2021-2022学年江西省新余市九年级（上）期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年江西省新余市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.    以下说法合理的是(    )

A. 小丽做了 次掷图钉的实验，发现 次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B. 某彩票的中奖概率是，那么买张彩票一定有张中奖
C. 某射击运动员射击一次只有两种可能结果：中靶与不中靶．故他击中靶的概率是
D. 小明做次掷均匀硬币实验：有次正面朝上， 次正面朝下．再一次，正面朝上的概率还是

3.    二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是(    )

A.
B.
C.
D.

4.    如图，在中，所对的圆周角，若为上一点，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.    如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得，将线段绕点逆时针旋转后得线段，分别以，为圆心，、长为半径画和，连接，则图中阴影部分的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    欧几里得在几何原本中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根如图，一张边长为的正方形的纸片，先折出、的中点、，再折出线段，然后通过沿线段折叠使落在线段上，得到点的新位置，并连接、，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程的一个正根，则这条线段是(    )

A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.    已知、是关于的方程的两个根，则______．
8.    如图，一次函数与反比例函数的图象交于和两点，若，则的取值范围是______．

9.    如图，在正六边形中，，则它的外接圆的半径是______．

10. 设函数与的交点坐标为，则______．
11. 规定：若，，则例如，，则已知，，则的最小值是______．
12. 在中，，，，点为边的中点，点为边上任意一点，若将沿折叠得，若点落在的中位线所在直线上，则______．

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13. 本小题分
    用适当的方法解方程：
    ；
    ．
14. 本小题分
    已知二次函数
    求二次函数与轴的交点坐标；
    经过平移后得到函数，若其与轴有一个交点，求的值．
15. 本小题分
    点可以在数，，，中任意选取．试求下列事件的概率用树状图或者列表法表示
    事件：点在第二象限内的概率；
    事件：点在直线上的概率．
16. 本小题分
    如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点均在格点上，点的坐标为．
    画出将原点按顺时针旋转所得的，并写出点的坐标．
    求线段的长度．

17. 本小题分
    如图，内接于，请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图保留作图痕迹，不写作法．
    在图中，，作一个的圆周角．
    在图中，，作一个的圆心角．
     
18. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限内的图象相交于点．
    求反比例函数的解析式；
    将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点，与轴交于点，且的面积为，求直线的解析式．

19. 本小题分
    如图，是的直径，点，是上两点，连接，，，弦平分，，过点作交的延长线于点，垂足为．
    求证：是的切线；
    求的长．

20. 本小题分
    去年月，李克强总理提倡搞地摊经济，张明投资销售一种进价为每件元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量件与销售单价元之间的关系可近似的看作一次函数；，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的．
    如果张明想要每月获得的利润为元，那么张明每月的单价定为多少元？
    当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
21. 本小题分
    抛物线：中，函数值与自变量之间的部分对应关系如下表：

设抛物线的顶点为，则点的坐标为______：
现将抛物线沿轴翻折，得到抛物线：，试求的解析式；
现将抛物线向下平移个单位，顶点为点，与轴交于点、点请写出与的等量关系．

22. 本小题分
    如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点．
    求和的值．
    若点与点关于直线对称，连接．
    求点的坐标；
    若点在反比例函数的图象上，点在轴上，以点，，，为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．
     
23. 本小题分
    如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，的中点，为线段欧上一动点不与点，重合，将线段绕点逆时针方旋转，得到，连接，．
    证明：≌
    如图，连接和，其中交于点．
    证明：在点的运动过程中，总有；
    若，当的长度为多少时，为等腰三角形？
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D.矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、小明做了次掷图钉的实验，发现次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是是错误的，次试验不能总结出概率，故选项A错误，不符合题意；
B、某彩票的中奖概率是，那么买张彩票可能有张中奖，但不一定有张中奖，故选项B错误，不符合题意；
C、某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，故选项C错误，不符合题意；
D、小明做了次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的可能性是，故选项D正确，符合题意．
故选：．
直接利用概率的意义分别分析得出答案．
此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由二次函数的图象可得，，，．
，
反比例函数的图象在第二、四象限，正比例函数的图象过一、三象限，
故选：．
先根据二次函数图象确定，，的符号，再分别确定该反比例函数和正比例函数图象所在的位置．
此题考查了各种函数的系数对函数图象影响问题的解决能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
根据圆心角与圆周角关系定理求出的度数，进而由角的和差求得结果．
本题考查圆周角定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
 

