2021-2022学年北京171中八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京171中八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式．下列共享单车图标，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
3．（3分）小明用长度分别为5，a，9的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则a可能的值是（ ）
A．4B．6C．14D．15
4．（3分）如图所示，△ABC的边AC上的高是（ ）
A．线段AEB．线段BAC．线段BDD．线段DA
5．（3分）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．①②B．③④C．①③④D．①②③
6．（3分）如图，将△ABC沿DH、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处．若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．50°B．60°C．90°D．140°
7．（3分）如图，△ABC中，AC＜BC，如果用尺规作图的方法在BC上确定点P，使PA+PC＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．（3分）在平面直角坐标系内点A、点B的坐标分别为（0，3）、（4，3），在坐标轴上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
二、填空题（每小题2分，共16分）
11．（2分）M（3，﹣1）关于y轴的对称点的坐标为 ．
12．（2分）一个正n边形的每个外角都为60°，则边数n为 ．
13．（2分）如图，已知AC与BD交于点E，且AB＝CD，请你再添加一个边或角的条件使△ABC≌△DCB，添加的条件是： ．（添加一个即可）
14．（2分）如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，且PB＝5cm，AC＝12cm，则△APC的面积是 cm2．
15．（2分）等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是 ．
16．（2分）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠B＝30°，且AD＝1，那么BD＝ ．
17．（2分）如图，AB＝AC，BD⊥AC，∠CBD＝α，则∠A＝ （用含α的式子表示）．
18．（2分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为 °．
三、解答题（19题～26题，每题5分，27题6分，28题8分，共54分）
19．（5分）如图，已知AB平分∠CAD，AC＝AD．求证：∠C＝∠D．
20．（5分）2019年12月18日，新版《北京市生活垃圾管理条例》正式发布，并在2020年5月1日起正式实施，这标志着北京市生活垃圾分类将正式步入法制化、常态化、系统化轨道，目前，相关配套设施的建设已经开启．如图，计划在某小区道路l上建一个智能垃圾分类投放点O，使得道路l附近的两栋住宅楼A，B到智能垃圾分类投放点O的距离相等．
（1）请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点O的位置；
（2）得到OA＝OB的依据为： ．
21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D是AC上一点，E是BC延长线上一点，连接BD，DE，若∠ABD＝20°，BD＝DE，求∠CDE的度数．
22．（5分）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．
23．（5分）如图1是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．
（1）可能的位置有 种．
（2）请在图1中利用阴影标出所有可能情况．
24．（5分）如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF＝90°，把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．
（1）若∠A＝40°，则∠ABC+∠ACB＝ °，∠DBC+∠DCB＝ °∠ABD+∠ACD＝ °．
（2）若∠A＝55°，则∠ABD+∠ACD＝ °．
（3）请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系 ．
25．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．
26．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，写出所有符合条件的点D坐标．
27．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC．
（1）请用尺规作图的方法在边AC上确定点D，使得点D到边BC的距离等于DA的长；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，求证：BC＝AB+AD．
28．（8分）如图1，E是等边三角形ABC的边AB所在直线上一点，D是边BC所在直线上一点，且D与C不重合，若EC＝ED．则称D为点C关于等边三角形ABC的反称点，点E称为反称中心．
在平面直角坐标系xOy中，
（1）已知等边三角形AOC的顶点C的坐标为（2，0），点A在第一象限内，反称中心E在直线AO上，反称点D在直线OC上．
①如图2，若E为边AO的中点，在图中作出点C关于等边三角形AOC的反称点D，并直接写出点D的坐标： ；
②若AE＝2，求点C关于等边三角形AOC的反称点D的坐标；
（2）若等边三角形ABC的顶点为B（n，0），C（n+1，0），反称中心E在直线AB上，反称点D在直线BC上，且2≤AE＜3．请直接写出点C关于等边三角形ABC的反称点D的横坐标t的取值范围： （用含n的代数式表示）．
2021-2022学年北京171中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）
1．（3分）低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式．下列共享单车图标，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形．故选项正确；
B、不是轴对称图形．故选项错误；
C、不是轴对称图形．故选项错误；
D、不是轴对称图形．故选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．
2．（3分）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．
【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
3．（3分）小明用长度分别为5，a，9的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则a可能的值是（ ）
A．4B．6C．14D．15
【分析】根据三角形的三边关系：三角形任何两边之和都大于第三边，任何两边之差都小于第三边，可判定求解．
【解答】解：由题意得9﹣5＜a＜9+5，
解得4＜a＜14，
故a可能的值是6，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
4．（3分）如图所示，△ABC的边AC上的高是（ ）
A．线段AEB．线段BAC．线段BDD．线段DA
【分析】根据三角形高线的定义，过点B作BD⊥AC交CA的延长线于点D，则BD为AC边上的高．
