初中数学17.2 勾股定理的逆定理同步训练题

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2021-2022学年八年级数学下学期期中期末必考题精准练
必考点04 勾股定理的逆定理及应用


●题型一 利用边长关系判定直角三角形
【例题1】（2021春•环江县期末）下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（　　）
A．1，2，3 B．1，，2 C．4，5，6 D．2，3，4
【答案】B．
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】解：1+2＝3，A不能构成三角形；
12+（）2＝22，B能构成直角三角形；
22+32≠42，C不能构成直角三角形；
42+52≠62，D不能构成直角三角形；
故选：B．
【例题2】满足下列条件的三角形是直角三角形的有（ 　　）个．
（1）在△ABC中，∠A＝15°，∠B＝75°；（2）在△ABC中，AB＝12，BC＝16，AC＝20；
（3）一个三角形三边长之比为5：12：13；（4）一个三角形三边长a、b、c满足a2﹣b2＝c2．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D.
【分析】根据三角形的内角和定理或勾股定理的逆定理即可进行判断，从而得到答案．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠A＝15°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣15°﹣75°＝90°，
故是直角三角形；
（2）∵122+162＝202，
∴三边长分别为12，16，20的三角形是直角三角形．
（3）∵52+122＝132，
∴三边长之比为5：12：13的三角形是直角三角形．
（4）∵a2﹣b2＝c2，
∴a2＝b2+c2，
故是直角三角形．
故选：D．
【解题技巧提炼】
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．

●题型二 根据三边满足的关系式判断三角形的形状
【例题3】若△ABC三边长a，b，c满足，则△ABC是　 　三角形．
【答案】直角.
【分析】先根据非负数的性质求得a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理解答．
【解答】解：∵＝0，
∴，解得．
∵42+32＝52，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角．
【解题技巧提炼】
本题的解题过程中主要运用了非负数的性质及勾股定理的逆定理，已知三角形的三边长，判断三角形是否为直角三角形，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.
●题型三 互逆命题与互逆定理
【例题4】下列四个命题：（1）两条直线平行，内错角相等；（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；（3）全等三角形的对应角相等；（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们的逆命题不成立的有（　　）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（4）
【答案】B．
【分析】分别写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【解答】解：（1）两条直线平行，内错角相等的逆命题为：内错角相等，两直线平行，成立，不符合题意；
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题为绝对值相等的两个实数相等，不成立，符合题意；
（3）全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的两个三角形全等，不成立，符合题意；
（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的逆命题为角平分线上的点到角的两边的距离相等，成立，不符合题意，
成立的有（2）（3），
故选：B．
【解题技巧提炼】
1.把一个命题的题设和结论交换位置就得到原命题的逆命题，判断一个命题是真命题要证明，判断一个命题是假命题只要举一个反例即可.
2.判断一个定理是否有逆定理的方法：先把定理作为命题，写出它的逆命题，然后判断其逆命题是否正确，如果不正确，举一个反例即可，如果是真命题，加以证明即可判断原定理有逆定理.
●题型四 勾股数
【例题5】下列各组数：①1、2、3；②，，2；③0.3、0.4、0.5；④9、40、41，其中是勾股数的
是　 （填序号）．
【答案】④．
【分析】勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解．
【解答】解：①1、2、3，因为1+2＝3，无法组成三角形，所以不是勾股数；
②，不是正整数，不属于勾股数；
③0.3、0.4、0.5不是正整数，不属于勾股数；
④因为92+402＝412，所以9、40、41属于勾股数；
故答案为：④．
【解题技巧提炼】
勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…


●题型五 利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状
【例题6】如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，请你判定△BEF的形状，并说明理由．

【分析】根据勾股定理求出BE2、EF2、BF2，根据勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】解：∵△BEF是直角三角形，
理由是：∵在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，
∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝DC＝BC＝4，DE＝4﹣2＝2，CF＝4﹣1＝3，
∵由勾股定理得：BE2＝AB2+AE2＝42+22＝20，EF2＝DE2+DF2＝22+12＝5，BF2＝BC2+CF2＝42+32＝25，
∴BE2+EF2＝BF2，
∴∠BEF＝90°，
即△BEF是直角三角形．
【解题技巧提炼】
本题考查了正方形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出BE2+EF2＝BF2，
注意：一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．

