CF，
∴(同底等高)，
∴
∴，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
三、解答题（共46分）
19. 如图，在ABC中，∠ABC=82°，∠C=58°，BD⊥AC于D，AE平分∠CAB，BD与AE交于点F，求∠AFB．

【答案】∠AFB=110°．
【解析】
【分析】首先利用三角形的内角和求出∠CAB=40°，然后利用角平分线的性质求出∠DAF=20°，最后利用三角形的外角与内角的关系及垂直的定义即可求解．
【详解】解：∵∠CAB=180°∠ABC∠C，
而∠ABC=82°，∠C=58°，
∴∠CAB=40°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠DAF=20°，
∵BD⊥AC于D，
∴∠ADB=90°，
∴∠AFB=∠ADB+∠DAF=90°+20°=110°．
【点评】本题考查了三角形的内角和等于180°求解，是基础题，准确识别图形是解题的关键．
20. 如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E

（1）求证：CD=BE；
（2）若DE=3，BE=2，求AD的长.
【答案】（1）见解析；
（2）5
【解析】
【分析】（1）根据条件可以得出∠ACD=∠CBE，进而得出ADCCEB，就可以得出BE=DC；
（2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题；
【小问1详解】
证明：∵∠ACB=90°，AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，∠BEC=∠CDA=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在ADC与CEB中，
，
∴ADCCEB（AAS），
∴CD=BE；
【小问2详解】
∵△ADC△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∴AD=CD+DE=BE+DE=2+3=5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21. 如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且．

（1）求证：；
（2）判断和的位置关系并证明．
【答案】（1）证明过程见详解
（2）和的位置关系是垂直，证明过程见详解
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形的全等的条件：斜边直角边即可求证；
（2）延长与线段相交，根据全等，可找出线段与角的关系，由此即可求解．
【小问1详解】
解：，中，
∵
∴
【小问2详解】
解：根据题意，画图如下，

延长交于点，由（1）可知，，，
∴在中，，
∵在中，，
∴，
∵，
∴在中，，
∴是直角三角形，即，
∵点、、在同一条线段上，
∴，
故和的位置关系是垂直．
【点评】本题主要考查直角三角形的全等及线段的关系，理解三角形全等的条件，合理构造线段关系是解题的关键．
22. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点E在AC上，且DE=BD．

（1）求证：∠B=∠CED；
（2）若AB=16，AE=6，求CE的长．
【答案】（1）见解析；
（2）5
【解析】
【分析】（1）过点D作DF⊥AB，垂足为点F，由角平分线的性质得出DC=DF，再由HL证明Rt△DCE≌Rt△DFB即可得证；
（2）由Rt△DCE≌Rt△DFB，可得BF=CE，由HL证明Rt△ADC≌Rt△ADF，得出AC=AF，结合（1）中CE=BF进而得出AB=AF+BF=AC+CE，即可求解．
【小问1详解】
解：过点D作DF⊥AB，垂足为点F，

∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DF⊥AB，
∴DC=DF，
在Rt△DCE与Rt△DFB中，
，
∴Rt△DCE≌Rt△DFB（HL），
∴∠B=∠CED；
【小问2详解】
∵Rt△DCE≌Rt△DFB，
∴BF=CE，
设CE=BF=x，
在Rt△ADC与Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADF（HL），
∴AC=AF，
∴AB=AF+BF=AC+CE，
∴AB-BF=AE+CE，
∴16-x=6+x
解得：x=5，
即CE=5．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质和角平分线的性质，关键是根据HL证明直角三角形的全等解答．
23. 已知在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC
（1）如图1，连接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的长度．
（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ＝AP＋CQ，求证：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC
（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ＝AP＋CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．

【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条件得出为直角三角形，再根据证出，从而证出即可得出结论；
（2）如图2，延长DC到 K，使得CK=AP，连接BK，通过证△BPA≌△BCK（SAS）得到：∠1=∠2，BP=BK．然后根据证明得，从而得出，然后得出结论；
（3）如图3，在CD延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK，构建全等三角形：△BPA≌△BCK（SAS），由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS证得：△PBQ≌△BKQ，则其对应角相等：∠PBQ=∠KBQ，结合四边形的内角和是360°可以推得：∠PBQ=90°+∠ADC．
【详解】（1）证明：如图1，

∵，，
∴，
在和中，

∴，
∴，
∴；
（2）如图2，

延长至点，使得，连接
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）；
如图3，在延长线上找一点，使得，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，

∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，

∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
24. 等腰三角形的两边长为6和3，则它的周长为__________．
【答案】15
【解析】
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：解：根据三角形三边关系可得出：等腰三角形的腰长为6，底长为3，因此其周长=6+6+3=15．
当底边为6，腰为3时，不符合三角形三边关系，此情况不成立．
故答案为：15．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
25. 现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有___________种．
【答案】3
【解析】
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．因为正三角形、正方形、正六边形、正八边形的内角分别为60°、90°、120°、135°，根据多边形镶嵌成平面图形的条件可知．
【详解】解：①正三角形、正方形，由于60°×3+90°×2=360°，故能铺满；
②正三角形、正六边形，由于 60°×2+120°×2=360°，或60°×4+120°×1=360°，故能铺满；
③正三角形、正八边形，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
④正方形、正六边形，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
⑤正方形、正八边形，由于90°+135°×2=360°，故能铺满；
⑥正六边形、正八边形，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．
故选择的方式有3种．
故答案为：3．
【点评】本题考查了平面镶嵌，解决本题的关键是掌握平面镶嵌定义．用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．
26. ABC为等腰直角三角形，若A（4，0），C（0，2），则点B的坐标为___________.

【答案】（2，2）
【解析】
【分析】过点B作BT⊥y轴于点T．证明AOCCTB，可得结论．
【详解】解：如图中，过点B作BT⊥y轴于点T．

∵A（4，0），C（0，2），
∴OA=4，OC=2，
∵∠AOC=∠ACB=∠CTB=90°，
∴∠ACO+∠BCT=90°，∠BCT+∠CBT=90°，
∴∠ACO=∠CBT，
在△AOC和△CTB中，，
∴AOCCTB（AAS），
∴AO=CT=4，BT=CO=2，
∴OT=CTCO=2，
∴B（2，2），
故答案为：（2，2）．
【点评】本题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
27. 如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为_______．

【答案】
【解析】
【分析】作FH垂直于FE，交AC于点H，可证得，由对应边、对应角相等可得出，进而可求出，则．
【详解】作FH垂直于FE，交AC于点H，
∵
又∵，
∴
∵，FA=CF
∴
∴FH=FE
∵
∵
∴
又∵DF=DF
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴

故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及其性质，作辅助线HF垂直于FE是解题的关键．
28. 如图，四边形中，对角线平分，，，则的度数为_____

【答案】
【解析】
【分析】先添加辅助线“过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，过点作于点”，根据角平分线的判定、性质、定义以及三角形外角的性质、邻补角的定义、角的和差等可求得．
【详解】解：过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，如图：

∵平分，，
∴，
∵
∴
∵，
∴平分
∵，
∴
∴
∵，
∴平分
∴
∴



．
故答案是：
【点评】本题考查了角平分线的判定、性质、定义以及三角形外角的性质、邻补角的定义、角的和差等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．