南通市通州区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

南通市通州区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．）

1. 下列图形中，一定是轴对称图形的是（    ）

A. 三角形 B. 等腰三角形 C. 四边形 D. 五边形

2. 下列计算正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食品和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将一粒芝麻的质量用科学记数法表示均为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 下列式子为最简二次根式的是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 把分式方程，的两边同时乘以x-2，约去分母，得（ ）

A. 1-(1-x)=1 B. 1+(1-x)=1 C. 1-(1-x)=x-2 D. 1+(1-x)=x-2

6. 等腰三角形的一个角是100°，则它的底角是（    ）

A. 40° B. 100° C. 40°或100° D. 40°或80°

7. 如图，已知，用直尺和圆规按以下步骤作出．

（1）画射线，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点；

（2）分别以，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点；

（3）连接，．

则能用于证明的依据是（    ）

A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS

8. 为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中荧光棒共花费40元，缤纷棒共花费30元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为元（      ）

A.  B.  C.  D.

9. 如图，中，，，分别是，边的中点，是上的动点，的最小值为（    ）

A. 3 B.  C. 4 D.

10. 已知，则的值为（    ）

A. 2021 B. 2022 C. 4043 D. 4044

二、填空题（本大题共8小题，第11~12小题每小题3分，第13~18小题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上．）

11. 若分式的值为0，则x=_________．

12. 点关于轴对称的点的坐标是______．

13. 已知（x+y）2＝18，xy＝5，则x2+y2的值为 _____．

14. 如图的三角形纸片中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为______．

15. 已知n是正整数，是整数，求n的最小值为___．

16. 在中，，，边上的中线，则的长为______．

17. 如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴正半轴上一点，且，则点的坐标是______．

18. 如图，是等边三角形，点在上，，，．是延长线上一点，．连接交于点，则的值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19. 计算：

（1）；

（2）．

20. 分解因式：

（1）；

（2）．

21. 先化简：，再将在，0，1，2中取一个合适的值代入求值．

22. 如图，在中，，点是边的中点，点在上．

求证：．

23. 某校八年级学生去距学校15km的课外实践基地活动，一部分学生骑自行车先走，过了45min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的4倍，求骑车学生的速度．

24. （1）如图1，中，，，，，求的长．

（2）边长分别为和的两个正方形按图2的样式摆放，如果阴影部分的面积为20，，求的值．

25. 中，，，点是边上的一个动点，连接，过点作于点．

（1）如图1，分别延长，相交于点，求证：；

（2）如图2，若平分，，求的长；

（3）如图3，是延长线上一点，平分，试探究，，之间的数量关系并说明理由．

26. 定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”．如与，因为，，所以是的“关联分式”．

（1）已知分式，则______的“关联分式”（填“是”或“不是”）；

（2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：

设的“关联分式”为，则，

∴，

∴．

请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”．

（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______；

②用发现的规律解决问题：

若是的“关联分式”，求实数，的值．

答案与解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．）

1. 下列图形中，一定是轴对称图形的是（    ）

A. 三角形 B. 等腰三角形 C. 四边形 D. 五边形

【答案】B

【解析】

【分析】根据轴对称图形的定义逐一判断即可．

【详解】解：三角形不一定是轴对称图形，故A不符合题意；

等腰三角形沿底边中线折叠，两旁部分能够完全重合，所以是轴对称图形，故B符合题意；

四边形不一定是轴对称图形，故C不符合题意；

五边形不一定是轴对称图形，故D不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．

2. 下列计算正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法法则依次计算即可．

【详解】解：，故A选项错误；

，故B选项错误；

，故C选项错误；

，故D选项正确；

故答案为：D．

【点睛】本题考查同底数幂的乘除运算法则和幂的乘方、积的乘方运算法则．同底数幂相乘（除）时，底数不变，指数相加（减）；计算幂的乘方时，底数不变，指数相乘；计算积的乘方时，先把每一个因式乘方，再把得到的幂相乘．

3. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食品和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将一粒芝麻的质量用科学记数法表示均为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据2前面有6个0得到指数为-6，表示为科学记数法即可．

【详解】解：0.00000201=2.01×10-6kg，

故选：C．

【点睛】本题考查利用科学记数法把绝对值较小的数表示为a×10-n形式，其中1≤|a|＜10，解题的关键是掌握n等于原数第一个非0的数字前面0的个数．

4. 下列式子为最简二次根式的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】最简二次根式符合两个条件：被开方数中不含有分母，被开方数中不含有开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可.