【解答】解：由题意可知，△ABC的边AC上的高是线段BD．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的高线，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
5．（3分）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．①②B．③④C．①③④D．①②③
【分析】根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
【解答】解：①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；
②因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，x＝30°，∠C＝30°×3＝90°，所以△ABC是直角三角形；
③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三角形；
④因为∠A＝∠B＝∠C，所以三角形为等边三角形．
所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解答此题要用到三角形的内角和为180°，若有一个内角为90°，则△ABC是直角三角形．
6．（3分）如图，将△ABC沿DH、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处．若∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．50°B．60°C．90°D．140°
【分析】根据翻折变换前后对应角不变，故∠B＝∠EOF，∠A＝∠DOH，∠C＝∠HOG，∠1+∠2+∠HOD+∠EOF+∠HOG＝360°，进而求出∠1+∠2的度数．
【解答】解：∵将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，
∴∠B＝∠EOF，∠A＝∠DOH，∠C＝∠HOG，∠1+∠2+∠HOD+∠EOF+∠HOG＝360°，
∵∠HOD+∠EOF+∠HOG＝∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠1+∠2＝360°﹣180°＝180°，
∵∠1＝40°，
∴∠2＝140°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质和三角形的内角和定理，根据已知得出∠HOD+∠EOF+∠HOG＝∠A+∠B+∠C＝180°是解题关键．
7．（3分）如图，△ABC中，AC＜BC，如果用尺规作图的方法在BC上确定点P，使PA+PC＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由PB+PC＝BC和PA+PC＝BC易得PA＝PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在AB的垂直平分线上，进而得出结论．
【解答】解：∵PB+PC＝BC，而PA+PC＝BC，
∴PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．
故选：C．
【点评】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
8．（3分）图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
【分析】由三角形内角和定理可求第一个图形中，边a，c的夹角＝180°﹣60°﹣60°＝60°，由全等三角形的性质可求解．
【解答】解：由图形可得：第一个图形中，边a，c的夹角＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵两个三角形全等，
∴α＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得BE＝EC，根据两点之间线段最短即可求解．
【解答】解：如图，连接BE，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
根据两点之间线段最短，
PA+PB＝PA+PC＝AC，最小，
此时点P与点E重合．
所以PA+PB的最小值即为AC的长，为4．
所以PA+PB的最小值为4．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是利用线段的垂直平分线的性质．
10．（3分）在平面直角坐标系内点A、点B的坐标分别为（0，3）、（4，3），在坐标轴上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若AC＝AB，②若BC＝BA，③若CA＝CB）讨论，通过画图就可解决问题．
【解答】解：①若AC＝AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点；
②若BC＝BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）；
③若CA＝CB，则点C在AB的垂直平分线上，
∵A（0，3），B（4，3），
∴AB∥x轴，
∴AB的垂直平分线与坐标轴只有1个交点．
综上所述：符合条件的点C的个数有7个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定、圆的定义、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．
二、填空题（每小题2分，共16分）
11．（2分）M（3，﹣1）关于y轴的对称点的坐标为 （﹣3，﹣1） ．
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【解答】解：点M（3，﹣1）关于y轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣1），
故答案为：（﹣3，﹣1）．
【点评】此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标特点．
12．（2分）一个正n边形的每个外角都为60°，则边数n为 6 ．
【分析】根据多边形的外角和定理可直接求解．
【解答】解：根据题意得：
n＝360°÷60°＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查多边形的外角，掌握多边形的外角和定理是解题的关键．
13．（2分）如图，已知AC与BD交于点E，且AB＝CD，请你再添加一个边或角的条件使△ABC≌△DCB，添加的条件是： （∠ABC＝∠DCB）答案不唯一 ．（添加一个即可）
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【解答】解：添加的条件是∠ABC＝∠DCB，
理由是：∵在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（SAS），
故答案为：∠ABC＝∠DCB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
14．（2分）如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，且PB＝5cm，AC＝12cm，则△APC的面积是 30 cm2．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得点P到AC的距离等于5，从而求得△APC的面积．
【解答】解：∵AP平分∠BAC交BC于点P，∠ABC＝90°，PB＝5cm，
∴点P到AC的距离等于5cm，
∵AC＝12cm，∴△APC的面积＝12×5÷2＝30cm2，
故答案为30．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质定理，难度适中．