●题型六 利用勾股定理的逆定理进行证明或计算
【例题7】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6．求证：BA⊥AD．

【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，根据SAS推出△ADC≌△EDB，根据全等三角形的性质得出BE＝AC＝13，求出AB2+AE2＝BE2，根据勾股定理的逆定理得出即可．
【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵BC边上的中线AD＝6，
∴AE＝12，BD＝DC，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝13，
∵AB2+AE2＝52+122＝169，BE2＝132＝169，
∴AB2+AE2＝BE2，
∴∠BAE＝90°，
∴BA⊥AD．

【例题8】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PB＝1，PC＝2，
PA＝3，求∠BPC的度数．

【分析】根据旋转的性质得到CP＝CD＝2，∠DCP＝90°，DB＝PA＝3，则△CPD为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得PD＝PC＝2，∠CPD＝45°，由PB＝1，PD＝2，DB＝3，易得PB2+PD2＝BD2，根据勾股定理的逆定理得到△PBD为直角三角形，即可得到∠BPC的度数．
【解答】解：如图，把△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD，连接DP，

∵△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD，
∴CP＝CD＝2，∠DCP＝90°，DB＝PA＝3，
∴△CPD为等腰直角三角形，
∴PD＝PC＝2，∠CPD＝45°，
在△PDB中，PB＝1，PD＝2，DB＝3，
而12+（2）2＝32，
∴PB2+PD2＝BD2，
∴△PBD为直角三角形，
∴∠DPB＝90°，
∴∠BPC＝45°+90°＝135°．
【解题技巧提炼
上面的两个题所给的已知条件相对分散时，可以考虑添加辅助线将分散的条件集中在一起，利用了旋转的性质：旋转前后两个图形全等，即对应角相等，对应线段相等；也考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理以及逆定理的运用．
●题型七 勾股定理的逆定理的实际应用
【例题9】（2021秋•常宁市期末）如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m．
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）求喷泉B到小路AC的最短距离．

【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理的逆定理和垂线段解答即可．
【解答】解：（1）在Rt△MNB中，BN＝＝＝90（m），
∴AN＝AB﹣BN＝250﹣90＝160（m），
在Rt△AMN中，AM＝＝＝200（m），
∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长＝200+150＝350（m）；
（2）∵AB＝250m，AM＝200m，BM＝150m，
∴AB2＝BM2+AM2，
∴△ABM是直角三角形，
∴BM⊥AC，
∴喷泉B到小路AC的最短距离是BM＝150m．
【解题技巧提炼
运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题，另外此题还还考查了，点到线的距离，垂线段最短.

●题型八 勾股定理及其逆定理的综合运用
【例题10】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，∠A＝60°，∠D＝150°，已知四边形的周长为42，求四边形ABCD的面积．

【分析】连接BD，易证△ABD是等边三角形，△BCD是直角三角形，因而只要求出CD与BD的长就可以求出结果．
【解答】解：连接BD，作DE⊥AB于E，
∵AB＝AD＝12，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，∠ADE＝30°，
∴AE＝BE＝AB＝6，∠ADB＝60°，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，
∴DE＝＝＝6，
∴S△ABD＝AB•DE＝×12×6＝36，
∵∠ADC＝150°，
∴∠CDB＝∠ADC﹣∠ADB＝150°﹣60°＝90°，
∴△BCD是直角三角形，
又∵四边形的周长为42，
∴CD+BC＝42﹣AD﹣AB＝42﹣12﹣12＝18，
设CD＝x，则BC＝18﹣x，
在Rt△ADE中，BC2＝CD2+BD2，
∴122+x2＝（18﹣x）2，
解得x＝5，
∴S△BDC＝×12×5＝30，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝36+30．

【解题技巧提炼
不规则图形的面积不能直接求得，往往通过割补转化法将不规则图形的面积割补为规则图形的面积的和或差，本题中通过连线构造出直角三角形，将不规则图形面积转化为两个直角三角形的面积差，利用勾股定理求出各线段的长，从而计算出三角形的面积.


