北京市通州区2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试题（word版 含答案）

2021-2022学年度第一学期期中考试

              初二数学          2021.11.4

班级             姓名               教育ID号                          

试卷满分：  100  分  考试时间：   100   分钟

第一部分（选择题  共16分）

一、选择题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．计算，结果正确的是（    ）

（A）．      （B）．        （C）．       （D）．

2．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ）

（A）． （B）．

（C）． （D）．

3．若是完全平方式，则的值是（    ）

（A）． （B）． （C）． （D）．

4．如图，△ABC中，，将△ABC沿DE折叠，

点A落在F处，则的度数为（    ）

（A）． （B）．   （C）． （D）．

5．一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中

∠等于（    ）

（A）．105° （B）．115° （C）．120° （D）．125°

6．如图，AC，BD交于点E，AE=CE，BE=DE，

则判定△ABE与△CDE全等的依据是（    ）

（A）．SSS （B）．ASA （C）．SAS （D）．AAS

7．如图所示的正方形网格中，等于（   ）

（A）． （B）．  （C）． （D）．

8．如图，平分，于点，点是射线上一个动点，

若，则的最小值为（    ）

（A）．1 （B）．2     （C）．3 （D）．4

第二部分（非选择题  共84分）

二、填空题共8小题，每小题2分，共16 分。

9．因式分解：____________．

10．若，则________；

11．计算：（﹣0.25）2021×42022＝_________．

12．如图，把长方形沿EF对折后使两部分

重合，若，则_________．

13．如图，已知，要使△ABE≌△ACE（ASA），

还需添加的条件是：___________．

14．为迎接全国第十四届运动会，我校举行“缓堵保畅，安全出行，小手拉大手活动”每天值班老师和部分学生在校门两边站岗执勤（线段所在区域）。如图，，与相交于，于点，，

已知米，请根据上述信息求出执勤区域的长度是_______________。

15．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，以A为圆心，

任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以

M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交

于点P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB=________．

16．如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B， ，．动点E从A点出发

以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，

随着 E点运动而运动，始终保持．若点E的运动

时间为，则当 ________秒时，△DEB与△BCA全等．

三、解答题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，

演算步骤或证明过程。

17（本小题满分10分）把下列各式因式分解：

（1）；                 （2）．

18（本小题满分6分）先化简，再求值：

，其中．

19.（本小题满分8分）．

（1）若am=an(a>0且a≠1,m,n是正整数)，则m=n.

你能利用上面的结论解决这个问题吗：如果2×8x×16 x =222，求x的值；

（2）已知 ，，求 的值．

20（本小题满分8分）如图，点，，，在同一直线上，

点，在的异侧，，，．

(1)  求证：．

(2)  若，，求的度数．

21．（本小题满分8分）数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数问题时，如：学习平方差公式和完全平方公式，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式．以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请尝试解决问题．

构图一，小函同学从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图（）），然后拼成一个平行四边形（如图（）），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（______）．

A．                B．

C．            D．

构图二、小云同学在数学课上画了一个腰长为的等腰直角三角形，如图，他在该三角形中画了一条平行于一腰的线段，得到一个腰长为的新等腰直角三角形，请你利用这个图形推导出一个关于、的等式．

22．（本小题满分8分）已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，

AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．

（1）如图①所示，直接写出线段BE和CD之间的数量关系和位置关系．数量关系：______，位置关系：_______．

（2）将△ADE绕点A旋转到如图②所示的位置，请判断（1）中所得线段BE和CD之间的关系是否依然成立，若成立请给予证明，若不成立请说明理由．

（3）猜想：若将题目中的“∠BAC＝∠DAE＝90°”改为“∠BAC＝∠DAE＝60°”，其余条件不变，请直接写出直线BE和CD所夹锐角的度数为______．

23．（本小题满分12分）尺规作图之旅

下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形．

尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．

【作图原理】在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画 √，不能实现的 画 ×．

（1）过一点作一条直线．(　　　)

（2）过两点作一条直线．(　　　)

（3）画一条长为3㎝的线段．(　　　)

（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．(　　　)

【回顾思考】还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作一个角的角平分线，作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程．

已知：∠AOB．

求作：使

作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；

（2）画一条射线，以点为圆心，OC长为半径画弧，交于点；

（3）以点为圆心，____________________________________________；

（4）过点D，画射线，则．

说理：由作法得已知：

求证：

证明：

(_________)

所以(__________________________________)

【小试牛刀】依上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线．

已知：直线与直线外一点A．

求作：过点A的直线，使得．

【创新应用】现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图．

24．（本小题满分8分）阅读下列材料：

若一个正整数x能表示成（a，b是正整数，且的形式，则称这个数为“团结进取数”

a与b是x的一个平方差分解．例如：因为，所以5是“团结进取数”，3与2是5的平方差分解；再如：y是正整数，所以M也是“团结进取数”，与y是M的一个平方差分解．

（1）判断：9      “团结进取数”填“是”或“不是”；

（2）已知与是P的一个平方差分解，求P；

（3）已知（，y是正整数，k是常数，且），要使N是“团结进取数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．

第三部分（附加题  共10分）

25. （本小题满分4分）阅读下列材料：根据多项式的乘法，我们知道，

．反过来，就得到 的因式分解形式，

即 ．把这个多项式的二次项系数 分解为 ，

常数项 分解为 ，先将分解的二次项系数 ， 分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再把 ， 分别写在十字交叉线的右上角和右下角，我们发现，把它们交叉相乘，再求代数和，此时正好等于一次项系数 （如图 ）．

