2021-2022学年北京八中八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2021-2022学年北京八中八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共30页。试卷主要包含了填空题，解答题，作图题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）剪纸是我国最古老的民间艺术之一，被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a5＝a10B．a2+a2＝a4
C．（a2b）3＝a5b3D．（﹣a2）4＝a8
3．（2分）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．AB＝ACB．BD＝CDC．∠B＝∠CD．∠BDA＝∠CDA
4．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣3，5）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（3，5）B．（3，﹣5）C．（5，﹣3）D．（﹣3，﹣5）
5．（2分）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．（2分）下列命题中正确的有（ ）个
①三个内角对应相等的两个三角形全等；
②三条边对应相等的两个三角形全等；
③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等；
④等底等高的两个三角形全等．
A．1B．2C．3D．4
7．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于D点，连接BD，若DE＝2，则AC的值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
8．（2分）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A．（x+3）（x+2）﹣2xB．x（x+3）+6
C．3（x+2）+x2D．x2+5x
9．（2分）已知，如图在直角坐标系中，点A在y轴上，BC⊥x轴于点C，点A关于直线OB的对称点D恰好在BC上，点E与点O关于直线BC对称，∠OBC＝35°，则∠OED的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．35°
10．（2分）如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB，△PBC，△PDC，△PAD均为等腰三角形，则满足条件的点P有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．1个
二、填空题（每小题2分，共16分）
11．（2分）计算a2•（﹣6ab）的结果是 ．
12．（2分）如图，已知OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的最小值为 ，理论根据为 ．
13．（2分）如图，点P、M、N分别在等边三角形ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N，若AB＝15cm，则CM的长为 ．
14．（2分）若等腰三角形的一个外角为140°，则它的顶角的度数为 ．
15．（2分）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是 ．
16．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是 ．
17．（2分）如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．
根据上述规定，（2，8）＝ ，若（m，16）＝p，（m，5）＝q，（m，t）＝r，且满足p+q＝r，则t＝ ．
18．（2分）如图，点D是△ABC三条角平分线的交点，∠ABC＝68°，若AB+BD＝AC，则∠ACB的度数为 ．
三、解答题（本题共20分）
19．（16分）计算：
（1）a•（a2）3•（﹣a2）；
（2）4xy2•（x2yz3）；
（3）2xy（x2﹣3y2）﹣4xy（2x2+y2）；
（4）（3x﹣2）（x+5）．
20．（4分）先化简，再求值．x（2x2﹣4x）﹣x2（6x﹣3）+x（2x）2，其中x＝﹣．
四、作图题（6分）
21．（6分）下面是小芸设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：△ABC的边BC上的高AD．
作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线BC于点M，N；
②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；
③作直线AP交BC于点D，则线段AD即为所求△ABC的边BC上的高．
根据小芸设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）AP是线段MN的 ．（填下列选项的序号）
①垂直平分线
②角平分线
点P在这条线上的依据是 ．
五、解答题（22-25每题6分，26-27每题7分，共38分）
22．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，连接AE．若AE＝3，求BC的长．
解：∵AB＝AC，∠B＝30°．
∴∠C＝∠B＝30°（ ），
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°．
∵点D是AC的中点，且DE⊥AC，
∴EC＝EA＝3（ ），
∴∠EAC＝∠C＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝ °．
∵在Rt△ABE中，∠B＝30°，
∴BE＝2 ＝ ，
∴BC＝BE+EC＝ ．
23．（6分）已知：如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，求证：∠B＝∠ANM．
