南通市崇川区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

南通市崇川区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

（考试时间：100分钟  总分：100分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1. 下列图形中，是轴对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000136米，将0.000136用科学记数法表示应为（　　）

A 0.136×10﹣3 B. 1.36×10﹣3 C. 1.36×10﹣4 D. 13.6×10﹣5

3. 下列二次根式中，最简二次根式是（   ）

A.  B.  C.  D.

4. 下列计算错误的是（   ）

A  B.

C.  D.

5. 等腰三角形的一个内角是，则它的一个底角的度数是（   ）

A.  B.

C. 或 D. 或

6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝8，△ABD的面积为16，则CD的长为（　　）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

7. 已知点与点关于y轴对称，则的值为（   ）

A. 5 B.  C.  D.

8. 若，则代数式的值为（   ）

A. 6 B. 8 C. 12 D. 16

9. 如图，在四边形ABCD中，，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（   ）

A.  B.

C.  D.

10. 已知，则的值为（    ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）

11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____．

12. 计算：_______

13. 分解因式：a3－a=___________

14. 如图，在中，，和的平分线交于点E，过点E作分别交AB，AC于M，N，则的周长为_______

15. 《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长尺），牵着绳索退行，在距木柱底部尺处时而绳索用尽．设绳索长为尺，则根据题意可列方程为______．

16. 关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是_________.

17. 如图所示，在平面直角坐标系中，．在y轴找一点P，使得的周长最小，则周长最小值为_______

18. 如图，在中，，D，E是内的两点，AE平分，，若BD=6cm，DE=4cm，则BC的长是______cm．

三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19. 计算：．

20. 计算：．

21. 如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：

（1）

（2）．

22. 先化简，再求值：，其中．

23. 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，若AC＝12

（1）求证：BD⊥BC．

（2）求DB的长．

24. 在2021年南通市老旧小区综合改造工程中，崇川区某街道“雨污分流管网改造”项目需要铺设一条长1080米的管道，由于天气等各种条件限制，实际施工时，平均每天铺设管道的长度比原计划减少10%，结果推迟3天完成．求原计划每天铺设管道的长度．

25. （阅读材料）

我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：（p，q是正整数，且）．在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定当是n的最佳分解时，．例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，从而．

（1）       ，       ，…；

（2），，      ，…；

猜想：      （x是正整数）．

（应用规律）

（3）若，且x是正整数，求x的值；

（4）若，请直接写出x的值．

26. 如图1，在中，，，D为AC的中点，E为边AB上一动点，连接DE，将沿DE翻折，点A落在AC上方点F处，连接EF，CF．

（1）判断∠1与∠2是否相等并说明理由；

（2）若与以点C，D，F为顶点的三角形全等，求出的度数：

（3）翻折后，当和的重叠部分为等腰三角形时，直接写出的度数．

答案与解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1. 下列图形中，是轴对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可．

【详解】解：选项A、B、C沿某直线对折，折线两旁的部分不能完全重合，选项D符合要求．
故答案为D
 

【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.解决轴对称图形的关键是寻找对称轴．

2. 医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000136米，将0.000136用科学记数法表示应为（　　）

A. 0.136×10﹣3 B. 1.36×10﹣3 C. 1.36×10﹣4 D. 13.6×10﹣5

【答案】C

【解析】

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【详解】解：0.000136=1.36×10-4．

故选：C．

【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3. 下列二次根式中，最简二次根式是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据最简二次根式的条件分别进行判断．

【详解】解：A.，不是最简二次根式，则A选项不符合题意；

B.，不是最简二次根式，则B选项不符合题意；

C.，不是最简二次根式，则C选项不符合题意；

D.是最简二次根式，则D选项符合题意；

故选：D．

【点睛】题考查了最简二次根式：掌握最简二次根式的条件（被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式）是解决此类问题的关键．

4. 下列计算错误的是（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据整式的乘除运算法则逐个判断即可．

【详解】解：选项A：，故选项A正确，不符合题意；

选项B：，故选项B不正确，符合题意；

选项C：，故选项C正确，不符合题意；

选项D：，故选项D正确，不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了同底数幂的乘、除运算；幂的乘方、积的乘方等运算，熟练掌握运算法则是解决本类题的关键．

