江西省赣州市寻乌县2022届九年级上学期期末检测数学试卷(含解析)

2021-2022学年度第一学期期末检测题

九年级数学

一、选择题（每题3分，共18分）

1. 在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（    ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④

2. 方程的解是（    ）

A. －2 B. 1，－2 C. －1，1 D. －1，3

3. 已知点关于x轴对称点的坐标是(-1，2)，则点的坐标为(     )

A. (1，2) B. (1，-2) C. (2，-1) D. (-1，-2)

4. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC度数是　　

A. 55° B. 60° C. 65° D. 70°

5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（　　）

A. 30° B. 40° C. 45° D. 50°

6. 已知二次函数的图象与x轴交于点与，其中，方程的两根为m，n（m<n），则下列判断正确的是（    ）

A.  B.  

C.  D.

二、填空题（每题3分，共18分）

7. “清明时节雨纷纷”是_______事件．(填“必然”“不可能”或“随机”)

8. 抛物线的对称轴是直线______．

9. 已知圆锥的母线长为10，侧面积为，则其侧面展开图的圆心角度数为________度．

10. 已知α、β是一元二次方程x2-2021x+2020=0的两实根，则代数式(α-2021)(β-2021)=___．

11. 如图，在中，直径，弦于，若，则____

12. 如图，已知⊙P的半径是1，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为_____．

三、解答题（每题6分，共30分）

13. （1）解方程：

（2）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转50°后得到，若∠A＝100°，求证：．

14 先化简，再求值：，其中实数m可使关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个相等的实数根．

15. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．

（1）求证：∠A＝∠BCD；

（2）若AB＝10，CD＝6，求BE的长．

16. 某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m，200m，分别用、、表示；田赛项目：跳远，跳高分别用、表示．

该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为______；

该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．

17. 等腰△ABC中，，以AB为直径作圆交BC于点D，请仅用无刻度的直尺．根据下列条件分别在图1、图2中画一条弦，使这条弦的长度等于弦BD．（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）

（1）如图1，；

（2）如图2，

四、解答题（每题8分，共24分）

18. 在平面直角坐标系中，△ABC位置如图所示．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）

（1）画出△ABC关于原点对称的；

（2）将绕点C′顺时针旋转90°，画出旋转后得到的，并直接写出此过程中点A′运动的路径长度．（结果保留π）

19. 如图1，在Rt△ABC中，D为AB的中点，P是BC边上一动点，连接PD，PA．若BC＝4，AC＝3，设PC＝x（当点P与点C重合时，x的值为0），．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．

（1）通过取点、画图、计算，得到了x与y几组值，如下表：

说明：补全表格时，相关数值保留一位小数．

（参考数据：，，）．

（2）如图2，描出剩余的点，并用光滑的曲线画出该函数的图象．

（3）观察图象，下列结论正确的有______．

①函数有最小值，没有最大值              ②函数有最小值，也有最大值

③当时，y随着x的增大而增大        ④当y>5.5时，x的取值范围是x>2.5

20. 某超市对进货价位元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量（千克）与销售价（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．

（1）求关于的函数关系式（不要求写出的取值范围）；

（2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？

五、解答题（每题9分，共18分）

21. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．

（1）证明：AB是⊙O的直径

（2）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）若DE的长为3，∠BAC＝60°，求⊙O的半径．

22. 通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．

（1）思路梳理

∵AB=CD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．

∵∠ADC=∠B=90°，

∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．

根据　　　　，易证△AFG≌　　　　，得EF=BE+DF．

（2）类比引申

如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系　　　　时，仍有EF=BE+DF．

（3）联想拓展

如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．

六、解答题（共12分）

23. 已知抛物线与x轴只有一个公共点．

（1）若抛物线过点，求的最小值；

（2）已知点中恰有两点在抛物线上．

①求抛物线解析式；

②设直线l：与抛物线交于M，N两点，点A在直线上，且，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和直线l于点B，C．求证：与的面积相等．

答案

1. B

解：如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，

故选B．

2. C

∵

∴

∴

∴或

∴，

故选：C．

3. D

根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点，

∴点关于x轴对称点的坐标是(-1，2)，则点的坐标为（-1，-2）．

故选：D．

4. C

∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．

∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE，

∴∠ACD=90°-20°=70°，

∵点A，D，E在同一条直线上，

∴∠ADC+∠EDC=180°，

∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°，

∴∠ADC=∠E+20°，

∵∠ACE=90°，AC=CE

∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45°

在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，

即45°+70°+∠ADC=180°，

解得：∠ADC=65°，

故选C．

5. B

解：△AOB中，OA=OB，∠ABO=50°，
∴∠AOB=180°-2∠ABO=80°，

故选B．

6. D

A：两函数的对称轴不变所以n＞，选项说法错误不符合题意；

B：方程有根所以＞0，选项说法错误不符合题意；

C：，选项说法错误不符合题意；

D：a＞0时，开口向上图象向下平移；a＜0时，开口向下图象向上平移，选项说法正确符合题意．

故答案选：D

7. 随机

“清明时节雨纷纷”这一事件可能发生，也可能不发生，因此这个事件是随机事件，

故答案为随机.

8. x＝1

解：抛物线，

该抛物线的对称轴是直线，

故答案是：．

9. 108

圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形所在圆的半径为圆锥的母线长

设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为度

则，即

解得

故答案为：108．

10. 2020

解：∵α、β是一元二次方程x2-2021x+2020=0的两实根，

∴α+β=2021，αβ=2020，

∴（α-2021）（β-2021）=αβ-2021（α+β）+20212

=2020-2021×2021+20212

=2020．

故答案为：2020．

11.