【详解】解：，故A不符合题意；

，故B不符合题意；

，故C不符合题意；

是最简二次根式，故D符合题意；

故选D

【点睛】本题考查的是最简二次根式的判断，掌握“最简二次根式的定义”是解本题的关键.

5. 把分式方程，的两边同时乘以x-2，约去分母，得（ ）

A. 1-(1-x)=1 B. 1+(1-x)=1 C. 1-(1-x)=x-2 D. 1+(1-x)=x-2

【答案】D

【解析】

【分析】本题需要注意的有两个方面：①、第二个分式的分母为2-x，首先要化成x-2；②、等式右边的常数项不要漏乘．

【详解】解：

两边同时乘以x-2，约去分母，得1+(1-x)=x-2

故选：D

【点睛】本题考查解分式方程．

6. 等腰三角形的一个角是100°，则它的底角是（    ）

A. 40° B. 100° C. 40°或100° D. 40°或80°

【答案】A

【解析】

【分析】分两种情况讨论求解，一是当顶角是100°，二是当底角是100°，根据等腰三角形的两个底角相等即可得出结论．

【详解】解：（1）当顶角是100°时，

∵一个等腰三角形的顶角为100°，

∴它的底角；

（2）当底角是100°，

∵等腰三角形的两底角相等，

∴另一底角也是100°，

∵，这与三角形的内角和为180°相矛盾，

∴底角不能为100°，

故选：A．

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键．

7. 如图，已知，用直尺和圆规按以下步骤作出．

（1）画射线，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点；

（2）分别以，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点；

（3）连接，．

则能用于证明的依据是（    ）

A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS

【答案】A

【解析】

【分析】根据作图方法可知，，，，由此可解．

【详解】解：根据作图的步骤（1）知，由步骤（2）知，，

根据三组边对应相等（SSS），可证．

故答案为：A．

【点睛】本题考查尺规作图和全等三角形的判定，根据作图的方法判断出两个三角形的三条边对应相等是解题的关键．

8. 为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中荧光棒共花费40元，缤纷棒共花费30元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为元（      ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】若设荧光棒的单价为元，根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少20根”可列方程求解．

【详解】解：设荧光棒的单价为元，则缤纷棒单价是元，由题意可得：

故选：B．

【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

9. 如图，中，，，分别是，边的中点，是上的动点，的最小值为（    ）

A. 3 B.  C. 4 D.

【答案】B

【解析】

【分析】连接PC，易证，将转化为，根据三角形三边关系知，，故当P、E、C在一条直线时，取最小值，解直角三角形求出EC的长度即可．

【详解】解：如图，连接PC，EC，EC交BD于点，

中，，是的中点，

，，

是线段的垂直平分线，

，

，

根据三角形两边和大于第三边可知，当P、E、C在一条直线时，取最小值，最小值为EC，

中，，是边的中点，

，，

，

的最小值为为．

故选：B．

【点睛】本题考查等边三角形的性质、勾股定理解三角形、求线段和的最值等，通过作辅助线，找出PA的等长线段，将进行转化是解题的关键．

10. 已知，则的值为（    ）

A. 2021 B. 2022 C. 4043 D. 4044

【答案】C

【解析】

【分析】将m＝20212+20222代入2m﹣1，再将2022写成2021+1，可得一个完全平方式即可求解．

【详解】解：∵m＝20212+20222

∴2m﹣1

＝2（20212+20222）﹣1

＝2[20212+（2021+1）2]﹣1

＝2（2×20212+2×2021+1）﹣1

＝4×20212+4×2021+1

＝（2×2021+1）2

＝40432

∴

＝4043，

故选：C．

【点睛】本题考查了算术平方根的意义以及完全平方公式的应用，解题的关键是将根号里的算式化成某数的平方．

二、填空题（本大题共8小题，第11~12小题每小题3分，第13~18小题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上．）

11. 若分式的值为0，则x=_________．

【答案】2

【解析】

【分析】根据分子为零且分母不为零分式的值为零，可得答案．

【详解】解：因分式的值为0，则3x-6=0，解得x=2，

又因为分式要有意义，则2x+1≠0，解得x≠，

综合得x=2.