24．（6分）如图，已知∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，AC与BD相交于E，F是BC的中点，求证：∠BEF＝∠CEF．
25．（6分）已知：如图，D是△ABC的边BA延长线上一点，且AD＝AB，E是边AC上一点，且DE＝BC．求证：∠DEA＝∠C．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点A（t﹣1，1）与点B关于过点（t，0）且垂直于x轴的直线对称．
（1）以AB为底边作等腰三角形ABC，
①当t＝2时，点B的坐标为 ；
②当t＝0.5且直线AC经过原点O时，点C与x轴的距离为 ；
③若△ABC上所有点到y轴的距离都不小于1，则t的取值范围是 ．
（2）以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，直线m过点（0，b）且与x轴平行，若直线m上存在点P，△ABD上存在点K，满足PK＝1，直接写出b的取值范围．
27．（7分）在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．点D在直线AM上，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连接BE．
（1）当点D在线段AM上时，
①请在图1中补全图形；
②∠CAM的度数为 ；
③求证：△ADC≌△BEC；
（2）当点D在直线AM上时，直线BE与直线AM的交点为O（点D与点M不重合，点E与点O不重合），直接写出线段OE，OM与OD的数量关系．
2021-2022学年北京八中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共20分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1．（2分）剪纸是我国最古老的民间艺术之一，被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故错误；
B、是轴对称图形，故正确；
C、不是轴对称图形，故错误；
D、不是轴对称图形，故错误．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a5＝a10B．a2+a2＝a4
C．（a2b）3＝a5b3D．（﹣a2）4＝a8
【分析】利用同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a2•a5＝a7，故A不符合题意；
B、a2+a2＝2a2，故B不符合题意；
C、（a2b）3＝a6b3，故C不符合题意；
D、（﹣a2）4＝a8，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．（2分）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．AB＝ACB．BD＝CDC．∠B＝∠CD．∠BDA＝∠CDA
【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．
【解答】解：A、∵∠1＝∠2，AD为公共边，若AB＝AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故A不符合题意；
B、∵∠1＝∠2，AD为公共边，若BD＝CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故B符合题意；
C、∵∠1＝∠2，AD为公共边，若∠B＝∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故C不符合题意；
D、∵∠1＝∠2，AD为公共边，若∠BDA＝∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故D不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
4．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣3，5）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（3，5）B．（3，﹣5）C．（5，﹣3）D．（﹣3，﹣5）
【分析】关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．
【解答】解：∵关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数
∴点P（﹣3，5）关于x轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣5）．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是关于坐标轴对称点的坐标特点，明确关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键．
5．（2分）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据全等三角形的对应边相等推知BD＝AC＝7，然后根据线段的和差即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC≌△DCB，
∴BD＝AC＝7，
∵BE＝5，
∴DE＝BD﹣BE＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键．
6．（2分）下列命题中正确的有（ ）个
①三个内角对应相等的两个三角形全等；
②三条边对应相等的两个三角形全等；
③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等；
④等底等高的两个三角形全等．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据三角形全等的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL．可得出正确结论．
【解答】解：①三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，错误；
②三条边对应相等的两个三角形全等，正确；
