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山东省烟台市栖霞市（五四制）2022-2023学年七年级上学期期中考试数学试题（含答案）
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这是一份山东省烟台市栖霞市（五四制）2022-2023学年七年级上学期期中考试数学试题（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省烟台市栖霞市七年级第一学期期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，满分30分在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．为了估计池塘两岸A、B间的距离，小明在池塘的一侧选取了一点P，测得PA＝15m，PB＝9m，那么AB间的距离不可能是（ ）
A．5m B．10m C．15m D．20m
2．如图，2022年北京冬奥会开幕式的“雪花”引导牌，体现了雪花图案与中国结纹样的巧妙结合，每一朵“雪花”都是轴对称图形，它的对称轴一共有（ ）
A．6条 B．5条 C．4条 D．3条
3．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a＝1.5，b＝2，c＝2.5 B．a＝7，b＝24，c＝15
C．a＝6，b＝8，c＝10 D．a＝3，b＝4，c＝5
4．如图，BE＝DF，AB∥DC，要使△ABF≌△CDE，应添加的条件是（ ）
A．BF＝DE B．AF＝CE C．AB＝DC D．∠ABD＝∠CDB
5．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝7，AC＝6，沿过点B的直线折叠△ABC，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（ ）
A．6 B．7 C．9 D．10
7．如图，AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，则图中的全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
8．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，向折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4尺，则折断处离地面的高度为（ ）
A．4：1尺 B．4.2尺 C．4.5尺 D．4.8尺
9．在图中的1个小方格涂上颜色，使整个图中涂色的部分成为一个轴对称图形，这样的涂法总共（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
10．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝4，BD＝10，BC＝8，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．60 B．40 C．39 D．36
二、填空题（本题共6个小题，满分18分只要求填写最后结果，）
11．如图所示，要测量池塘AB宽度，在池塘外选取一点P，连接AP，BP并各自延长，使PC＝PA，PD＝PB，连接CD，测得CD长为10m，则池塘宽AB为 m．
12．墙上有一个数字式电子钟，在对面墙上的镜子里看到该电子钟显示的时间如图所示，那么它的实际时间是 ．
13．如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个小时后，甲、乙两渔船相距 海里．
14．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是 ．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC边延长线里的一点，并且CD＝CA，∠ADC＝15°，则AB与CD的大小关系是 ．
16．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为2m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为 m．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分要写出必要的文字说明、证明过程或演箅步骤.）
17．如图，△ABC在8×8的网格中，每一个小格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上．
（1）在上面网格中画出△ABC的AB边上的高CE，并说明理由；
（2）求出△ABC的面积．
18．如图，在10×10的方格中有一个四边形和两个三角形（所有顶点都在方格的格点上）
（1）请你画出三个图形关于直线MN的对称图形；
（2）将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数．
19．用尺规作图的方法，画出与下面△ABC全等的△DEF（保留作图痕迹）．
20．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图为该空地的示意图，已知AB＝4m，BC＝3m，AD＝12m，CD＝13m，∠B＝90°，现计划在空地上种草，若每平方米草地造价30元，在这块空地上全部种草的费用是多少元？
21．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，DB＝DC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若∠A＝135°，∠BDC＝30°，求∠BEC的度数．
22．LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新型智能照明产品．当人（或动物）移至LED灯一定距离时灯亮，人走开灯灭，给人们的生活带来了极大的方便．如图，有一个由传感器A控制的LED灯安装在门的上方，离地面高4.5m的墙壁上，当人移至距离该灯5m及5m以内时，灯就会自动点亮．请问：如果一个身高1.5m的人走到离门多远的地方，该灯刚好点亮？
23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．
（1）若∠DAC＝20°，求∠FDC的度数；
（2）试判断∠B与∠AED的数量关系，并说明理由．
24．[阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，在△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，其理由是什么？
（2）AD的取值范围是什么？