◆题型一 利用边长关系判定直角三角形
1．（2021秋•阜宁县期末）下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　）
A．a＝1，b＝2， B．a：b：c＝3：4：5
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【答案】D．
【分析】A、根据勾股定理的逆定理进行判定即可；
B、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状；
C、根据三角形的内角和为180度，即可计算出∠C的值；
D、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状．
【解答】解：A、正确，12+2＝22符合勾股定理的逆定理，故成立；
B、正确，因为a：b：c＝3：4：5，所以设a＝3x，b＝4x，c＝5x，则（3x）2+（4x）2＝（5x）2，故为直角三角形；
C、正确，因为∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，故为直角三角形；
D、错误，因为∠A：∠B：∠C＝3：4：5，所以设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，故3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，3x＝15×3＝45°，4x＝15×4＝60°，5x＝15×5＝75°，故此三角形是锐角三角形．
故选：D．
◆题型二 根据三边满足的关系式判断三角形的形状
2.△ABC的三边长为a、b、c，且满足c2＝4a2，b2＝3a2，则△ABC是　 　三角形．
【答案】直角.
【分析】利用勾股定理以及勾股定理的逆定理解决问题即可．
【解答】解：△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝15，AC＝12，
BC＝＝＝9．
∵c2＝4a2，b2＝3a2，
∴c2﹣b2＝4a2﹣3a2＝a2，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角
3．△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足：a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断三角形的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2）．﹣﹣﹣﹣②
∴c2＝a2+b2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣③
∴△ABC为直角三角形．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣④
上述解答过程中，第　 　步开始出现错误．正确答案应为△ABC是　 　三角形．
【答案】：③，等腰三角形或直角．
【分析】把等式两边分解因式，左右两边同除以相同的因式，可得c2＝a2+b2，根据勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状．
【解答】解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，
∴c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2）＝（a+b）（a﹣b）（a2+b2），
∵a+b≠0，
∴a＝b或c2＝a2+b2，
∴该三角形是等腰三角形或直角三角形，
∴第③步开始出现错误．正确答案应为△ABC是等腰三角形或直角三角形，
故答案为：③，等腰三角形或直角．

◆题型三 互逆命题与互逆定理
4．（2021秋•信都区月考）下列定理中，没有逆定理的是（　　）
A．直角三角形的两锐角互余 B．同位角相等，两直线平行
C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补
【分析】分别写出四个命题的逆命题，逆命题是真命题的就是逆定理，不成立的就是假命题，就不是逆定理．
【解答】解：A、直角三角形两锐角互余逆定理是两锐角互余的三角形是直角三角形；
B、同位角相等，两直线平行逆定理是两直线平行，同位角相等；
C、对顶角相等的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，逆命题是假命题；
D、两直线平行，同旁内角互补逆定理是同旁内角互补，两直线平行；
故选：C．

◆题型四 勾股数
5．下列四组数：①0.6，0.8，1；②5，12，13； ③8，15，17；④4，5，6．其中是勾股数的组数为　 　．
【答案】②
【分析】满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数，依此即可求解．
【解答】解：①0.62+0.82＝12，不是整数，不是勾股数；
②52+122＝132，是勾股数；
③82+152＝172，是勾股数；
④42+52≠62，不是勾股数；
其中是勾股数的组为②．
◆题型五 利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状
6．如图所示，正方形ABCD中，E为AD的三等分点，且AE＝AD，G为DC上一点，且DG：GC＝2：7，那么BE与EG垂直吗？请说明你的理由．

【分析】设正方形ABCD的边长为9x，由E为AD的三等分点，且AE＝AD，且DG：GC＝2：7可知，AE＝3x，DG＝×9x＝2x，CG＝7x，再根据勾股定理用x表示出BE2、EG2及BG2的值，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【解答】垂直．理由如下：设正方形ABCD的边长为9x，
∵E为AD的三等分点，且AE＝AD，
∴AE＝3x，
∵DG：GC＝2：7，
∴DG＝×9x＝2x，CG＝7x，
在Rt△AEB中，
∵AB＝9x，AE＝3x，
∴BE2＝AB2+AE2＝（9x）2+（3x）2＝90x2；
同理可得，EG2＝ED2+DG2＝（6x）2+（2x）2＝40x2；
BG2＝BC2+CG2＝（9x）2+（7x）2＝130x2；
∵90x2+40x2＝130x2，即BE2+EG2＝BG2，
∴△BEG是直角三角形，且∠BEG＝90°，
∴BE⊥EG．