由圆周角定理得，∠COB=2∠A=60°，

∴CE=OC•sin∠COE=2×=，

∵AE⊥CD，

∴CD=2CE=2，

故答案为2.

12. （3，1）或（﹣1，1）或（1，﹣1）

解：设点P（x，y），，

∵⊙P与x轴相切

∴|y|＝1

∴y＝±1

①当y＝1时，，

解得：x1＝3，x2＝－1

∴点P（3，1），（－1，1）

②当y＝－1时，，

解得：x＝1

∴点P（1，－1）

故答案为（3，1）或（－1，1）或（1，－1）

13. （1）解：

或

所以  或

（2）证明：∵∠ABC＝30°，∠A＝100°，

∴∠C＝50°．

∵△ABC绕点B逆时针旋转50°后得到，

∴，，

∴，

∴．

14.解：＝•＝

∵一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个相等的实数根，

∴△＝b2﹣4ac＝16+4m＝0，

∴m＝﹣4

将m＝﹣4代入原式

＝＝＝．

15. (1)∵直径AB⊥弦CD，

∴,

∴∠A=∠BCD；

(2)连接OC，

∵直径AB⊥弦CD，CD=6，

∴CE=ED=3，

∵直径AB=10，

∴CO=OB=5，

在Rt△COE中，∵OC=5，CE=3，

∴OE==4，

∴BE=OB﹣OE=5﹣4=1．

16. （1）∵5个项目中田赛项目有2个，∴该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：．

故答案为；

（2）画树状图得：

∵共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的有12种情况，∴恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为：．

17. 解：（1）如图1，DE为所作：

（2）如图2，DE为所作：

18. （1）

如图所示，即为所求

（2）

如图所示，即为所求

∵，

∴点A′运动的路径长为．

19. （1）

如图1，取BC中点H，连接DH

∵点D、H分别为AB、BC的中点

∴，且DH为△BAC的中位线

∴DH∥AC且，

又∵AC⊥BC

∴DH⊥BC

当PC＝x＝1时，

∴，

∴

当PC＝x＝1时，同理可得

故答案为：5.0；6.0．

（2）

描点绘制函数图像如图2所示：

（3）

由函数图像可知，函数有最小值，也有最大值，故①错误，②正确；

由函数图像并结合表格中数据可知，函数图像最低点近似在x=1.25处，所以当时，y随着x的增大而增大，故③正确；

当y>5.5时，x的取值范围是2.5<x≤4，故④错误；

故答案为：②③．

20. （1）设y=kx+b，由图象可知，，
解得：，则y=-4x+160;

（2）设销售利润为P，根据题意，
得：P=（x-20）（-4x+160）
=-4x2+240x-3200，
=-4（x-30）2+400，
则当x=30时，P最大值=400，
答：当售价为30元/千克时，该品种苹果的每天销售利润最大，最大利润是400元．

21. （1）

解：如图所示，连接AD

∵AB＝AC，BD＝DC，

∴AD⊥BC即∠ADB＝90°，

∴AB是⊙O的直径．

（2）

解：DE与⊙O相切，理由如下：

如图所示，连接OD，

∵OB＝OA，BD＝DC，

∴OD是△ABC的中位线，

∴．

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD即∠ODE＝90°，

∴DE与⊙O相切．

（3）

解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝60°，

∴∠BAD＝∠DAE＝30°．

∵DE⊥AC，AD⊥BD，

∴AD＝2DE＝6，AB＝2BD．

在△ABD中，，

∴，

解得．

∴，

∴⊙O的半径为．

22. 解：（1）思路梳理
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1，

∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
则∠DAG=∠BAE，AE=AG，BE=DG，
∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF，
即∠EAF=∠FAG，
在△EAF和△GAF中，，

∴△AFG≌△AEF（SAS）．

∴EF=FG=DG+DF=BE+DF；
故答案为：SAS；△AFG；

（2）类比引申
∠B+∠ADC=180°时，EF=BE+DF；理由如下：
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2所示：

∴∠BAE=∠DAG，BE=DG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，

∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF，
∴EF=BE+DF，
故答案为：∠B+∠ADC=180°；
（3）联想拓展
猜想：DE2=BD2+EC2．理由如下：
把△ACE绕点A逆时针旋转90°到ABF的位置，连接DF，如图3所示：

则△ABF≌△ACE，∠FAE=90°，
∴∠FAB=∠CAE．BF=CE，∠ABF=∠C，
∴∠FAE=∠BAC=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠FAD=90°-45°=45°，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
在△ADF和△ADE中，

∴△ADF≌△ADE（SAS），
∴DF=DE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，
∴∠C=∠ABF=45°，
∴∠DBF=∠ABF+∠ABC=90°，
∴△BDF是直角三角形，
∴BD2+BF2=DF2，
∴BD2+EC2=DE2．

23. 解：因为抛物线与x轴只有一个公共点，

以方程有两个相等的实数根，

所以，即．

（1）因为抛物线过点，所以，

所以，即．

所以，

当时，取到最小值．

（2）①因为抛物线与x轴只有一个公共点，

所以抛物线上的点只能落在x轴的同侧．

又点中恰有两点在抛物线的图象上，

所以只能是在抛物线的图象上，

由对称性可得抛物线的对称轴为，所以，

即，因为，所以．

又点在抛物线的图象上，所以，

故抛物线的解析式为．

②由题意设，则．

记直线为m，分别过M，N作，垂足分别为E，F，

即，

因为，所以．

又，所以，所以．

所以，所以，即．

所以，

即．①

把代入，得，

解得，

所以．②

将②代入①，得，

即，解得，即．

所以过点A且与x轴垂直的直线为，

将代入，得，即，

将代入，得，

即，

所以，因此，

所以与的面积相等．