【点睛】本题考查了分式值为零的条件，利用分子为零且分母不为零得出3x-6=0且2x+1≠0是解题关键．

12. 点关于轴对称的点的坐标是______．

【答案】

【解析】

【分析】关于y轴对称的两点的坐标关系：纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此解题．

【详解】解：点关于x轴对称的点P′的坐标为

故答案为：．

【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y），即纵坐标不变，横坐标变成相反数，难度较小．

13. 已知（x+y）2＝18，xy＝5，则x2+y2的值为 _____．

【答案】8

【解析】

【分析】将完全平方展开，进行计算即可；

【详解】解：（x+y）2=x2＋2xy＋y2=18，

∴x2+y2=18－2xy=18－10=8，

故答案为：8；

【点睛】此题考查代数式求值，熟记完全平方公式是解题关键．

14. 如图的三角形纸片中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为______．

【答案】

【解析】

【分析】由折叠的性质得到CD=DE，BC=BE，从而可以推出△AED的周长=AB，由此利用勾股定理求解即可．

【详解】解：由折叠的性质可知CD=DE，BC=BE，

∵AC=AB，

∴△AED的周长=AE+DE+AD=AD+CD+AE=AC+AE=AE+BE=AB，

∵∠C=90°，

∴，

∴△AED的周长=，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，熟知折叠的性质是解题的关键．

15. 已知n是正整数，是整数，求n的最小值为___．

【答案】6

【解析】

【分析】先根据二次根式的性质化简成最简二次根式即可解答．

【详解】解：∵， 是整数，是正整数，

∴是整数，即6n能被开方，

∴n的最小值6．

故填6．

【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，灵活利用二次根式的性质是解答本题的关键．

16. 在中，，，边上的中线，则的长为______．

【答案】13

【解析】

【分析】通过勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再利用勾股定理解直角即可．

【详解】解：如图，

是边上的中线，

，

，

，

是直角三角形，

，

．

故答案为：13．

【点睛】本题考查勾股定理的逆定理和勾股定理解直角三角形，也可以在证明是直角三角形后，通过证明与全等的方式求出AC，方法不唯一．

17. 如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴正半轴上一点，且，则点的坐标是______．

【答案】

【解析】

【分析】设P点坐标为，根据两点间距离公式求解．

【详解】解：设P点坐标为，根据两点间距离公式，

，

，

，

，

，

整理得，，

解得，，

点是轴正半轴上一点，

，

P点坐标为．

故答案为：．

【点睛】本题考查平面直角坐标系内两点间距离公式，平面直角坐标系内，，两点间的距离为：．本题也可以作辅助线利用勾股定理解三角形作答，两种方法的本质是一样的．

18. 如图，是等边三角形，点在上，，，．是延长线上一点，．连接交于点，则的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】由可证明，设，；由可证明，可得，即可求解

【详解】解：∵

∴设则

∴

∵是等边三角形，

∴

∵AB//EG

∴

∴

∵

∴

在和中

∴

∴

∴

在和中

∴

∴

∴

∴

故答案为：

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质等知识，证明是解题的关键

三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19. 计算：

（1）；

（2）．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据二次根式的除法法则进行计算，最后再进行化简即可；

（2）根据平方差公式、完全平方公式的运算法则解答即可．

【小问1详解】

解：原式:．

【小问2详解】

解：原式．

=

【点睛】本题主要考查二次根式的运算和整式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算和整式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．

