2021-2022学年江西省赣州市定南县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年江西省赣州市定南县九年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列事件中，是必然事件的是(    )

A. 从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球
B. 任意买一张电影票，座位号是的倍数
C. 掷一次骰子，向上一面的点数是
D. 画一个三角形，其内角和是

2. 窗棂即窗格窗里面的横的或竖的格是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 如果关于的一元二次方程有实数根，那么应满足的条件是(    )

A.  B. 且 C. 且 D.

4. 在直角坐标系中，点为坐标原点，点，把线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，为的直径，为的弦，于，下列说法错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 已知抛物线中是常数与轴的交点为，点与点关于抛物线的对称轴对称，二次函数中是常数的自变量与函数值的部分对应值如表：

下列结论正确的是(    )

A. 抛物线的对称轴是直线
B. 当时，有最大值
C. 当时，随的增大而增大
D. 点的坐标是点的坐标是

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7. 抛物线的顶点坐标为______ ．
8. 在同一副扑克牌中抽取张“方块”，张“梅花”，张“红桃”将这张牌背面朝上，从中任意抽取张，是“红桃”的概率为______．
9. 如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点不与点重合，则的度数为______．

10. 已知，是一元二次方程的两根，则的值是______．
11. 如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是______

12. 在中，，，点是的中点，将绕点向三角形外部旋转角时，得到，当恰为轴对称图形时，的值为______．

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13. 本小题分
    解方程：；
    已知一条抛物线过点，且顶点坐标为，求该抛物线解析式．
14. 本小题分
    已知关于的方程．
    若该方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
    当该方程的一个根为时，求的值及方程的另一根．
15. 本小题分
    在中，，点在以为直径的半圆内，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图保留作图痕迹．
    在图中作弦，使．
    在图中过点作线段的垂直平分线．

16. 本小题分
    小邦和小友两人玩猜数字游戏，先由小友在中心任意想一个数，记为，然后再由小邦猜小友刚才想的数字，把小邦猜的数字记为，他们俩想和猜的数字只能在，，，这四个数字中选取．
    “小友想的数字”是______事件；
    如果小邦猜的数字与小友想的数字相同，则称他们“心灵相通”，求他们心灵相通的概率．
17. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
    把向左平移个单位后得到对应的，请画出平移后的；
    把绕原点旋转后得到对应的，请画出旋转后的；
    观察图形可知，与关于点______，______中心对称．

18. 本小题分
    如图，已知是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上，连接、、．
    若，求的度数；
    若，弦，求的半径长．

19. 本小题分
    如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．
     

求证：；

若，，求的度数．

20. 本小题分
    某地年为做好“精准扶贫”，投入资金万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，年在年的基础上增加投入资金万元．
    从年到年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
    在年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于万元用于优先搬迁租房奖励，规定前户含第户每户每天奖励元，户以后每户每天补助元，按租房天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？
21. 本小题分
    某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价每个元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量单位：个与销售单价单位：元有如下关系：设这种双肩包每天的销售利润为元
    求与之间的函数解析式；
    这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
    如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于元，该商店销售这种双肩包每天要获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？
22. 本小题分
    如图，为半圆的直径，点为圆心，为半圆的切线，连接，过半圆上的点作，连接、的延长线相交于点．
    求证：是的切线；
    若，，
    求的半径．
    将以点为中心逆时针旋转，求扫过的图形的面积结果用表示．

23. 本小题分
    在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点．
    求抛物线的解析式；
    若点为第三象限内抛物线上一动点，点的横坐标为，的面积为．
    求关于的函数关系式，并求出的最大值．
    若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点、、、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球，是必然事件，故此选项符合题意；
B.任意买一张电影票，座位号是的倍数，是随机事件，故此选项不合题意；
C.掷一次骰子，向上一面的点数是，是随机事件，故此选项不合题意；
D.画一个三角形，其内角和是，是不可能事件，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用随机事件、必然事件、不可能事件的定义分别判断得出答案．
此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义，正确区分三种事件是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根
且，
解得：且，
故选：．
根据一元二次方程的定义和根的判别式得出且，求出解集即可．
本题考查了一元二次方程的定义、解一元一次不等式和根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，由题意，把线段绕点顺时针旋转得到线段，观察图象可知．

故选：．
解题的关键是抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向顺时针，旋转角度，通过画图得的坐标．
本题涉及图形的旋转变换，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向顺时针，旋转角度，通过画图得．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
，
，，，
，
，
，
．
故选：．
连接，如图，根据垂径定理得到，，，再得到，然后根据圆周角定理得到，从而可对各选项进行判断．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
 

6.【答案】 

【解析】解：由表格可得抛物线经过，，
抛物线对称轴为直线，
时，
抛物线开口向上，
将代入得，
点坐标为，点坐标为，
故选：．
由抛物线经过，，可得抛物线的对称轴，再由抛物线经过可得抛物线开口向上，将代入解析式可得点坐标，根据抛物线的对称性可得点坐标．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

7.【答案】 

【解析】解：物线，
该抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
根据题目中的抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：在同一副扑克牌中抽取张“方块”，张“梅花”，张“红桃”．
将这张牌背面朝上，从中任意抽取张，是“红桃”的概率为．
故答案为：．
抽取的扑克牌总共有张，其中“红桃”有张，直接利用概率公式计算可得．
本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，

