高中2.7.2 抛物线的几何性质课后测评

2.7.2 抛物线的几何性质——2022-2023学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第一册同步课时训练

一、   概念练习

1.已知O为坐标原点，直线与抛物线交于D，E两点，直角三角形DOE的面积为16，则点D到抛物线C焦点F的距离为(   )

A.2 B. C.4 D.5

2.苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图（1），两栋建筑第八层由一条长60 m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150 m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30 m，如图（2），则此抛物线顶端O到连桥AB的距离为(   )

A.180 m B.200 m C.220 m D.240 m

3.若点在抛物线上，则下列点中一定在该抛物线上的是(   )

A. B. C. D.

4.设拋物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于点O的一点，过点P作于点Q，则线段FQ的垂直平分线(   )

A.经过点O B.经过点P C.平行于直线OP D.垂直于直线OP

5.已知点均在抛物线上,下列说法中正确的是(   )

A.若,则  B.若,则

C.若,则 D.若,则

二、能力提升

6.抛物线上一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是(   )

A.            B.              C.0            D.

7.已知抛物线的焦点为F，准线为是准线l上一点，Q是直线与抛物线C的一个交点.若，则(   )

A. B. C.3 D.2

8. （多选）设拋物线的焦点为F，点M在抛物线C上，，若以MF为直径的圆过点，则p的值可以为(   )

A.2 B.4 C.8 D.16

9. （多选）经过点的抛物线的标准方程可以为(   )

A. B. C. D.

10. （多选）设抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，.若以为直径的圆过点，则抛物线C的方程可能为(   )

A. B. C.  D.

11.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p的值为_________.

12.若抛物线过点，则抛物线的标准方程为______________.

13.已知抛物线上存在两个不同的点关于直线对称，则实数k的取值范围为_______________.

14.如图所示,圆形水池中央有一喷泉,水管,水从喷头喷出后呈抛物线状,向上至最高点后落下.若最高点距离水面距离抛物线的对称轴,则水池的直径至少应设计为多大(精确到)?

15.已知抛物线的焦点为是抛物线上一点且三角形MOF的面积为(其中O为坐标原点)，不过点M的直线l与抛物线C交于P,Q两点，且以PQ为直径的圆经过点M，过点M作交PQ于点N.

(1)求抛物线C的方程；

(2)求证直线PQ恒过定点，并求出点N的轨迹方程.

答案以及解析

1.答案：D

解析：因为直线与抛物线交于D，E两点，且，

则由抛物线的对称性得，所以，则直角三角形DOE的面积为，解得(舍负)，则.

将点D代入得，故点D到抛物线C的焦点F的距离为，故选D.

2.答案：B

解析：建系如图，设抛物线方程为，由题意设，，则解得，.所以此抛物线顶端O到连桥AB的距离为.故选B.

3.答案：B

解析：由抛物线关于x轴对称易知，点一定在该抛物线上.

4.答案：B

解析：连接PF.由题意及抛物线的定义可知，则为等腰三角形，则线段FQ的垂直平分线经过点P.

5.答案：D

解析：由于抛物线的图象关于y轴对称,开口向上,分别判断如下:对于A.若,则;对于B.若,则;对于C,若,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大,则;对于D,若,即在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,则．故D正确．

6.答案：B

解析：抛物线的准线方程为，设点M的纵坐标是y.因为抛物线上一点M到焦点的距离为1，所以点M到准线的距离为1，即，所以，所以点M的纵坐标是.故选B.

7.答案：C

解析：过点Q作交准线l于点Q′，设准线l与x轴的交点为F′.因为，所以.又焦点F到准线l的距离为4，所以.故选C.

8.答案：AC

解析：拋物线C的焦点，设点，则，.又圆心是MF的中点，所以圆心的横坐标是，圆的半径也为，所以圆与y轴相切，切点就是，则圆心为，，将点M的坐标代入拋物线方程，整理得，解得或.故选AC.

9.答案：AD

解析：点在第四象限，则抛物线的焦点可能在x轴正半轴或y轴负半轴.当拋物线的焦点在x轴正半轴时，设抛物线方程为，将点P的坐标代入，得，则抛物线的方程为；当抛物线的焦点在y轴负半轴时，设抛物线的方程为，将点P的坐标代入，得，则抛物线的方程为.故选AD.

10.答案：AC

解析：由题意可知，抛物线C的焦点，设点，抛物线C上点，则.由已知得，，即，解得.由得，.又，解得或，则抛物线C的方程为或.故选AC.

11.答案：6

解析：双曲线的方程为，

，，可得，

因此双曲线的右焦点为，

抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，，解得.

12.答案：或

解析：由在第二象限，得抛物线的开口向上或开口向左，设其标准方程为或.将的坐标代入得或，解得或，

因此所求抛物线的标准方程为或.

13.答案：

解析：设关于直线对称，，即.设线段的中点为，则.中点P在内，，解得或.

14.答案：建立如图所示的平面直角坐标系,过作轴的垂线,交轴于点,交抛物线于点.

设抛物线的方程为.

依题意有在此抛物线上,

代入得,

所以抛物线方程为.

又点在抛物线上,设,代入抛物线方程,

得,即,

则,

因此水池的直径至少为,约为.

解析：

15.答案：(1).

(2).

解析：(1)由题意得，故，解得，
故拋物线C的方程为.
(2)易得，由题意可设直线PQ的方程为，
，由，消去x，得，
故.
因为，所以，即.
整理得，
即，即，所以，所以或.
当，即时，直线PQ的方程为，此时直线过点，不合题意舍去；
当，即时，直线PQ的方程为，此时直线PQ恒过定点.
设，则由，即，得，
即，即轨迹是以MH为直径的圆(除去点).