[感悟]解题时，条件中出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和结论转化到一个三角形中．
[问题解决]
（3）如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点F，且AE＝EF，试说明AC＝BF．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，满分30分在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．为了估计池塘两岸A、B间的距离，小明在池塘的一侧选取了一点P，测得PA＝15m，PB＝9m，那么AB间的距离不可能是（ ）
A．5m B．10m C．15m D．20m
【分析】由PA＝15m，PB＝9m，直接利用三角形的三边关系求解即可求得AB的取值范围，继而求得答案．
解：如图，连接AB，
，
∵PA＝15m，PB＝9m，
∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，
即6＜AB＜25m，
∴AB间的距离不可能是：5m．
故选：A．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．注意要注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．
2．如图，2022年北京冬奥会开幕式的“雪花”引导牌，体现了雪花图案与中国结纹样的巧妙结合，每一朵“雪花”都是轴对称图形，它的对称轴一共有（ ）
A．6条 B．5条 C．4条 D．3条
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：如图所示：
它的对称轴一共有6条，
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a＝1.5，b＝2，c＝2.5 B．a＝7，b＝24，c＝15
C．a＝6，b＝8，c＝10 D．a＝3，b＝4，c＝5
【分析】根据勾股定理逆定理解决此题．
解：A．根据勾股定理逆定理，由1.52+22＝2.52，得以a，b，c为边的三角形是直角三角形，那么A不符合题意．
B．根据勾股定理逆定理，由72+152≠242，得以a，b，c为边的三角形不是直角三角形，那么B符合题意．
C．根据勾股定理逆定理，由62+82＝102，得以a，b，c为边的三角形是直角三角形，那么C不符合题意．
D．根据勾股定理逆定理，由32+42＝52，得以a，b，c为边的三角形是直角三角形，那么D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解决本题的关键．
4．如图，BE＝DF，AB∥DC，要使△ABF≌△CDE，应添加的条件是（ ）
A．BF＝DE B．AF＝CE C．AB＝DC D．∠ABD＝∠CDB
【分析】根据BE＝DF，可得BF＝DE，根据AB∥DC，可得∠B＝∠D，添加AB＝DC，根据SAS可证△ABF≌△CDE．
解：应添加AB＝DC，理由如下：
∵BE＝DF，
∴BF＝DE，
∵AB∥DC，
∴∠B＝∠D，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
5．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由正方形的性质和勾股定理分别对各个选项进行判断即可．
解：∵以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，
∴每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的边长的平方，
A、由勾股定理得：S＝5+15＝20，故选项A不符合题意；
B、由勾股定理得：S＝8+6＝14，故选项B不符合题意；
C、由勾股定理得：S＝8﹣6＝2，故选项C不符合题意；
D、由勾股定理得：S＝15﹣5＝10，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理以及正方形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和正方形的性质是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝7，AC＝6，沿过点B的直线折叠△ABC，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（ ）
A．6 B．7 C．9 D．10
【分析】根据翻折变换的性质可DE＝CD，BE＝BC＝7，然后求出AE，再求出AD+DE＝AC，最后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
解：∵折叠这个三角形顶点C落在AB边上的点E处，
∴DE＝CD，BE＝BC＝7，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣7＝3，
∵AD+DE＝AD+CD＝AC＝6，
∴△AED的周长＝6+3＝9．
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键．
7．如图，AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，则图中的全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【分析】根据全等三角形的判定方法进行判定即可．
解：在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SAS），
∴BC＝AD，∠DBC＝∠BDA，
∴∠ABO＝∠CDO，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（AAS），
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SAS），
综上所述，全等的三角形有：△ABD≌△CDB，△ABO≌△CDO，△ABC≌△CDA，共3对，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
8．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，向折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4尺，则折断处离地面的高度为（ ）
A．4：1尺 B．4.2尺 C．4.5尺 D．4.8尺
【分析】根据题意结合勾股定理列出方程，求解即可得出折断处离地面的长度．
解：设折断处离地面x尺，
根据题意可得x2+42＝（10﹣x）2，