◆题型六 利用勾股定理的逆定理进行证明或计算
7．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，AD是边BC上的中线，E在AD的延长线上，AD＝ED＝6，求△ABC的面积．

【分析】首先证得△ABD≌△ECD（SAS），得出AB＝CE＝5，利用勾股定理逆定理证得△ACE是直角三角形，求得△ACE的面积，即可得出△ABC的面积．
【解答】解：∵AD是边BC上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝CE＝5，
∵AE＝AD+ED＝12，AC＝13，CE＝5，
∴AE2+CE2＝AC2，
∴△ACE是直角三角形，
∴△ABC的面积＝△ACE的面积＝×5×12＝30．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点且PA＝3，PB＝1，PC＝CD＝2，CD⊥PC．（1）△CAP与△CBD全等吗？请说明理由；（2）求∠BPC的度数．

【分析】（1）根据SAS证明△CAP与△CBD全等即可；
（2）利用勾股定理的逆定理得出△PDB是直角三角形，进而解答即可．
【解答】解：（1）△CAP与△CBD全等，理由如下：
∵∠ACB＝90°，CD⊥PC，
∴∠ACB＝∠PCD＝90°，
∴∠ACP＝∠BCD，
在△CAP与△CBD中，
，
∴△CAP≌△CBD（SAS）；
（2）∵△CAP≌△CBD，
∴PA＝BD＝3，
∵PC＝CD＝2，CD⊥PC，
∴DP＝，∠CPD＝45°
∴DP2＝8＝BD2﹣PB2＝32﹣12＝8，
∴△BDP是直角三角形，
∴∠DPB＝90°，
∴∠BPC＝∠DPB+∠CPD＝135°．
◆题型七 勾股定理的逆定理的实际应用
9．如图所示，南北方向QP为我国的领海线，以西为公海，晚上10点28分，我边防反偷渡巡逻艇122号在A处发现其正西方向有一只可疑船只C之间的距离为10海里，A、B两艇之间的距离为6海里，B艇与可疑船只C之间的距离为8海里，若该可疑船只的速度为12.8海里/时，问该可疑船只最早在何时进入我国领海？

【分析】根据勾股定理的逆定理可得出△ABC是直角三角形，从而判定△CBD∽△CAB，然后利用相似三角形的性质可求出CD的长度，也可求出进入我领海的时间．
【解答】解：∵AC＝10，AB＝6，BC＝8，
∴AC2＝AB2+BC2，即△ABC是直角三角形，
又∵AB·BC=AC·BD，∴BD=4.8海里
在Rt△DCB中，BC=8海里，BD=4.8海里，
由勾股定理得：CD＝＝6.4海里，
又∵该船只的速度为12.8海里/小时，
∴需要＝0.5小时＝30分进入我领海．
即最早晚上10时58分进入我领海．
◆题型八 勾股定理及其逆定理的综合运用
10．（2021春•江夏区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，AD＝2，BC＝5，AB＝，CD＝2AD，求四边形ABCD的面积．

【分析】连接BD，根据勾股定理求出BD，求出BD2+CD2＝BC2，根据勾股定理的逆定理得出△BDC是直角三角形，再分别求出△ABD和△BDC的面积即可．
【解答】解：连接BD，

∵AB⊥AD，
∴∠A＝90°，
由勾股定理得：BD2＝AD2+AB2＝22+（）2＝4+5＝9，
即BD＝3，
∵CD＝2AD，AD＝2，
∴CD＝4，
∵BC＝5，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴△BDC是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
∴四边形ABCD的面积S＝S△ABD+S△BDC＝
＝×2+
＝+6，
答：四边形ABCD的面积是+6．