5. 等腰三角形的一个内角是，则它的一个底角的度数是（   ）

A.  B.

C. 或 D. 或

【答案】A

【解析】

【分析】由题意知， 100°的内角为等腰三角形的顶角，进而可求底角．

【详解】解：∵在一个内角是 100°的等腰三角形中，该内角必为顶角

∴底角的度数为

故选A．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于明确该三角形为钝角等腰三角形．

6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝8，△ABD的面积为16，则CD的长为（　　）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

【答案】B

【解析】

【分析】过点 作DE⊥AB于E，利用三角形的面积可求得DE＝4，然后利用角平分线的性质定理，即可求解．

【详解】解：过点 作DE⊥AB于E

∵△ABD的面积为16

∴ ×AB×DE＝16，即 ×8×DE＝16

解得：DE＝4

∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB

∴CD＝DE＝4

故选：B

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．

7. 已知点与点关于y轴对称，则的值为（   ）

A. 5 B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】点坐标关于轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相等，可求得的值，进而可求的值．

【详解】解：由题意知：

解得

∴

故选A．

【点睛】本题考查了关于轴对称的点坐标的关系，代数式求值等知识．解题的关键在于理解关于轴对称的点坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相等．

8. 若，则代数式的值为（   ）

A. 6 B. 8 C. 12 D. 16

【答案】D

【解析】

【分析】对已知条件变形为：，然后等式两边再同时平方即可求解．

【详解】解：由已知条件可知：，

上述等式两边平方得到：，

整理得到：，

故选：D．

【点睛】本题考查了等式恒等变形，完全平方公式的求值等，属于基础题，计算过程中细心即可．

9. 如图，在四边形ABCD中，，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（   ）

A.  B.

C  D.

【答案】D

【解析】

【分析】连接AC，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解．

【详解】解：连接AC，

由勾股定理得AB2+BC2=AC2，AD2+CD2=AC2，

∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，

故选：D．

【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系．

10. 已知，则的值为（    ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，，变形为，两边平方得，代入求值即可．

【详解】解：，

，

两边平方得， ，

即，

两边再平方得， ，

化简，得，

把代入，

得，

，

，

．

故选C．

【点评】本题考查了分母有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）

11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____．

【答案】

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．

【详解】解：由二次根式在实数范围内有意义可得：

，解得：；

故答案为．

【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．

12. 计算：_______

【答案】##

【解析】

【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则逐个运算即可．

【详解】解：原式，

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次根式的四则运算，属于基础题，计算过程中细心即可．

13. 分解因式：a3－a=___________

【答案】

【解析】

【详解】解：a3－a

=a(a2-1)

=

故答案为：

14. 如图，在中，，和的平分线交于点E，过点E作分别交AB，AC于M，N，则的周长为_______

【答案】6

【解析】

【分析】根据BE、CE是角平分线和MN//BC可以得出MB=ME，NE=NC，继而可以得出△AMN的周长=AB+AC，从而可以得出答案．

【详解】解：∵BE，CE分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，

∴∠MBE=∠EBC，∠NCE=∠ECB，

∵MN//BC，

∴∠MEB=∠EBC，∠NEC=∠ECB，

∴∠MBE=∠MEB，∠NCE=∠NEC，

∴MB=ME，NC=NE，

∵AB=AC=3，

∴△AMN的周长

=AM+ME+NE+AN

=AM+MB+AN+NC

=AB+AC

=3+3

=6．

故答案为：6．

【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质和等腰三角形的判定，是一道综合题，能够推出MB=ME，NE=NC是解题的关键．

15. 《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长尺），牵着绳索退行，在距木柱底部尺处时而绳索用尽．设绳索长为尺，则根据题意可列方程为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意和勾股定理列出方程即可．

【详解】解：∵绳索长为x尺，且绳索比竖着的木柱长3尺，

∴木柱长尺．

∵牵着绳索退行，在距木柱底部尺处时而绳索用尽．

∴木柱的长度和退行的距离构成直角三角形的两条直角边，绳索为直角三角形的斜边．

∴根据勾股定理可列方程：，即．

故答案为：．

【点睛】本题考查勾股定理的应用，正确理解题意是解题关键．

16. 关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是_________.