解得x＝4.2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
9．在图中的1个小方格涂上颜色，使整个图中涂色的部分成为一个轴对称图形，这样的涂法总共（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【分析】根据轴对称画出相应的图形即可．
解：根据题意知，由以下几种情况：
故选：B．
【点评】本题主要考查轴对称的知识，熟练掌握轴对称的知识是解题的关键．
10．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝4，BD＝10，BC＝8，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．60 B．40 C．39 D．36
【分析】过点D作DE⊥BA的延长线于点E，利用勾股定理和角平分线的性质可得出DE＝DC＝6，再利用三角形的面积公式结合S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD可求出四边形ABCD的面积．
解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．
∵∠BCD＝90°，BD＝10，BC＝8，
∴BD＝＝6，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC＝6，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，
＝AB•DE+BC•CD，
＝×4×6+×8×6，
＝36．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE＝8是解题的关键．
二、填空题（本题共6个小题，满分18分只要求填写最后结果，）
11．如图所示，要测量池塘AB宽度，在池塘外选取一点P，连接AP，BP并各自延长，使PC＝PA，PD＝PB，连接CD，测得CD长为10m，则池塘宽AB为 10 m．
【分析】这种设计方案利用了“边角边”判断两个三角形全等，利用对应边相等，得AB＝CD．方案的操作性强，需要测量的线段和角度在陆地一侧即可实施．
解：在△APB和△DPC中
，
∴△APB≌△DPC（SAS）；
∴AB＝CD＝10米（全等三角形的对应边相等）．
答：池塘两端的距离是10米．
故答案为：10
【点评】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．
12．墙上有一个数字式电子钟，在对面墙上的镜子里看到该电子钟显示的时间如图所示，那么它的实际时间是 12：51 ．
【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与12：51成轴对称，所以此时实际时刻为12：51．
故答案为：12：51．
【点评】本题考查镜面对称，解决此类题应认真观察，注意技巧．
13．如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个小时后，甲、乙两渔船相距 10 海里．
【分析】根据题意可知∠AOB＝90°，然后求出出发一个小时后，OA＝8×1＝8（海里），OB＝6×1＝6（海里），最后根据勾股定理求解即可．
解：∵甲渔船离开港口O向东北方向航行，乙渔船离开港口O向西北方向航行，
∴∠AOB＝90°，
∴出发一个小时后，OA＝8×1＝8（海里），OB＝6×1＝6（海里），
∴AB＝＝＝10（海里），
故答案为：10．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
14．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是 ASA ．
【分析】亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，这部分是∠ABC，边AB，边BC，而没被污染的还有两个角和一个边，所以可根据ASA画一个与其全等得三角形即可．
解：如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，
这部分是∠ABC，边AB，边BC，而此时亮亮可以量取∠A和∠C度数，AC的长度，
利用ASA画一个和书上完全一样的三角形．
故答案为：ASA．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定这一知识点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC边延长线里的一点，并且CD＝CA，∠ADC＝15°，则AB与CD的大小关系是 CD＝2AB ．
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠CAD＝∠ADC＝15°，进一步可得∠ACB＝30°，再根据含30°角的直角三角形的性质可得AC＝2AB，进一步可得CD＝2AB．
解：CD＝2AB，理由如下：
∵CD＝CA，
∴∠CAD＝∠ADC，
∵∠ADC＝15°，
∴∠CAD＝15°，
∴∠ACB＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴AC＝2AB，
∴CD＝2AB，
故答案为：CD＝2AB．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
16．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为2m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为 2.2 m．
【分析】先根据勾股定理求出AD的长，同理可得出AB的长，进而可得出结论．
解：在Rt△ADE中，∵∠AED＝90°，AE＝0.7米，DE＝2.4米，
∴AD2＝0.72+2.42＝6.25．
在Rt△ABC中，
∵∠ABC＝90°，BC＝2米，AB2+BC2＝AC2，
∴AB2+22＝6.25，
∴AB＝1.5（米）．
∴BE＝AE+AB＝0.7+1.5＝2.2（米）．
答：小巷的宽度BE为2.2米，
故答案为：2.2．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分要写出必要的文字说明、证明过程或演箅步骤.）
17．如图，△ABC在8×8的网格中，每一个小格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上．
（1）在上面网格中画出△ABC的AB边上的高CE，并说明理由；
（2）求出△ABC的面积．
【分析】（1）根据三角形高的定义画出图形即可；
（2）根据三角形的面积公式求解．
解：（1）如图，延长BA，过点C作BA延长线的垂线段，交BA延长线于点E，
故CE为△ABC的AB边上的高；