是正五边形，
，
，
故答案为：．
连接，求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是根据正多边形的边数求出圆心角的度数．
 

10.【答案】 

【解析】解：把代入方程得：，即，
由根与系数的关系得：，
则原式

．
故答案为：．
把代入方程求出的值，再利用根与系数的关系求出的值，代入原式计算即可得到结果．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：令函数式中，，
，
整理得：，
，
解得，舍去，
即该运动员此次掷铅球的成绩是．
故答案为：．
根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可．
本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：在中，
，，
，
，，．
如图中，

当时，
在和中，
，
≌，
，
．
如图中，当时，同理可证≌，

，
．
如图中，当时，同理可证≌，
，


故答案为：或或．
分三种情形讨论如图中，当时，如图中，当时，如图中，当时，分别利用全等三角形的性质计算即可．
本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会题分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

13.【答案】解：，
，
或，
，；
设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
所以抛物线解析式为． 

【解析】利用因式分解法求解即可；
由于已知抛物线的顶点坐标，可设顶点式，然后把代入求出即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
 

14.【答案】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，
．
将代入原方程，得：，
．
方程的另一根为． 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
将代入原方程可求出的值，再利用两根之和等于，即可求出方程的另一根．
本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
 

15.【答案】解：如图，弦即为所求．
如图，直线即为所求．
 

【解析】延长，交圆于点，点，连接，线段即为所求．
延长，交圆于点，点，连接，，延长交的延长线于点，作直线，直线即为所求．
本题考查作图复杂作图，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】随机 

【解析】解：“小友想的数字”是随机事件，
故答案为：随机；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小邦和小友心灵相通的结果有种，
小邦和小友心灵相通的概率．
由随机事件的定义即可得出结论；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小邦和小友心灵相通的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及随机事件．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】   

【解析】解：如图所示，即为所求；
如图所示，即为所求；

由图可得，与关于点中心对称．
故答案为：，．
依据平移的方向和距离，即可得到平移后的；
依据绕原点旋转，即可画出旋转后的；
依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标．
此题主要考查了平移变换和旋转变换，正确根据题意得出对应点位置是解题关键．
 

18.【答案】解：，
，
，
；
设的半径为，则，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即的半径长为． 

【解析】根据垂径定理得到，利用圆心角、弧、弦的关系得到，然后根据圆周角定理得到的度数；
设的半径为，则，根据垂径定理得到，然后利用勾股定理得到，再解方程即可．
本题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：证明：，
．
将线段绕点旋转到的位置，
．
在与中，
，
≌，
．
，，
，
．
≌，
，
． 

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明≌是解题的关键．
由旋转的性质可得，利用证明≌，根据全等三角形的对应边相等即可得出；
根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，那么由≌，得出，再根据三角形外角的性质即可求出．
 

20.【答案】解：设该地投入异地安置资金的年平均增长率为，根据题意，
得：，
解得：或舍，
答：从年到年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为；

设今年该地有户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，
得：，
解得：，
答：今年该地至少有户享受到优先搬迁租房奖励． 

【解析】设年平均增长率为，根据：年投入资金给增长率年投入资金，列出方程求解可得；
设今年该地有户享受到优先搬迁租房奖励，根据：前户获得的奖励总数户以后获得的奖励总和万，列不等式求解可得．
本题主要考查一元二次方程与一元一次不等式的应用，由题意准确抓住相等关系并据此列出方程或不等式是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
与之间的函数解析式；
根据题意得：，
，
当时，有最大值，最大值是；
当时，，解得，，
，不符合题意，舍，
答：该商店销售这种双肩包每天要获得元的销售利润，销售单价应定为元． 

【解析】每天的销售利润每天的销售量每件产品的利润；
根据配方法，可得答案；
根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
本题考查了二次函数的应用；得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键；利用配方法或公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法．
 

22.【答案】证明：连接，

是半圆的直径，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
为半圆的切线，
，
，
，
是半径，
是半圆的切线；
解：，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
的半径为；
由题意知，扫过的图形是以为半径，圆心角为的扇形，
扫过的图形的面积为． 

【解析】连接，由平行线的性质得，再根据垂径定理得是的垂直平分线，得，再利用切线的性质和判定即可解决问题；
利用∽，得，代入计算可得的长，从而得出半径；
由题意知，扫过的图形是以为半径，圆心角为的扇形，代入扇形面积公式即可．
本题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的判定与性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质，扇形面积的计算等知识，利用∽求出直径的长是解题的关键．
 

23.【答案】解：设此抛物线的函数解析式为：
，
将，，三点代入函数解析式得：

解得，
所以此函数解析式为：；

点的横坐标为，且点在这条抛物线上，
点的坐标为：，

，
，
，
当时，有最大值为：．
答：时有最大值．

设．
当为边时，根据平行四边形的性质知，且，
的横坐标等于的横坐标，
又直线的解析式为，
则．
由，得，
解得，，．
不合题意，舍去．
如图，当为对角线时，知与应该重合，．
四边形为平行四边形则，纵坐标为，代入得出为；
四边形为平行四边形则，横坐标为，代入得出为；
由此可得或或或． 

【解析】本题考查了三点式求抛物线的方法，以及抛物线的性质和最值的求解方法．
先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式．
设出点的坐标，利用即可进行解答；
当是平行四边形的边时，表示出的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当是对角线时，由图可知点与应该重合．