③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等，正确；
④等底等高的两个三角形不一定全等，错误；
故选：B．
【点评】主要考查全等三角形的判定定理判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS、HL．做题时要按判定全等的方法逐个验证．
7．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于D点，连接BD，若DE＝2，则AC的值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【分析】依据含30°角的直角三角形的性质，即可得到AD的长，再根据角平分线的性质，即可得到CD的长，进而得出AC的长．
【解答】解：∵∠A＝30°，DE垂直平分AB，DE＝2，
∴AD＝BD＝4，
∴∠ABD＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°，
即BD平分∠ABC，
又∵DE⊥AB，DC⊥BC，
∴CD＝DE＝2，
∴AC＝4+2＝6，
故选：B．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题注意掌握数形结合思想的应用．
8．（2分）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A．（x+3）（x+2）﹣2xB．x（x+3）+6
C．3（x+2）+x2D．x2+5x
【分析】根据题意可把阴影部分分成两个长方形或一个长方形和一个正方形来计算面积，也可以用大长方形的面积减去空白处小长方形的面积来计算．
【解答】解：A、大长方形的面积为：（x+3）（x+2），空白处小长方形的面积为：2x，所以阴影部分的面积为（x+3）（x+2）﹣2x，故正确；
B、阴影部分可分为应该长为x+3，宽为x和一个长为x+2，宽为3的长方形，他们的面积分别为x（x+3）和3×2＝6，所以阴影部分的面积为x（x+3）+6，故正确；
C、阴影部分可分为一个长为x+2，宽为3的长方形和边长为x的正方形，则他们的面积为：3（x+2）+x2，故正确；
D、x2+5x，故错误；
故选：D．
【点评】本题考查了长方形和正方形的面积计算，难度适中．
9．（2分）已知，如图在直角坐标系中，点A在y轴上，BC⊥x轴于点C，点A关于直线OB的对称点D恰好在BC上，点E与点O关于直线BC对称，∠OBC＝35°，则∠OED的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．35°
【分析】先根据平行线的性质求出∠AOB的度数，由直角三角形的性质得出∠BOC的度数，再根据点A关于直线OB的对称点D恰好在BC上得出OB是线段AD的垂直平分线，故可得出∠BOD的度数，进而得出∠DOC的度数，由点E与点O关于直线BC对称可知BC是OE的垂直平分线，故可得出∠DOC＝∠OED．
【解答】解：连接OD，
∵BC⊥x轴于点C，∠OBC＝35°，
∴∠AOB＝∠OBC＝35°，∠BOC＝90°﹣35°＝55°．
∵点A关于直线OB的对称点D恰好在BC上，
∴OB是线段AD的垂直平分线，
∴∠BOD＝∠AOB＝35°，
∴∠DOC＝∠BOC﹣∠BOD＝55°﹣35°＝20°．
∵点E与点O关于直线BC对称，
∴BC是OE的垂直平分线，
∴∠DOC＝∠OED＝20°．
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键．
10．（2分）如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB，△PBC，△PDC，△PAD均为等腰三角形，则满足条件的点P有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．1个
【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂直平分线交l于P；二是在长方形内部
在l上作点P，使PA＝AB，PD＝DC，同理，在l上作点P，使PC＝DC，AB＝PB；三是如图，在长方形外l上作点P，使AB＝BP，DC＝PC，
同理，在长方形外l上作点P，使AP＝AB，PD＝DC．
【解答】解：如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，
如图，在l上作点P，使PA＝AB，同理，在l上作点P，使PC＝DC，
如图，在长方形外l上作点P，使AB＝BP，同理，在长方形外l上作点P，使PD＝DC，
综上所述，符合条件的点P有5个．
故选：A．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形判定的理解和掌握，此题难度较大，需要利用分类讨论的思想分析解答．
二、填空题（每小题2分，共16分）
11．（2分）计算a2•（﹣6ab）的结果是 ﹣2a3b ．
【分析】根据单项式乘单项式的运算法则进行求解即可．
【解答】解：a2•（﹣6ab）
＝×（﹣6）a2+1b
＝﹣2a3b．
故答案为：﹣2a3b．
【点评】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对单项式乘单项式的运算法则的掌握．
12．（2分）如图，已知OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的最小值为 2 ，理论根据为 角平分线上的点到角两边的距离相等，垂线段最短 ．
【分析】过P作PQ⊥OM于Q，此时PQ的长最短，根据角平分线性质得出PQ＝PA＝2即可．
【解答】解：
过P作PQ⊥OM于Q，此时PQ的长最短（垂线段最短），
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝2，
∴PQ＝PA＝2（角平分线上的点到角两边的距离相等），
故答案为：2，角平分线上的点到角两边的距离相等，垂线段最短．
【点评】本题考查了角平分线性质，勾股定理的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
13．（2分）如图，点P、M、N分别在等边三角形ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N，若AB＝15cm，则CM的长为 5cm ．
