高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程一课一练

2.6.1 双曲线的标准方程——2022-2023学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第一册同步课时训练

一、   概念练习

1.已知双曲线上的点P到的距离为15，则点P到点的距离为(   )

A.7 B.23 C.5或25 D.7或23

2.已知分别是双曲线的右顶点与虚轴的上端点,是双曲线C的右焦点,直线与双曲线C的一条渐近线垂直,则双曲线C的标准方程为(   )

A. B. C. D.

3.已知点为双曲线的右焦点,点,且.该双曲线的其中一条渐近线的倾斜角的余弦值为,则该双曲线的标准方程为(   )

A. B. C. D.

4.双曲线的焦距为4，圆与双曲线C及C的一条渐近线在第一象限的交点分别为A，B，若点B的纵坐标是点A纵坐标的2倍，则C的方程为(   )

A. B. C. D.

5.已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(   )

A. B. C. D.

二、能力提升

6.已知定点，，N是圆上任意一点，点关于点N的对称点为M，线段的中垂线与直线相交于点P，则点P的轨迹方程是(   )

A. B. C. D.

7.动圆P过定点，且与已知圆相切，则动圆圆心P的轨迹方程是(   )
A. B.
C. D.

8. （多选）已知中心在原点，且关于坐标轴对称的双曲线M的离心率为，且它的一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线M的方程可能是(   )

A. B. C. D.

9. （多选）已知方程表示的曲线为C.则以下四个判断正确的为(   )

A.当时，曲线C表示椭圆

B.当或时，曲线C表示双曲线

C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则

D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则

10. （多选）已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，，则下列结论中正确的是(   )

A.E的标准方程为

B.E的离心率等于

C.E与双曲线的渐近线相同

D.直线与E有且仅有一个公共点

11.已知A，B分别是双曲线的右顶点与虚轴的上端点，是双曲线C的右焦点，直线AB与双曲线C的一条渐近线垂直，则双曲线C的标准方程为_________.

12.经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为__________.

13.已知双曲线过点，且以实轴的两个端点与虚轴的一个端点为顶点能组成一个等边三角形，则双曲线的方程为___________.

14.已知的两个顶点A，B分别为椭圆的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式.

(1)求线段AB的长度；

(2)求顶点C的轨迹方程.

15.已知，当k满足什么条件时:
（1）方程表示双曲线；
（2）方程表示焦点在x轴上的双曲线；
（3）方程表示焦点在y轴上的双曲线.

答案以及解析

1.答案：D

解析：设双曲线的左、右焦点分别为，.由题意得，，，则由双曲线的定义知，||，而，所以或.故选D.

2.答案：B

解析：由题意得,易知线与渐近线垂直,,得,,双曲线C的标准方程为.

3.答案：C

解析：因为点,所以.因为双曲线的其中一条渐近线的倾斜角的余弦值为,所以倾斜角为,所以渐近线的方程为,即.由解得所以该双曲线的标准方程为.故选C.

4.答案：D

解析：由题意，双曲线的焦距为4，

可得，即，即，

又由双曲线的一条渐近线方程为，

联立方程组，整理得，即，可得，

又由方程组，整理得，

即，可得，

因为点B的纵坐标是点A纵坐标的2倍，可得，解得，

所以，

所以双曲线的方程为.

故选：D.

5.答案：A

解析：原方程表示双曲线，且焦距为4，

①

或②

由①得，.②无解.故选A.

6.答案：B

解析：如图，当点P在y轴左侧时，连接，，

则，所以.

结合为线段的垂直平分线，

可得，

所以.

同理，当点P在y轴左侧时.

故点P的轨迹是双曲线，其方程为.

7.答案：C

解析：由已知得，当两圆内切时，定圆N在动圆P的内部，有；当两圆外切时有，故，由双曲线的定义知点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线，且，，所以，，故圆心P的轨迹方程为.

8.答案：AB

解析：焦点到一条渐近线的距离为b，所以，因为，所以，所以该双曲线的方程为或.

9.答案：BCD

解析：由，得，满足，此时方程表示圆，故A选项错误；
由双曲线的定义可知，当，即或时，方程表示双曲线，故B选项正确；
由椭圆的定义可知，当椭圆的焦点在x轴上时，满足，解得，故C选项正确；
若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则解得，故D选项正确.
故选BCD.

10.答案：ACD

解析：设双曲线方程为，

由已知得解得

故双曲线的标准方程为，

故A选项正确；离心率，

故B选项错误；E的渐近线方程为，

双曲线的渐近线方程为，

故C选项正确；联立

消去x得，

，故D选项正确.

11.答案：

解析：由题意得，双曲线的渐近线方程为，

，，，

又，，，

双曲线C的标准方程为.

12.答案：

解析：与双曲线有公共渐近线的双曲线的方程可设为，

双曲线过，，

因此，即，

故答案为.

13.答案：

解析：因为以实轴的两个端点与虚轴的一个端点为顶点能组成一个等边三角形，所以，即，又因为双曲线过点，所以，解得，，故双曲线的方程为.

14.答案：(1)线段AB常长为4.

(2)顶点C的轨迹方程为.

解析：(1)将椭圆方程化为标准形式为，

可得，，故.

(2)，

由正弦定理，得

，

即动点C到两定点A，B的距离之差为定值，

动点C的轨迹是双曲线的右支，且，，

.

故顶点C的轨迹方程为.

15.答案：（1）原方程可变形为.
要使方程表示双曲线，必须满足，
即或,解得或.
（2）若方程表示焦点在x轴上的双曲线，
则,解得.
（3）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，
则,解得.