20. 分解因式：

（1）；

（2）．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先提公因式2，再利用平方差公式因式分解；

（2）利用完全平方公式因式分解．

【小问1详解】

解：原式．

【小问2详解】

解：原式．

【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是掌握基本步骤是：一提二套三检查．

21. 先化简：，再将在，0，1，2中取一个合适的值代入求值．

【答案】；4

【解析】

【分析】利用完全平方公式、平方差公式对分式进行化简，再根据分式有意义的条件在，0，1，2中选出合适的值，代入求解即可．

【详解】解：原式．

，，，

，，

在，0，1，2中，只能取1，

当时，原式．

【点睛】本题考查分式的化简求值，需要熟练掌握完全平方公式、平方差公式，根据分式有意义的条件找出合适的值是解题的关键．

22. 如图，在中，，点是边的中点，点在上．

求证：．

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据等腰三角形三线合一，得出∠BAE=∠CAE，根据SAS证明△ABE≌△ACE．

【详解】证明：∵，点是的中点，

∴，

在和中，

，

∴．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定，解题的关键是利用等腰三角形三线合一的性质证明∠BAE=∠CAE．

23. 某校八年级学生去距学校15km的课外实践基地活动，一部分学生骑自行车先走，过了45min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的4倍，求骑车学生的速度．

【答案】15km/h

【解析】

【分析】找到等量关系式：骑自行车所用时间=乘汽车所用时间+，设骑车学生的速度为，列方程求解，注意分式方程检验.

【详解】解：设骑车学生的速度为，则汽车的速度为．

由题意，得．

解得．

检验：当时，，所以原方程的解为，且符合题意．

答：骑车学生的速度为15km/h．

【点睛】本题主要考查利用分式方程解决实际问题，找到等量关系式是解决应用题的关键，分式方程注意要检验.

24. （1）如图1，中，，，，，求的长．

（2）边长分别为和的两个正方形按图2的样式摆放，如果阴影部分的面积为20，，求的值．

【答案】（1），（2）

【解析】

【分析】（1）设AD=x，则BD=（8-x），在Rt△CBD中利用勾股定理列方程求解即可解答；

（2）根据阴影部分的面积得到，再由利用完全平方公式便可求出ab．

【详解】解：（1）设，则，

在中，∵，

∴，解得，

∴的长为．

（2）由题意可知，，化简得，①．

∵，∴，∴②．

②-①可得，，即．

【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式的灵活运用；熟练掌握勾股定理和完全平方公式是解题关键．

25. 中，，，点是边上的一个动点，连接，过点作于点．

（1）如图1，分别延长，相交于点，求证：；

（2）如图2，若平分，，求的长；

（3）如图3，是延长线上一点，平分，试探究，，之间的数量关系并说明理由．

【答案】（1）见解析    （2）   

（3），理由见解析

【解析】

【分析】（1）欲证明BE＝AD，只要证明即可；

（2）如图2，分别延长BF，AC交于点E，证，可求；

（3）如图3中，分别延长BF，AC交于点E，由（1）可得△ACD≌△BCE，得CD＝CE，再证可得结论．

【小问1详解】

解：（1）∵，

∴，

又∵，

∴．

在和中，

∴．

∴．

【小问2详解】

解：如图2，延长，交于点．

∵，

∴，

∵平分，

∴．

在和中，

∴．

∴．

由（1）可得，．

∴．

【小问3详解】

解：．

理由：如图3，延长，交于点．

由（1）可得，，

∴．

∵，

∴，

∵平分，

∴．

在和中，

∴．

∴．

∵．

∴．

【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

26. 定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”．如与，因为，，所以是的“关联分式”．

（1）已知分式，则______的“关联分式”（填“是”或“不是”）；

（2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：

设的“关联分式”为，则，

∴，

∴．

请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”．

（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______；

②用发现的规律解决问题：

若是的“关联分式”，求实数，的值．

【答案】（1）是    （2）   

（3）①；②

【解析】

【分析】（1）根据关联分式的定义进行判断；

（2）仿照题目中给到的方法进行求解；

（3）①根据（1）（2）找规律求解；

②由①推出的结论，类比形式求解即可.

【小问1详解】

解：∵-=，×=

∴是的“关联分式”

故答案为：是

【小问2详解】

解：设的“关联分式”为，则，

∴，

∴．

【小问3详解】

解：①设的“关联分式”为，则，

∴，

∴．

故答案为：；

②由题意，可得，

整理得

解得．

【点睛】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键.