【分析】由△ABC是等边三角形，MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC可证明△PMN是等边三角形，得出PN＝PM＝MN，进而证明△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，再由∠MPB＝90°，∠PMB＝30°，得出BM＝2PB，结合AB＝15cm，可求出PB＝MC＝5cm．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，
∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN＝30°，
∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP＝60°，
∴△PMN是等边三角形，
∴PN＝PM＝MN，
∴△PBM≌△MCN≌△NAP（AAS），
∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，
∴BM+PB＝AB＝15cm，
∵∠MPB＝90°，∠PMB＝30°，
∴BM＝2PB，
∴2PB+PB＝15cm，
∴PB＝5cm，
∴MC＝5cm，
故答案为：5cm．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
14．（2分）若等腰三角形的一个外角为140°，则它的顶角的度数为 40°或100° ．
【分析】本题可根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解，由于等腰三角形外角的位置不确定，因此本题要分情况进行讨论．
【解答】解：本题可分两种情况：
①如图，当∠DCA＝140°时，∠ACB＝40°，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝40°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝100°；
②如图，当∠EAC＝140°时，∠BAC＝40°，
因此等腰三角形的顶角度数为40°或100°．
故填40°或100°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理、三角形外角的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
15．（2分）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是 a＞b＞c ．
【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
【解答】解：a＝8131＝3124，
b＝2741＝3123，
c＝961＝3122，
∵a、b、c的底数相同，
∴a＞b＞c．
故答案为：a＞b＞c．
【点评】本题考查了幂的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．
16．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是 4.8 ．
【分析】先作CE垂直AB交BD于点M，再作MN垂直BC，根据角平分线的性质：角分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点M和N，进而求得CM+MN的最小值．
【解答】解：如图所示：
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，
过点M作MN⊥BC于点N，
∵BD平分∠ABC，
∴ME＝MN，
∴CM+MN＝CM+ME＝CE．
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，
∴S△ABC＝AB•CE＝AC•BC
∴10CE＝6×8
∴CE＝4.8．
故答案为4.8．
【点评】本题考查了最短路线问题、角分线的性质，解决本题的关键是找到使CM+MN最小时的动点M和N．
17．（2分）如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．
根据上述规定，（2，8）＝ 3 ，若（m，16）＝p，（m，5）＝q，（m，t）＝r，且满足p+q＝r，则t＝ 80 ．
【分析】根据有理数的乘方、同底数幂的乘法解决此题．
【解答】解：∵23＝8，
∴（2，8）＝3．
∵（m，16）＝p，（m，5）＝q，（m，t）＝r，
∴mp＝16，mq＝5，mr＝t．
∴mp•mq＝mp+q＝80．
∵p+q＝r，
∴mp+q＝mr．
∴mr＝80＝t．
∴t＝80．
故答案为：3，80．
【点评】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握有理数的乘方、同底数幂的乘法是解决本题的关键．
18．（2分）如图，点D是△ABC三条角平分线的交点，∠ABC＝68°，若AB+BD＝AC，则∠ACB的度数为 34° ．
【分析】在AC上截取AE＝AB，连接DE，则可证明△ABD≌△AED，得出BD＝ED，DE＝EC，将∠ACB转化为∠ABD进行计算．
【解答】解：在AC上截取AE＝AB，连接DE，
∵AC＝AB+BD，
∴EC＝BD，
在△ABD和△AED中，
AB＝AE，∠DAC＝∠BAD，AD＝AD，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴BD＝ED，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠ACB＝∠EDC+∠ECD＝∠AED＝∠ABD＝∠ABC＝34°．
故答案为34°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，有一定难度，关键是仔细理解题意，作出辅助线，要熟练掌握全等三角形的判定定理．
三、解答题（本题共20分）
19．（16分）计算：
（1）a•（a2）3•（﹣a2）；
（2）4xy2•（x2yz3）；
（3）2xy（x2﹣3y2）﹣4xy（2x2+y2）；
（4）（3x﹣2）（x+5）．
【分析】（1）先算乘方，再按同底数幂的乘法法则计算；