1．（2021秋•商河县期末）下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．2，3，4 B．，， C．4，6，9 D．3，4，5
【答案】D．
【分析】分别计算较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方即可．
【解答】解：A、∵22+32＝13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵（）2+（）2＝7≠（）2，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵42+62＝52≠92，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵32+42＝25＝52，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2＝c2+2ab，则这个三角形是（　　）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
【分析】对等式进行整理，再判断其形状．
【解答】解：化简（a+b）2＝c2+2ab，得，a2+b2＝c2所以三角形是直角三角形，
故选：C．
3．（2021秋•郓城县期中）若一个三角形的三边长为m+1，8，m+5，当m＝　 　时，这个三角形是直角三角形，且斜边长为m+5．
【答案】5.
【分析】当（m+1）2+82＝（m+5）2时，根据勾股定理的逆定理可得，这个三角形是直角三角形，且斜边长为m+5．解方程即可求出m．
【解答】解：由题意可得，（m+1）2+82＝（m+5）2，
解得m＝5．
故答案为5．
4．下列说法中：①每个命题都有逆命题； ②真命题的逆命题是真命题； ③假命题的逆命题是假命题；④每个定理都有逆定理；其中不正确的是 ；
【答案】②③④；
【考点】命题与定理；
【解答】解：①每个命题都有逆命题，本选项说法正确，符合题意； ②真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项说法错误，不符合题意； ③假命题的逆命题不一定是假命题，故本选项说法错误，不符合题意； ④每个定理都有逆命题，不一定有逆定理，故本选项说法错误，不符合题意；
故答案：②③④．
【分析】根据逆命题的概念、真假命题的概念判断即可．
5．（2021春•北海期末）如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入　 　元．

【答案】7200.
【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得三角形DBC为一直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解．
【解答】解：连接BD，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，
在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，
而122+52＝132，
即BC2+BD2＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝，＝＝36．
所以需费用36×200＝7200（元）．
故答案为：7200.

6．（2021秋•沐川县期末）如图，小正方形的边长均为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ACB的度数是（　 　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B．
【分析】分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出∠ACB的度数．
【解答】解：根据勾股定理可以得到：BC＝AB＝，AC＝，
∵（）2+（）2＝（）2，
即AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ACB＝45°．
故选：B．
7．三角形的三边之比为7：24：25，且周长为56，则此三角形的面积为（　　）
A．300 B．84 C．87.5 D．80
【答案】B
【分析】首先设三边长为7x，24x，25x，再根据周长求出每条边的长，然后利用勾股定理逆定理可判定此三角形为直角三角形，再利用三角形的面积公式计算出面积．
【解答】解：∵设三边长为7x，24x，25x，
∴7x+24x+25x=56，
解得：x=1，
∴三边长为7，24，25，
∵72+242=252，
∴此三角形为直角三角形，
∴此三角形的面积为： 12×7×24 =84，
故选：B．
8．（2021秋•渭城区期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠BCA＝60°，AC＝2，DA＝1，CD＝3．求∠DAB的度数．

【分析】根据AC＝2，DA＝1，CD＝3．易得AC2+DA2＝CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD＝90°，从而易求∠BAD．
【解答】解：∵AC＝2，DA＝1，CD＝3．
∴AC2+DA2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD＝90°，
∵∠B＝90°，∠BCA＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠DAB＝∠BAC+∠CAD＝30°+90°＝120°．

9．（2021秋•仓山区校级期末）已知三角形的三边分别为6，8，10，则最长边上的高等于 　 ．
【答案】4.8．
【分析】根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再根据三角形的面积公式得出S＝＝，再求出h即可．
【解答】解：设三角形的最长边上的高的长度是h，
∵三角形的三边分别为6，8，10，
∴62+82＝102，
∴三角形是直角三角形（斜边长是10），
∵三角形的面积S＝＝，
解得：h＝4.8，
10．（2021秋•新民市期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．
（1）线段AB的长度是　 　，线段CD的长度是　 　．
（2）若EF的长为，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．

【分析】（1）根据勾股定理，可以求得AB和CD的长；
（2）根据勾股定理的逆定理可以判断以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形．
【解答】解：（1）由图可得，
AB＝＝，CD＝＝2，
故答案为：，2；
（2）以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形，
理由：∵AB＝，CD＝2，EF＝，
∴CD2+EF2＝（2）2+（）2＝8+5＝13＝AB2，
∴以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形．
11．课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数；11，　 　；
（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律4＝，12＝，24＝，……，于是他很快表示了第二数为，则用含a的代数式表示第三个数为　 　．
【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；
（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一．
【解答】解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，
∴11，60，61；
故答案为：60，61；
（2）第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，第二数为，
则用含a的代数式表示第三个数为+1＝，
故答案为：．
12.（2021秋•阜宁县期末）如图，已知∠B＝45°，AB＝2cm，点P为∠ABC的边BC上一动点，
则当BP＝　 　cm时，△BAP为直角三角形．