   1       –2

1       –5

        –2      – 5  =  –7

图1

  像上面这样，先分解二次项系数，把它们分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，把它们分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其正好等于一次项系数，我们把这种借助”十字”方式，将一个二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

 例如，将二次三项式 分解因式，它的”十字”是：

                    1        1

                  4       –3

                   4       –3 =  1

 所以，．

 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式：

（1）；

（2）；

（3）．

26. （本小题满分6分）

【问题提出】学习了三角形全等的判定方法“”“”“”“”和“”后，某小组同学探

究了如下问题：当两个三角形满足两边和其中一边的对角分别相等时，这两个三角形是否全等．

【初步思考】他们先用符号语言表示了这个问题：在 和 中，，

，．然后，对 进行分类，可分为“ 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．

【深入探究】过程如下，请你将这个小组同学的探究过程补充完整．

（1）第一种情况：当 是直角时，．

 如图 ，在 和 中，，，，

根据                ，可以知道 ．

（2）第二种情况：当 是钝角时，．

如图 ，在 和 中，，，，且 ， 都是钝角，求证：．

（3）第三种情况：当 是锐角时， 和 不一定全等．

在 和 中，，，，且 ， 都是锐角，请你用尺规在图 中作出 ，使 和 不全等．（不写作法，保留作图痕迹）

（4）在（）中， 与 的大小关系还要满足什么条件，就可以使 ?请根据以上作图过程直接写出结论．

2021-2022学年度第一学期期中考试

     初二数学参考答案及评分标准

一、单选题（共8小题，每小题2分，共16分）

1．B  2．C  3．C  4．B  5．A  6．C  7．B  8．C

二、填空题（共8小题，每小题2分，共16分）

9．

10．．

11． ﹣4

12．120°．

13．∠BAE=∠CAE

14．300m

15．125°

16．2或6或8

三、解答题（本题共68分）

17.（本小题满分10分）

解：（1）                       …………………………………….2分

                  …………………………………….5分

（2）     …………………………………….7分

               …………………………………10分

18.（本小题满分6分）

           ……………………………………….3分

                            …………………………………………4分

当时，原式．        ……………………………………….6分

19.（本小题满分8分）

∵2×8x×16x=21+3x+4x=222，               …………………………………………2分

∴1+3x+4x=22，

解得，x=3；                        …………………………………………4分

故答案为3.

(2)解:  原式=xy(x²+2xy+y²)             …………………………6分

        =xy(x+y)²                     …………………………7分

把x+y=1，xy=3/16代入

        原式=3/16×1²=3/16           …………………………8分

20.（本小题满分8分）

（1）证明：∵，

∴，                                    ………………………………………1分

在△ABE和△DCF中

，

∴                             ……………………………2分

∴，                                      ………………………3分

∴；                                           …………………………4分

（2）解：∵，

∴，，                              …………………………6分

∵，

∴，                                             …………………………7分

∴                        …………………………8分

21.（本小题满分8分）

构图一选D；                                 …………………………4分

构图二、用两种方式表示梯形的面积，

可得到a2-b2=（a+b）（a-b）                    ……………………………8分

22.（本小题满分8分）

解：（1）如图延长BE交CD于N，

∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴△ADC≌△AEB（SAS），

∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，                ……………………………1分

∵∠ADC+∠ACD＝90°，

∴∠ABE+∠ADC＝90°，

∴∠BND＝90°，

∴BE⊥CD，                              ………………………………2分

故答案为：BE＝CD，BE⊥CD；

（2）结论仍然成立，                      ………………………………3分

理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAE＝∠CAD，

又∵AB＝AC，AE＝AD，

∴△BAE≌△CAD（SAS），                …………………………………4分

∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，

∵∠ABE+∠EBC+∠ACB＝90°，

∴∠EBC+∠ACB+∠ACD＝90°，

∴∠BFC＝90°，

∴BE⊥CD；                      ……………………………………6分

（3）如图3，

答案为：60°．                    …………………………………8分

23.（本小题满分12分）尺规作图之旅

【作图原理】（每个1分，共4分）（1）√；（2）√；（3）×；（4）√；

【回顾思考】（每空1分，共3分）

作法：（3）以点为圆心，以CD为半径画弧，与第二步中所画的弧相交于

(4)  证明：∴△OCD≌△OCD（SSS），

∴∠AOB＝∠AOB（全等三角形的对应角相等），

【小试牛刀】（图3分）如图，直线l′即为所求（方法不唯一）

【创新应用】：（图和说明共2分）

如图所示（答案不唯一），设计意图：书架中隐藏着无限宝藏，

．

24.（本小题满分8分）

解：（1），是“团结进取数”，

故答案为：是；                                       ………………………………2分

（2）

；                                       …………………………………5分

（3）

，

当时，为“团结进取数”，

此时，

故当时，N为“团结进取数”．                     ………………………………8分

四、附加题（本题共10分）

25. （本小题满分4分）

（1） ；                                ………………………………1分

（2） ；                               ………………………………2分

（3）                           ………………………………4分

26. （本小题满分6分）

（1）                                            ………………………………1分

（2） 过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．

证明 ，得 ，再证明 ，得 ，由此可证明 ．                                …………………………………3分

（3） 如图：

                          …………………………………5分

（4） ．                                   …………………………………6分