15．（2分）等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是 18或21 ．
【分析】因为等腰三角形的两边分别为5和8，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：当5为底时，其它两边都为8，5、8、8可以构成三角形，周长为21；
当5为腰时，其它两边为5和8，5、5、8可以构成三角形，周长为18，
所以答案是18或21．
故填18或21．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论
16．（2分）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠B＝30°，且AD＝1，那么BD＝ 3 ．
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质求解AB的长，再利用BD＝AB﹣AD计算可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AB＝2AC，∠A＝90°﹣30°＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∴AC＝2AD，
∴AB＝4AD，
∵AD＝1，
∴AB＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，求解AB的长是解题的关键．
17．（2分）如图，AB＝AC，BD⊥AC，∠CBD＝α，则∠A＝ 2α （用含α的式子表示）．
【分析】根据已知可表示得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠A的度数；
【解答】解：∵BD⊥AC，∠CBD＝α，
∴∠C＝（90﹣α）°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（90﹣α）°，
∴∠ABD＝90﹣α﹣α＝（90﹣2α）°
∴∠A＝90°﹣（90﹣2α）°＝2α；
故答案为2α．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．
18．（2分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为 72 °．
【分析】设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠ABC＝72°
故答案为72
【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（19题～26题，每题5分，27题6分，28题8分，共54分）
19．（5分）如图，已知AB平分∠CAD，AC＝AD．求证：∠C＝∠D．
【分析】根据角平分线的定义得到∠CAB＝∠DAB，推出△ACB≌△ADB，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB＝∠DAB，
在△ACB与△ADB中，
，
∴△ACB≌△ADB，
∴∠C＝∠D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
20．（5分）2019年12月18日，新版《北京市生活垃圾管理条例》正式发布，并在2020年5月1日起正式实施，这标志着北京市生活垃圾分类将正式步入法制化、常态化、系统化轨道，目前，相关配套设施的建设已经开启．如图，计划在某小区道路l上建一个智能垃圾分类投放点O，使得道路l附近的两栋住宅楼A，B到智能垃圾分类投放点O的距离相等．
（1）请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点O的位置；
（2）得到OA＝OB的依据为： 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 ．
【分析】（1）连接AB，作线段AB的垂直平分线EF，交直线l于点O，连接OA，OB，点O即为所求；
（2）利用线段的垂直平分线的性质证明即可．
【解答】解：（1）如图，点O即为所求；
（2）∵EF垂直平分线段AB，
∴OA＝OB（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等），
故答案为：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D是AC上一点，E是BC延长线上一点，连接BD，DE，若∠ABD＝20°，BD＝DE，求∠CDE的度数．
【分析】由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝50°，那么∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°．因为△BDE是等腰三角形，所以∠E＝∠DBC＝30°，然后根据三角形外角的性质即可求出∠CDE的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣80°）＝50°，
∵∠ABD＝20°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°．
∵BD＝DE，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∴∠CDE＝∠ACB﹣∠E＝20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，求出∠ACB与∠E的度数是解题关键．
22．（5分）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．
【分析】（1）先证明∠ABC＝∠DEF，再根据ASA即可证明．
（2）根据全等三角形的性质即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BF＝EC，
∵BE＝10m，BF＝3m，
∴FC＝10﹣3﹣3＝4m．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型．
23．（5分）如图1是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．
（1）可能的位置有 4 种．
（2）请在图1中利用阴影标出所有可能情况．
【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可．
【解答】解：（1）可能的位置有4个．
故答案为：4；
（2）如图所示：
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．
24．（5分）如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF＝90°，把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．
（1）若∠A＝40°，则∠ABC+∠ACB＝ 140 °，∠DBC+∠DCB＝ 90 °∠ABD+∠ACD＝ 50 °．
（2）若∠A＝55°，则∠ABD+∠ACD＝ 35 °．
（3）请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系 ∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A ．
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；
（2）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；
（3）根据三角形内角和定义有90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A＝180°，则∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°；
故答案为：140；90；50．