【答案】或2．
【分析】由于直角顶点不能确定，故应分∠APB＝90°与∠BAP＝90°两种情况进行分类讨论．
【解答】解：当∠APB＝90°时，
∵∠B＝45°，AB＝2cm，
∴BP1＝AP1，
∴P1B2+P1A2＝4，
∴BP1＝；
当∠BAP＝90°时，
∵∠B＝45°，AB＝2cm，
∴AB＝AP2＝2，
∴BP2＝＝＝2．
故答案为：或2．


13．（2021秋•建湖县期末）如图，在△ABC中；AB＝AC，BC＝13，D是AB上一点，BD＝5，CD＝12．
（1）求证：CD⊥AB； （2）求AC长．

【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BC＝13，BD＝5，CD＝12，
∴BD2+CD2＝52+122＝132＝BC2，
∴△CDB是直角三角形，∠CDB＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：∵AB＝AC，
∴AC＝AB＝AD+BD＝AD+5，
∵∠ADC＝90°，
∴AC2＝AD2+CD2，
∴（AD+5）2＝AD2+122，
∴AD＝，
∴AC＝+5＝．
14．（2021秋•无锡期末）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，
且BD2﹣DA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；（2）若BC2＝56，AD：BD＝3：4，求AC的长．

【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，然后利用勾股定理逆定理可得结论；
（2）首先确定BD的长，进而可得CD的长，再利用勾股定理进行计算即可．
【解答】（1）证明：连接CD，
∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，
∴CD＝DB，
∵BD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2＝AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；
（2）解：∵BC2＝56，AD：BD＝3：4，
设AD＝3a，CD＝BD＝4a，
∴AC＝a，，
∴AB＝7a，
由勾股定理得：BC2＝AB2+AC2，
即，
∴AC＝．


15．（2021秋•临渭区期中）如图，在△ABC中，AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度运动至点B，动点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度运动至点C，P、Q两点同时出发．
（1）求∠B的度数；
（2）连接PQ，若运动2s时，求P、Q两点之间的距离．

【分析】（1）如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．依据勾股定理的逆定理进行判断即可；
（2）依据运动时间和运动速度，即可得到BP和BQ的长，再根据勾股定理进行计算，即可得到PQ的长．
【解答】解：（1）∵AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，
∴AB2+BC2＝625＝AC2，
∴△ABC是直角三角形且∠B＝90°；
（2）运动2s时，AP＝1×2＝2（cm），BQ＝2×6＝12（cm），
∴BP＝AB﹣AP＝7﹣2＝5（cm），
Rt△BPQ中，PQ＝＝＝13（cm），
即P、Q两点之间的距离为13cm．
16．如图，在△ABC中，AB＝30cm，BC＝35cm，∠B＝60°，有一动点E自A向B以2cm/s的速度运动，动点F自B向C以4cm/s的速度运动，若E、F同时分别从A、B出发．
（1）试问出发几秒后，△BEF为等边三角形？
（2）填空：出发　 　秒后，△BEF为直角三角形？

【分析】（1）设时间为x秒，表示出AE＝2x、BF＝4x、BE＝30﹣2x，根据等边三角形的判定列出方程，解得即可；
（2）分两种情况：①当∠BEF＝90°时，即可知∠BFE=30°，依据BE＝BF列出方程求解即可；
②当∠BFE＝90°时，∠BEF＝30°，依据BF＝BE，列出方程求解即可
【解答】解：（1）出发x秒后，△BEF为等边三角形，
则AE＝2x、BF＝4x、BE＝30﹣2x，
∵∠B＝60°，
∴当BE＝BF时，△BEF为等边三角形，
∴30﹣2x＝4x，解得x＝5，
即出发5秒后，△BEF为等边三角形；
（2）设经过x秒，△BEF是直角三角形，
①当∠BEF＝90°时，
∵∠B＝60°，∴∠BFE＝30°，
∴BE＝BF，即30﹣2x＝×4x，
解得：x＝7.5；
当∠BFE＝90°时，
∵∠B＝60°，∴∠BEF＝30°，
∴BF＝BE，即4x＝×（30﹣2x），
解得：x＝3，
综上所述，经过3秒或7.5秒，△BEF是直角三角形．