5.【答案】 

【解析】解：作于，
，，，
，
由旋转，得≌，
，
，
，
，
，，
≌，
，
阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积

，
故选：．
作于，根据勾股定理求出，根据阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积、利用扇形面积公式计算即可．
本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质，掌握扇形的面积公式和旋转的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设，则．
由题意可知：≌，是的中点，
，．
，
，
．
的解为，
取正值为．
这条线段是线段．
故选：．
首先根据方程解出正根为，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设，则，从而可以用表示等式．
此题考查的是一元二次方程的解法，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、是关于的方程的两个根，
，，
，
故答案为：．
根据根与系数的关系得到，，然后整体代入变形后的代数式即可得到结论．
本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
 

8.【答案】或 

【解析】解：一次函数与反比例函数的图象交于和两点，
由图象可知，当，的取值范围为：或．
故答案为：或．
根据，坐标，利用函数图象求解．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，，与相交于点，由对称性可知，，
正六边形，
，
在中，，，
，
故答案为：．
根据正多边形与圆的相关计算以及锐角三角函数的定义进行计算即可．
本题考查正多边形与圆，锐角三角函数，掌握正多边形与圆的相关计算以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：函数与的交点坐标为，
，，
，，



，
故答案为：．
根据函数与的交点坐标为，可以得到，，然后即可得到，，再将所求式子变形，再将，代入计算即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，灵活的将所求式子变形和函数变形，利用整体代入的思想解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意知：．
所以当时，．
即的最小值是．
故答案是：．
根据平面向量的新定义运算法则，列出关于的二次函数，根据二次函数最值的求法解答即可．
本题主要考查了平面向量，解题时，利用了配方法求得二次函数的最值．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：如图，设边中点为，连接，
当在上时，
由折叠可知，，，
，，，
，，，，
，，
，，
，
在中，，
，
； 
如图，设边的中点为，连接，
当点落在上时，
，，，
，，
由折叠可知，，，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
；
如图，设、中点分别为、，连接、，
当点落在上时，
由折叠可知，，，，
，，
，，，，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
；
综上所述，的值为或或，
故答案为：或或．
分三种情况讨论：当在边的中位线上时；当在边的中位线上时；当在边的中位线上时；分别画图求解即可求．
本题考查图形的折叠，熟练掌握直角三角形的性质，折叠的性质，能够分类讨论并画出适合的图形是解题的关键．
 

13.【答案】解：，
或，
，；
整理得，，
，
或，
解得，． 

【解析】将左边利用十字相乘法、因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案；
将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

14.【答案】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，即，，
二次函数与轴的交点坐标为，；
二次函数与轴有一个交点，
令，，有两个相等的实数根，
，
． 

【解析】根据二次函数的性质可知的两个不相等的实数根，即为二次函数与轴的交点坐标的横坐标；
由题意根据，转化为方程即可解决问题．
本题考查抛物线与轴交点、根的判别式等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
 

15.【答案】解：点的坐标情况列表表示如下：

通过列表分析知所有等可能的点有种，
在第二象限内的点有个，即，，
；
在直线上的点有两个，即，，
． 

【解析】列表得出所有等可能的情况数，
找出在第二象限的情况数，即可求出所求的概率；
找出在直线上的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，点的坐标，以及一次函数图象上点的特征，掌握概率公式：概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
 

16.【答案】解：如图，为所作，点的坐标为；

线段的长度． 

【解析】利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、，从而得到；
利用勾股定理计算．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

17.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作．
 

【解析】利用等腰三角形的性质可计算出，延长交于，连接，利用圆周角定理得到，，所以；
延长交于，连接，利用圆周角定理得到，利用圆内接四边形的性质得到，所以，然后根据圆周角定理得到．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
 