（2）△ABC的面积＝×6×2＝6．
【点评】本题考查应用设计与作图，三角形的高，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
18．如图，在10×10的方格中有一个四边形和两个三角形（所有顶点都在方格的格点上）
（1）请你画出三个图形关于直线MN的对称图形；
（2）将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数．
【分析】找出各图形的关键点，从点向对称轴引垂线并延长相同长度，就可找到各点的轴对称点，然后顺次连接就是．
【解答】答：（1）所画图形如下所示：
（2）这个整体图形共有4条对称轴．
【点评】本题考查了轴对称变换的作图问题，注意作轴对称图形的关键是找到关键点的对称点．
19．用尺规作图的方法，画出与下面△ABC全等的△DEF（保留作图痕迹）．
【分析】先作线段EF＝BC，再分别以E、F为圆心，BA和CA为半径画弧，两弧相交于点D，则根据“SSS”可判断△DEF≌△ABC．
解：如图，△DEF为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．
20．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图为该空地的示意图，已知AB＝4m，BC＝3m，AD＝12m，CD＝13m，∠B＝90°，现计划在空地上种草，若每平方米草地造价30元，在这块空地上全部种草的费用是多少元？
【分析】连接AC，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论．
解：连接AC，
∵∠B＝90°，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝42+32＝52，
在△ACD中，CD2＝132，AD2＝122，
∵52+122＝132，
∴AC2+AD2＝CD2，
∴∠DAC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝×3×4+×5×12＝36（平方米），
36×30＝1080（元），
答：这块地全部种草的费用是1080元．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键．
21．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，DB＝DC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若∠A＝135°，∠BDC＝30°，求∠BEC的度数．
【分析】（1）由全等三角形的判定方法：ASA，即可证明：△ABD≌△EDC；
（2）根据三角形内角和定理可求出∠1的度数，进而可得到∠2的度数，再根据三角形的外角的性质，即可求出∠BEC的度数
【解答】（1）证明：
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（ASA），
（2）解：∵∠ABD＝∠EDC＝30°，∠A＝135°，
∴∠1＝∠2＝15°，
∵DB＝DC，
∴∠BEC＝∠BDC+∠2＝30°+15°＝45°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的运用，解题的关键是利用全等三角形的性质求出∠DCB的度数．
22．LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新型智能照明产品．当人（或动物）移至LED灯一定距离时灯亮，人走开灯灭，给人们的生活带来了极大的方便．如图，有一个由传感器A控制的LED灯安装在门的上方，离地面高4.5m的墙壁上，当人移至距离该灯5m及5m以内时，灯就会自动点亮．请问：如果一个身高1.5m的人走到离门多远的地方，该灯刚好点亮？
【分析】根据题意作出图形，根据勾股定理计算即可．
解：AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3（m），AC＝5m．
由勾股定理，得CE2＝AC2﹣AE2＝52﹣32＝16，
所以CE＝4（m）．
因此，当人走到离门4m的地方，该灯刚好点亮．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，正确构造直角三角形、掌握勾股定理是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．
（1）若∠DAC＝20°，求∠FDC的度数；
（2）试判断∠B与∠AED的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADC＝∠ADB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到AF＝DF，求得∠ADF＝∠DAF＝20°，于是得到∠FDC的度数；
（2）根据平行线的判定定理得到EF∥BC，根据平行线的性质定理得到∠AEF＝∠B，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝DE，由等腰三角形的性质得到∠AEF＝∠DEF，于是得到结论．
解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵EF垂直平分AD，
∴AF＝DF，
∴∠ADF＝∠DAF＝20°，
∴∠FDC＝90°﹣20°＝70°；
（2）∠AED＝2∠B，
理由：∵AD⊥BC，EF⊥AD，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，
∵EF垂直平分AD，
∴AE＝DE，
∴∠AEF＝∠DEF，
∴∠B＝∠AEF＝∠DEF，
∴∠AED＝2∠B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
24．[阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，在△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，其理由是什么？
（2）AD的取值范围是什么？
[感悟]解题时，条件中出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和结论转化到一个三角形中．
[问题解决]
（3）如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点F，且AE＝EF，试说明AC＝BF．
【分析】（1）根据AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根据全等得出BE＝AC＝6，AE＝2AD，由三角形三边关系定理得出8﹣6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠CAD＝∠M，根据AE＝EF，推出∠CAD＝∠AFE＝∠BFD，求出∠BFD＝∠M，根据等腰三角形的性质求出即可．