【答案】m＞-1且m≠0

【解析】

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可确定出m的范围．

【详解】解：分式方程去分母得：m=-x-1，即x=-1-m，
根据分式方程解为负数，得到-1-m＜0，
解得m＞-1，
又∵x+1≠0，
∴x≠-1，即-1-m≠-1，
∴m≠0，

∴m＞-1且m≠0．
故答案为：m＞-1且m≠0．

【点睛】本题考查解分式方程，解本题时注意考虑分式的分母不为0这一条件．

17. 如图所示，在平面直角坐标系中，．在y轴找一点P，使得的周长最小，则周长最小值为_______

【答案】

【解析】

【分析】作点B关于y轴的对称点C，连接AC，与y轴的交点即为满足条件的点P，由勾股定理求出AC、AB的长，即可求得周长最小值．

【详解】作点B关于y轴的对称点C，则点C的坐标为，连接AC，与y轴的交点即为满足条件的点P，如图所示

由对称的性质得：PB=PC

∴AB+PA+PB=AB+PA+PC≥AB+AC

即当点P在AC上时，周长最小，且最小值为AB+AC

由勾股定理得：，

∴周长最小值为

故答案为：

【点睛】本题考查了点与坐标，两点间距离最短，对称的性质，勾股定理等知识，作点关于x轴的对称点是关键．

18. 如图，在中，，D，E是内的两点，AE平分，，若BD=6cm，DE=4cm，则BC的长是______cm．

【答案】10

【解析】

【分析】作出辅助线后根据等边三角形判定得出△BDM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．

【详解】解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，

∵AB=AC，AE平分∠BAC，

∴AN⊥BC，BN=CN，

∵∠DBC=∠D=60°，

∴△BDM为等边三角形，

∴BD=DM=BM=6，

∵DE=4，

∴EM=6-4=2，

∵△BDM为等边三角形，

∴∠DMB=60°，

∵AN⊥BC，

∴∠ENM=90°，

∴∠NEM=30°，

∴NM==1，

∴BN=6-1=5，

∴BC=2BN=10（cm），

故答案为10．

【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，以及含30°角的直角三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键．

三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19. 计算：．

【答案】6

【解析】

【分析】根据公式、及算术平方根的概念逐个求解即可．

【详解】解：原式．

【点睛】本题考查了、及算术平方根的概念，属于基础题，计算过程中细心即可．

20. 计算：．

【答案】

【解析】

【分析】根据完全平方公式及平方差公式，然后再合并同类项即可．

【详解】解：原式

．

【点睛】本题考查了完全平方公式及平方差公式，属于基础题，计算过程中细心即可．

21. 如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：

（1）

（2）．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据SAS即可证明，故可求解；

（2）根据全等三角形的性质得到，故可求解．

【详解】（1）∵

∴

即

又∵，

∴         

（2）∵

∴

∴．

【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质综合，解题的关键是熟知等腰三角形的判定：等角对等边．

22. 先化简，再求值：，其中．

【答案】，

【解析】

【分析】先把所给分式化简，再把代入计算．

【详解】解：原式=

=

=

=，

当时，

原式=．

【点睛】本题考查了分式的计算和化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．

23. 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，若AC＝12

（1）求证：BD⊥BC．

（2）求DB的长．

【答案】（1）见解析    （2）4

【解析】

【分析】(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠A=∠C=30°，再根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，求出∠DBA=30°，据此即可证得；

(2)根据含30°角的直角三角形的性质求出BD=CD，求出AD=CD，据此求出答案即可．

【小问1详解】

证明：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，

∴，

∵AB的垂直平分线是DE，

∴AD＝BD，

∴∠DBA＝∠A＝30°，

∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝120°﹣30°＝90°，

∴BD⊥BC；

【小问2详解】

解：∵∠DBC＝90°，∠C＝30°，

∴，

∵AD＝BD，

∴，

∵AC=12，

∴AD＝4，

∴BD＝AD＝4．

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．

24. 在2021年南通市老旧小区综合改造工程中，崇川区某街道“雨污分流管网改造”项目需要铺设一条长1080米的管道，由于天气等各种条件限制，实际施工时，平均每天铺设管道的长度比原计划减少10%，结果推迟3天完成．求原计划每天铺设管道的长度．