（2）在△ABC中，∵∠A＝55°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣55°＝125°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝125°﹣90°＝35°，
故答案为：35；
（3）∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为：∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．证明如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．
在△DBC中，∠DBC+∠DCB＝90°．
∴∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣∠A﹣90°．
∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A，
故答案为：∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解答的关键．
25．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．
【分析】首先可证明Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）再根据三角形角平分线的逆定理求得AD是角平分线即可．
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAE＝∠DAF，
∴AD是△ABC的角平分线．
【点评】此题主要考查了角平分线的逆定理，综合运用了直角三角形全等的判定．由三角形全等得到DE＝DF是正确解答本题的关键．
26．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，写出所有符合条件的点D坐标．
【分析】（1）利用轴对称变换，即可作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）依据以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，可知两个三角形有公共边BC，运用对称性即可得出所有符合条件的点D坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）当△BCD与△BCA关于BC对称时，点D坐标为（0，3），
当△BCA与△CBD关于BC的中点对称时，点D坐标为（ 0，﹣1），
△BCA与△CBD关于BC的中垂线对称时，点D坐标为当（2，﹣1）．
【点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图以及全等三角形的判定的运用，解题时注意，成轴对称的两个三角形或成中心对称的两个三角形全等．
27．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC．
（1）请用尺规作图的方法在边AC上确定点D，使得点D到边BC的距离等于DA的长；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，求证：BC＝AB+AD．
【分析】（1）依据尺规作图，作∠ABC的平分线BD即可解决问题．
（2）依据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求．
（2）如图，过点D作DE⊥BC于点E，
由（1）知DA＝DE．
又∵∠A＝90°，BD＝BD，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴AB＝BE，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠C＝45°．
∴∠CDE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠CDE＝∠C，
∴DE＝CE，
∴CE＝AD，
∴BC＝BE+EC＝AB+AD．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
28．（8分）如图1，E是等边三角形ABC的边AB所在直线上一点，D是边BC所在直线上一点，且D与C不重合，若EC＝ED．则称D为点C关于等边三角形ABC的反称点，点E称为反称中心．
在平面直角坐标系xOy中，
（1）已知等边三角形AOC的顶点C的坐标为（2，0），点A在第一象限内，反称中心E在直线AO上，反称点D在直线OC上．
①如图2，若E为边AO的中点，在图中作出点C关于等边三角形AOC的反称点D，并直接写出点D的坐标： （﹣1，0） ；
②若AE＝2，求点C关于等边三角形AOC的反称点D的坐标；
（2）若等边三角形ABC的顶点为B（n，0），C（n+1，0），反称中心E在直线AB上，反称点D在直线BC上，且2≤AE＜3．请直接写出点C关于等边三角形ABC的反称点D的横坐标t的取值范围： n﹣3＜t≤n﹣2或n+2≤t＜n+3 （用含n的代数式表示）．
【分析】（1）①过点E作EF⊥OC，垂足为F，根据等边三角形的性质可得DF＝FC＝，OF＝，即可求OD＝1，即可求点D坐标；
②分点E与坐标原点O重合或点E在边OA的延长线上两种情况讨论，根据反称点定义可求点D的坐标；
（2）分点E在点E在AB的延长线上或在BA的延长线上，根据平行线分线段成比例的性质，可求CF＝DF的值，即可求点D的横坐标t的取值范围．
【解答】解：（1）①如图，过点E作EF⊥OC，垂足为F，
∵EC＝ED，EF⊥OC
∴DF＝FC，
∵点C的坐标为（2，0），
∴AO＝CO＝2，
∵点E是AO的中点，
∴OE＝1，
∵∠AOC＝60°，EF⊥OC，
∴∠OEF＝30°，
∴OE＝2OF＝1
∴OF＝，
∵OC＝2，
∴CF＝＝DF，
∴DO＝1
∴点D坐标（﹣1，0）
故答案为：（﹣1，0）
②∵等边三角形AOC的两个顶点为O（0，0），C（2，0），
∴OC＝2．
∴AO＝OC＝2．
∵E是等边三角形AOC的边AO所在直线上一点，且AE＝2，
∴点E与坐标原点O重合或点E在边OA的延长线上，
如图，若点E与坐标原点O重合，
∵EC＝ED，EC＝2，
∴ED＝2．
∵D是边OC所在直线上一点，且D与C不重合，
∴D点坐标为（﹣2，0）
如图，若点E在边OA的延长线上，且AE＝2，
∵AC＝AE＝2，
∴∠E＝∠ACE．
∵△AOC为等边三角形，
∴∠OAC＝∠ACO＝60°．
∴∠E＝∠ACE＝30°．
∴∠OCE＝90°．
∵EC＝ED，
∴点D与点C重合．
这与题目条件中的D与C不重合矛盾，故这种情况不合题意，舍去，
综上所述：D（﹣2，0）
（2）∵B（n，0），C（n+1，0），
∴BC＝1，
∴AB＝AC＝1
∵2≤AE＜3，
∴点E在AB的延长线上或在BA的延长线上，
如图点E在AB的延长线上，过点A作AH⊥BC，过点E作EF⊥BD
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝，
∵AH⊥BC，EF⊥BD
∴AH∥EF
∴
若AE＝2，AB＝1
∴BE＝1，
∴＝1
∴BH＝BF＝
∴CF＝＝DF
∴D的横坐标为：n﹣﹣＝n﹣2，
若AE＝3，AB＝1
∴BE＝2，
∴＝
∴BF＝2BH＝1
∴CF＝DF＝2
∴D的横坐标为：n﹣1﹣2＝n﹣3，
∴点D的横坐标t的取值范围：n﹣3＜t≤n﹣2，
如图点E在BA的延长线上，过点A作AH⊥BC，过点E作EF⊥BD，
同理可求：点D的横坐标t的取值范围：n+2≤t＜n+3，
综上所述：点D的横坐标t的取值范围：n﹣3＜t≤n﹣2或n+2≤t＜n+3．
故答案为：n﹣3＜t≤n﹣2或n+2≤t＜n+3．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，平行线分线段成比例，阅读理解题意是本题的关键，是中考压轴题．
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