【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴全等的理由是：SAS；
（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7；
（3）证明：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，
∵AD是△ABC中线，
∴CD＝BD，
∵在△ADC和△MDB中
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
2022-2023学年山东省烟台市栖霞市七年级第一学期期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，满分30分在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．为了估计池塘两岸A、B间的距离，小明在池塘的一侧选取了一点P，测得PA＝15m，PB＝9m，那么AB间的距离不可能是（ ）
A．5m B．10m C．15m D．20m
2．如图，2022年北京冬奥会开幕式的“雪花”引导牌，体现了雪花图案与中国结纹样的巧妙结合，每一朵“雪花”都是轴对称图形，它的对称轴一共有（ ）
A．6条 B．5条 C．4条 D．3条
3．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a＝1.5，b＝2，c＝2.5 B．a＝7，b＝24，c＝15
C．a＝6，b＝8，c＝10 D．a＝3，b＝4，c＝5
4．如图，BE＝DF，AB∥DC，要使△ABF≌△CDE，应添加的条件是（ ）
A．BF＝DE B．AF＝CE C．AB＝DC D．∠ABD＝∠CDB
5．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝7，AC＝6，沿过点B的直线折叠△ABC，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（ ）
A．6 B．7 C．9 D．10
7．如图，AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，则图中的全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
8．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，向折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4尺，则折断处离地面的高度为（ ）
A．4：1尺 B．4.2尺 C．4.5尺 D．4.8尺
9．在图中的1个小方格涂上颜色，使整个图中涂色的部分成为一个轴对称图形，这样的涂法总共（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
10．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝4，BD＝10，BC＝8，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．60 B．40 C．39 D．36
二、填空题（本题共6个小题，满分18分只要求填写最后结果，）
11．如图所示，要测量池塘AB宽度，在池塘外选取一点P，连接AP，BP并各自延长，使PC＝PA，PD＝PB，连接CD，测得CD长为10m，则池塘宽AB为 m．
12．墙上有一个数字式电子钟，在对面墙上的镜子里看到该电子钟显示的时间如图所示，那么它的实际时间是 ．
13．如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个小时后，甲、乙两渔船相距 海里．
14．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是 ．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC边延长线里的一点，并且CD＝CA，∠ADC＝15°，则AB与CD的大小关系是 ．
16．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为2m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为 m．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分要写出必要的文字说明、证明过程或演箅步骤.）
17．如图，△ABC在8×8的网格中，每一个小格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上．
（1）在上面网格中画出△ABC的AB边上的高CE，并说明理由；
（2）求出△ABC的面积．
18．如图，在10×10的方格中有一个四边形和两个三角形（所有顶点都在方格的格点上）
（1）请你画出三个图形关于直线MN的对称图形；
（2）将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数．
19．用尺规作图的方法，画出与下面△ABC全等的△DEF（保留作图痕迹）．
20．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图为该空地的示意图，已知AB＝4m，BC＝3m，AD＝12m，CD＝13m，∠B＝90°，现计划在空地上种草，若每平方米草地造价30元，在这块空地上全部种草的费用是多少元？
21．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，DB＝DC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若∠A＝135°，∠BDC＝30°，求∠BEC的度数．
22．LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新型智能照明产品．当人（或动物）移至LED灯一定距离时灯亮，人走开灯灭，给人们的生活带来了极大的方便．如图，有一个由传感器A控制的LED灯安装在门的上方，离地面高4.5m的墙壁上，当人移至距离该灯5m及5m以内时，灯就会自动点亮．请问：如果一个身高1.5m的人走到离门多远的地方，该灯刚好点亮？
23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．
（1）若∠DAC＝20°，求∠FDC的度数；
（2）试判断∠B与∠AED的数量关系，并说明理由．