18.【答案】解：直线过点，
，解得，
．
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的解析式为；

设直线的解析式为，
三角形与三角形面积相等，且的面积为，
的面积，
，
，
直线的解析式为． 

【解析】将点坐标代入直线中求出的值，确定出的坐标，将的坐标代入反比例解析式中求出的值，即可确定出反比例函数的解析式；
根据直线的平移规律设直线的解析式为，由同底等高的两三角形面积相等可得与面积相等，根据的面积为列出方程，解方程求出，即，进而得出直线的解析式．
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

19.【答案】证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
在圆上，
是的切线；
解：如图，连接，交于点，

为的直径，
，
，
又，
四边形是矩形．
，，
在中，，
，
，
，
． 

【解析】根据角平分线的定义和平行线的判定和性质以及切线的判定定理即可得到结论；
根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题主要考查切线的判定，连接、得到的度数是解题的关键．
 

20.【答案】解：由题意得：，
，
，．
，
如果张明想要每月获得的利润为元，张明每月的单价定为元；
对于函数的图象的对称轴是直线．
又，抛物线开口向下．
当时，随着的增大而增大，
当时，，
答：当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润是元． 

【解析】由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润定价进价销售量，从而列出关系式；把元代入上述二次函数关系式，根据函数性质，确定单价；
首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可．
此题考查了二次函数的应用，还考查抛物线的性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
 

21.【答案】 

【解析】解：观察表格可知，抛物线上点与点关于对称轴对称，
抛物线的对称轴，
顶点的坐标．
故答案为．
设抛物线的解析式为，把代入解析式，
，
，
抛物线的解析式为，
抛物线顶点坐标为，
将抛物线沿轴翻折，得到抛物线，根据对称性可知，抛物线的顶点为，，
的解析式为，
抛物线下平移个单位后的解析式为，，
令，解得，
，，
，
．
观察表格可知，抛物线上点与点关于对称轴对称，推出抛物线的对称轴，可得顶点坐标．
根据题意求出抛物线的顶点坐标以及的值即可解决问题．
抛物线下平移个单位后的解析式为，令，解得，可得，，推出，由此即可解决问题．
本题考查了二次函数与轴的交点、平移变换、翻折变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，熟练掌握二次函数的三种形式．
 

22.【答案】解：将点代入得：，
，
直线的表达式为，
把点代入，得：，
，
将代入得：，
；
连接，过作轴于，如图：

，，
，
是等腰直角三角形，
，
由点与点关于直线对称，知≌，
，，即，
，
点的坐标为；
以点，，，为顶点的四边形能为平行四边形，理由如下：
设，，又，，
Ⅰ若，是对角线，则，的中点重合，
，
解得，
；
Ⅱ若，为对角线，则，的中点重合；
，
解得，
；
Ⅲ若，为对角线，则，的中点重合，
，
解得，
，
综上所述，的坐标为或或． 

【解析】将点代入可得，直线的表达式为，把点代入得，故；
连接，过作轴于，由，，知是等腰直角三角形，，根据点与点关于直线对称得，，故点的坐标为；
设，，又，，分三种情况，由平行四边形对角线互相平分列方程可解得答案．
本题考查反比例函数，一次函数的综合应用，涉及待定系数法，轴对称，平行四边形等知识，解题的关键是方程思想的应用．
 

23.【答案】证明：如图，

由旋转得：，，
，
，
，
≌；
证明：如图，在等腰直角三角形中，，

，
点，分别为，的中点，
是的中位线，
，，，
，，，
，，
≌，
，
；
解：分两种情况：
如图，时，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
当的长度为时，为等腰三角形；
如图，当时，，

，，
，
，
当的长度为时，为等腰三角形；
综上，当的长度为或时，为等腰三角形． 

【解析】根据可证明≌；
证明≌，可得，从而根据两角的和可得结论；
分两种情况：如图，时，如图，当时，分别根据等腰三角形的性质可得结论．
本题是几何变换的综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，也考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．