（2）按单项式乘单项式法则计算；
（3）先按单项式乘单项式法则计算乘法，再合并同类项；
（4）按多项式乘多项式法则计算．
【解答】解：（1）a•（a2）3•（﹣a2）
＝a•a6•（﹣a2）
＝﹣a1+6+2
＝﹣a9；
（2）4xy2•（x2yz3）
＝（4×）•（x•x2）•（y2•y）•z3
＝x3y3z3；
（3）2xy（x2﹣3y2）﹣4xy（2x2+y2）
＝2xy•x2﹣2xy•3y2﹣4xy•2x2﹣4xy•y2
＝2x3y﹣6xy3﹣8x3y﹣4xy3
＝﹣6x3y﹣10xy3；
（4）（3x﹣2）（x+5）
＝3x•x+3x×5﹣2•x﹣2×5
＝3x2+15x﹣2x﹣10
＝3x2+13x﹣10．
【点评】本题考查了整式的计算，掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘单项式、单项式乘多项式及多项式乘多项式法则是解决本题的关键．
20．（4分）先化简，再求值．x（2x2﹣4x）﹣x2（6x﹣3）+x（2x）2，其中x＝﹣．
【分析】先利用整式的乘法计算，合并化简，最后代入求得数值即可．
【解答】解：原式＝2x3﹣4x2﹣6x3+3x2+4x3
＝﹣x2，
当x＝﹣时，
原式＝﹣．
【点评】此题考查整式的混合运算与化简求值，掌握计算方法与合并同类项的方法是解决问题的关键．
四、作图题（6分）
21．（6分）下面是小芸设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：△ABC的边BC上的高AD．
作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线BC于点M，N；
②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；
③作直线AP交BC于点D，则线段AD即为所求△ABC的边BC上的高．
根据小芸设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）AP是线段MN的 ① ．（填下列选项的序号）
①垂直平分线
②角平分线
点P在这条线上的依据是 到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． ．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用线段的垂直平分线的判定解决问题即可．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）直线AP是线段MN的垂直平分线，理由是到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
故答案为：①，到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
五、解答题（22-25每题6分，26-27每题7分，共38分）
22．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，连接AE．若AE＝3，求BC的长．
解：∵AB＝AC，∠B＝30°．
∴∠C＝∠B＝30°（ 等边对等角 ），
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°．
∵点D是AC的中点，且DE⊥AC，
∴EC＝EA＝3（ 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 ），
∴∠EAC＝∠C＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝ 90 °．
∵在Rt△ABE中，∠B＝30°，
∴BE＝2 AE ＝ 6 ，
∴BC＝BE+EC＝ 9 ．
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠B＝30°，根据三角形的内角和定理求出∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°，根据线段垂直平分线性质得出EC＝EA＝3，求出∠EAC＝∠C＝30°，∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质得出BE＝2AE＝6，再求出答案即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝∠B＝30°（等边对等角），
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°，
∵点D是AC的中点，且DE⊥AC，
∴EC＝EA＝3（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等），
∴∠EAC＝∠C＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝90°．
在Rt△ABE中，∠B＝30°，
∴BE＝2AE＝6，
∴BC＝BE+EC＝6+3＝9，
故答案为：等边对等角，线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，90，AE，6，9．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和含30°角的直角三角形的性质等知识点，能熟记含30°角的直角三角形的性质是解此题的关键．
23．（6分）已知：如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，求证：∠B＝∠ANM．
【分析】由∠BAC＝∠DAM可得出∠BAD＝∠NAM，结合AB＝AN、AD＝AM即可证出△BAD≌△NAM（SAS），再根据全等三角形的性质可得出∠B＝∠ANM．
【解答】证明：∵∠BAC＝∠DAM，∠BAC＝∠BAD+∠DAC，∠DAM＝∠DAC+∠NAM，
∴∠BAD＝∠NAM．
在△BAD和△NAM中，，
∴△BAD≌△NAM（SAS），
∴∠B＝∠ANM．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理SAS证出△BAD≌△NAM是解题的关键．
24．（6分）如图，已知∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，AC与BD相交于E，F是BC的中点，求证：∠BEF＝∠CEF．