24．[阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，在△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，其理由是什么？
（2）AD的取值范围是什么？
[感悟]解题时，条件中出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和结论转化到一个三角形中．
[问题解决]
（3）如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点F，且AE＝EF，试说明AC＝BF．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，满分30分在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．为了估计池塘两岸A、B间的距离，小明在池塘的一侧选取了一点P，测得PA＝15m，PB＝9m，那么AB间的距离不可能是（ ）
A．5m B．10m C．15m D．20m
【分析】由PA＝15m，PB＝9m，直接利用三角形的三边关系求解即可求得AB的取值范围，继而求得答案．
解：如图，连接AB，
，
∵PA＝15m，PB＝9m，
∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，
即6＜AB＜25m，
∴AB间的距离不可能是：5m．
故选：A．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．注意要注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．
2．如图，2022年北京冬奥会开幕式的“雪花”引导牌，体现了雪花图案与中国结纹样的巧妙结合，每一朵“雪花”都是轴对称图形，它的对称轴一共有（ ）
A．6条 B．5条 C．4条 D．3条
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：如图所示：
它的对称轴一共有6条，
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a＝1.5，b＝2，c＝2.5 B．a＝7，b＝24，c＝15
C．a＝6，b＝8，c＝10 D．a＝3，b＝4，c＝5
【分析】根据勾股定理逆定理解决此题．
解：A．根据勾股定理逆定理，由1.52+22＝2.52，得以a，b，c为边的三角形是直角三角形，那么A不符合题意．
B．根据勾股定理逆定理，由72+152≠242，得以a，b，c为边的三角形不是直角三角形，那么B符合题意．
C．根据勾股定理逆定理，由62+82＝102，得以a，b，c为边的三角形是直角三角形，那么C不符合题意．
D．根据勾股定理逆定理，由32+42＝52，得以a，b，c为边的三角形是直角三角形，那么D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解决本题的关键．
4．如图，BE＝DF，AB∥DC，要使△ABF≌△CDE，应添加的条件是（ ）
A．BF＝DE B．AF＝CE C．AB＝DC D．∠ABD＝∠CDB
【分析】根据BE＝DF，可得BF＝DE，根据AB∥DC，可得∠B＝∠D，添加AB＝DC，根据SAS可证△ABF≌△CDE．
解：应添加AB＝DC，理由如下：
∵BE＝DF，
∴BF＝DE，
∵AB∥DC，
∴∠B＝∠D，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
5．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由正方形的性质和勾股定理分别对各个选项进行判断即可．
解：∵以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，
∴每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的边长的平方，
A、由勾股定理得：S＝5+15＝20，故选项A不符合题意；
B、由勾股定理得：S＝8+6＝14，故选项B不符合题意；
C、由勾股定理得：S＝8﹣6＝2，故选项C不符合题意；
D、由勾股定理得：S＝15﹣5＝10，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理以及正方形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和正方形的性质是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝7，AC＝6，沿过点B的直线折叠△ABC，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（ ）
A．6 B．7 C．9 D．10
【分析】根据翻折变换的性质可DE＝CD，BE＝BC＝7，然后求出AE，再求出AD+DE＝AC，最后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
解：∵折叠这个三角形顶点C落在AB边上的点E处，
∴DE＝CD，BE＝BC＝7，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣7＝3，
∵AD+DE＝AD+CD＝AC＝6，
∴△AED的周长＝6+3＝9．
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键．
7．如图，AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，则图中的全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【分析】根据全等三角形的判定方法进行判定即可．
解：在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SAS），
∴BC＝AD，∠DBC＝∠BDA，
∴∠ABO＝∠CDO，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（AAS），
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SAS），
综上所述，全等的三角形有：△ABD≌△CDB，△ABO≌△CDO，△ABC≌△CDA，共3对，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
8．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，向折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4尺，则折断处离地面的高度为（ ）