【答案】40米

【解析】

【分析】设原计划每天铺设管道的长度为x米，等量关系为：实际完成铺设管道的天数−计划完成铺设管道的天数=3，根据此等量关系列出方程，解方程即可．

【详解】设原计划每天铺设管道的长度为x米，则实际每天铺设管道长度为（1-10%）x米

由题意得：

解得：x=40

经检验，x=40是原方程的解，且符合题意

答：原计划每天铺设管道40米

【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，理解题意、找到等量关系并正确列出方程是关键，注意：由于得到的是分式方程，所以一定要检验．

25 （阅读材料）

我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：（p，q是正整数，且）．在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定当是n的最佳分解时，．例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，从而．

（1）       ，       ，…；

（2），，      ，…；

猜想：      （x是正整数）．

（应用规律）

（3）若，且x是正整数，求x的值；

（4）若，请直接写出x的值．

【答案】（1），；   

（2）1，1；    （3）8；   

（4）6．

【解析】

【分析】（1）由信息可知15的最佳分解是3×5，24的最佳分解是4×6，代入即可；

（2）由平方数的特点可知结果为1；

（3）把x2+x化为x(x+1)即可得出结果；

（4）把(x2-11)写成完全平方数形式即可得出x．

【小问1详解】

解：∵3×5＝15

∴

∵4×6=24

∴

【小问2详解】

解：∵4，9，25都是平方数，∴，；

【小问3详解】

解：∵x2+x=x(x+1)

∴x(x+1)＝89

∴x=8

【小问4详解】

解：∵由（2）的解题过程可知(x2-11)是一个完全平方数．

∴x2-11＝x2－12+1

∴2x=12

∴x=6

【点睛】本题考查了对新定义的理解和应用，解题的关键是从题目所给的信息中分析得出规律从而掌握分解因数的方法．还要熟悉完全平方数的概念．

26. 如图1，在中，，，D为AC的中点，E为边AB上一动点，连接DE，将沿DE翻折，点A落在AC上方点F处，连接EF，CF．

（1）判断∠1与∠2是否相等并说明理由；

（2）若与以点C，D，F为顶点的三角形全等，求出的度数：

（3）翻折后，当和的重叠部分为等腰三角形时，直接写出的度数．

【答案】（1），理由见解析    （2）70°   

（3）或或70°
 

【解析】

【分析】（1）由沿翻折可知， 可知为等腰三角形，，，计算求解即可；

（2）与全等，分两种情况讨论；①，，，求的值然后判断此时与是否全等，若全等，则的值即为所求；②，，，求的值然后判断此时与是否全等，若全等，则的值即为所求；

（3）分情况讨论①由题意知（2）中时符合题意，②如图3，重合部分的等腰三角形中，，，根据三角形的外角性质，三角形的内角和定理即，计算求解即可；③如图4，重合部分的等腰三角形，根据三角形的外角性质，三角形的内角和定理即，计算求解即可.

【小问1详解】

解：

由沿翻折可知

∵为的中点

∴

∴为等腰三角形

∴

∵

∴

∴．

【小问2详解】

解：∵，是等腰三角形，与全等

∴①如图1，当时，为等腰三角形，为等腰三角形

∴，

∵

∴

∴当时，点在的下方，不符合题意；

又∵，

∴与不全等，舍去；

②如图2

当时，为等腰三角形，为等腰三角形

∴

∴

∴四边形AEFD、CDEF均是平行四边形

∴与全等

∴

∴当时，与全等，；

综上所述，若 与以点为顶点的三角形全等，的值为．

【小问3详解】

解：①由（2）中图2可知当时，在内，此时两个三角形的重叠部分为等腰三角形；

②如图3，为与重合的等腰三角形

∴，

∵，

∴

∴

∴；

③如图4，为与重合的等腰三角形

∴

∵，

∴

∴

∴；

综上所述，当和的重叠部分为等腰三角形时，的值为或或．

【点睛】本题考查了等腰三角形，几何图形折叠对称，三角形全等，三角形的内角和定理，三角形的外角等知识．解题的关键在于正确的分析可能存在的情况．