【分析】先利用AAS证明△ABE≌△DCE，再利用SSS证明△BFE≌△CFE即可．
【解答】证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE，
∴BE＝CE，
∵F是BC的中点，
∴BF＝CF，
在△BFE和△CFE中，
，
∴△BFE≌△CFE，
∴∠BEF＝∠CEF．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握利用AAS和SSS证明三角形全等，此题难度不大．
25．（6分）已知：如图，D是△ABC的边BA延长线上一点，且AD＝AB，E是边AC上一点，且DE＝BC．求证：∠DEA＝∠C．
【分析】过点D作BC的平行线交CA的延长线于点F，根据全等三角形的判定和性质证明即可．
【解答】证明：过点D作BC的平行线交CA的延长线于点F，
∴∠C＝∠F．
∵点A是BD的中点，
∴AD＝AB．
在△ADF和△ABC中，
∴△ADF≌△ABC（AAS）
∴DF＝BC，
∵DE＝BC，
∴DE＝DF．
∴∠F＝∠DEA．
又∵∠C＝∠F，
∴∠C＝∠DEA．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定的相关知识，根据全等三角形的判定和性质证明是解题关键．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点A（t﹣1，1）与点B关于过点（t，0）且垂直于x轴的直线对称．
（1）以AB为底边作等腰三角形ABC，
①当t＝2时，点B的坐标为 （3，1） ；
②当t＝0.5且直线AC经过原点O时，点C与x轴的距离为 1 ；
③若△ABC上所有点到y轴的距离都不小于1，则t的取值范围是 t≥2或t≤﹣2 ．
（2）以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，直线m过点（0，b）且与x轴平行，若直线m上存在点P，△ABD上存在点K，满足PK＝1，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）①根据A，B关于直线x＝2对称解决问题即可．
②求出直线OA与直线x＝0.5的交点C的坐标即可判断．
③由题意A（t﹣1，1），B（t+1，1），根据△ABC上所有点到y轴的距离都不小于1，构建不等式即可解决问题．
（2）由题意AB＝t+1﹣（t﹣1）＝2，由△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，推出点D到AB的距离为1，分两种情形分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）①如图1中，
由题意A（1，1），A，B关于直线x＝2对称，
∴B（3，1）．
故答案为（3，1）．
②如图2中，
由题意A（﹣0.5，1），直线l：x＝0.5，
∵直线AC的解析式为y＝﹣2x，
∴C（0.5，﹣1），
∴点C到x轴的距离为1，
故答案为1．
③由题意A（t﹣1，1），B（t+1，1），
∵△ABC上所有点到y轴的距离都不小于1，
∴t﹣1≥1或t+1≤﹣1，
解得t≥2或t≤﹣2．
故答案为t≥2或t≤﹣2．
（2）如图3中，
∵A（t﹣1，1），B（t+1，1），
∴AB＝t+1﹣（t﹣1）＝2，
∵△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴点D到AB的距离为1，
∴当点D在AB上方时，若直线m上存在点P，△ABD上存在点K，满足PK＝1，则0≤b≤3．
当点D在AB下方时，若直线m上存在点P，△ABD上存在点K，满足PK＝1，则﹣1≤b≤2．
综上所述，﹣1≤b≤3．
【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，轴对称，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数根据不等式解决问题，属于中考压轴题．
27．（7分）在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．点D在直线AM上，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连接BE．
（1）当点D在线段AM上时，
①请在图1中补全图形；
②∠CAM的度数为 30° ；
③求证：△ADC≌△BEC；
（2）当点D在直线AM上时，直线BE与直线AM的交点为O（点D与点M不重合，点E与点O不重合），直接写出线段OE，OM与OD的数量关系．
【分析】（1）①根据要求作出图形即可；
②利用等腰三角形的三线合一的性质求解即可；
③根据SAS证明三角形全等即可；
（2）根据要求作出图形，结论：OE+OD＝2OM．利用全等三角形的性质证明即可．
【解答】解：（1）①图形如图1中所示：
②∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AM是△ABC的中线，
∴∠CAM＝∠BAM＝∠BAC＝30°．
故答案为：30°；
③∵△ABC，△DCE都是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，CA＝CB，CD＝CE，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）当点D在BC的下方BE的上方时，如图2中所示．结论：OE+OD＝2OM．
理由：同法可证，△ACD≌△BCE，
∵BE＝AD，∠CBE＝∠CAD＝30°，
∴OB＝2OM，AO＝2OB，
∴OB+OE＝AO﹣OD，
∵2OM+OE＝2OB﹣OD，
∴2OM+OE＝4OM﹣OD，
∴OE+OD＝2OM．
如图3中，当点D在BC的上方时，同法可得OD＝OE+2OM．
如图4中，当点D在BE的下方时，同法可得2OM＝OE﹣OD．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30°角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
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