A．4：1尺 B．4.2尺 C．4.5尺 D．4.8尺
【分析】根据题意结合勾股定理列出方程，求解即可得出折断处离地面的长度．
解：设折断处离地面x尺，
根据题意可得x2+42＝（10﹣x）2，
解得x＝4.2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
9．在图中的1个小方格涂上颜色，使整个图中涂色的部分成为一个轴对称图形，这样的涂法总共（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【分析】根据轴对称画出相应的图形即可．
解：根据题意知，由以下几种情况：
故选：B．
【点评】本题主要考查轴对称的知识，熟练掌握轴对称的知识是解题的关键．
10．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝4，BD＝10，BC＝8，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．60 B．40 C．39 D．36
【分析】过点D作DE⊥BA的延长线于点E，利用勾股定理和角平分线的性质可得出DE＝DC＝6，再利用三角形的面积公式结合S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD可求出四边形ABCD的面积．
解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．
∵∠BCD＝90°，BD＝10，BC＝8，
∴BD＝＝6，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC＝6，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，
＝AB•DE+BC•CD，
＝×4×6+×8×6，
＝36．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE＝8是解题的关键．
二、填空题（本题共6个小题，满分18分只要求填写最后结果，）
11．如图所示，要测量池塘AB宽度，在池塘外选取一点P，连接AP，BP并各自延长，使PC＝PA，PD＝PB，连接CD，测得CD长为10m，则池塘宽AB为 10 m．
【分析】这种设计方案利用了“边角边”判断两个三角形全等，利用对应边相等，得AB＝CD．方案的操作性强，需要测量的线段和角度在陆地一侧即可实施．
解：在△APB和△DPC中
，
∴△APB≌△DPC（SAS）；
∴AB＝CD＝10米（全等三角形的对应边相等）．
答：池塘两端的距离是10米．
故答案为：10
【点评】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．
12．墙上有一个数字式电子钟，在对面墙上的镜子里看到该电子钟显示的时间如图所示，那么它的实际时间是 12：51 ．
【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与12：51成轴对称，所以此时实际时刻为12：51．
故答案为：12：51．
【点评】本题考查镜面对称，解决此类题应认真观察，注意技巧．
13．如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个小时后，甲、乙两渔船相距 10 海里．
【分析】根据题意可知∠AOB＝90°，然后求出出发一个小时后，OA＝8×1＝8（海里），OB＝6×1＝6（海里），最后根据勾股定理求解即可．
解：∵甲渔船离开港口O向东北方向航行，乙渔船离开港口O向西北方向航行，
∴∠AOB＝90°，
∴出发一个小时后，OA＝8×1＝8（海里），OB＝6×1＝6（海里），
∴AB＝＝＝10（海里），
故答案为：10．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
14．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是 ASA ．
【分析】亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，这部分是∠ABC，边AB，边BC，而没被污染的还有两个角和一个边，所以可根据ASA画一个与其全等得三角形即可．
解：如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，
这部分是∠ABC，边AB，边BC，而此时亮亮可以量取∠A和∠C度数，AC的长度，
利用ASA画一个和书上完全一样的三角形．
故答案为：ASA．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定这一知识点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC边延长线里的一点，并且CD＝CA，∠ADC＝15°，则AB与CD的大小关系是 CD＝2AB ．
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠CAD＝∠ADC＝15°，进一步可得∠ACB＝30°，再根据含30°角的直角三角形的性质可得AC＝2AB，进一步可得CD＝2AB．
解：CD＝2AB，理由如下：
∵CD＝CA，
∴∠CAD＝∠ADC，
∵∠ADC＝15°，
∴∠CAD＝15°，
∴∠ACB＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴AC＝2AB，
∴CD＝2AB，
故答案为：CD＝2AB．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
16．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为2m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为 2.2 m．
【分析】先根据勾股定理求出AD的长，同理可得出AB的长，进而可得出结论．
解：在Rt△ADE中，∵∠AED＝90°，AE＝0.7米，DE＝2.4米，
∴AD2＝0.72+2.42＝6.25．
在Rt△ABC中，
∵∠ABC＝90°，BC＝2米，AB2+BC2＝AC2，
∴AB2+22＝6.25，
∴AB＝1.5（米）．
∴BE＝AE+AB＝0.7+1.5＝2.2（米）．
答：小巷的宽度BE为2.2米，
故答案为：2.2．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分要写出必要的文字说明、证明过程或演箅步骤.）
17．如图，△ABC在8×8的网格中，每一个小格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上．
（1）在上面网格中画出△ABC的AB边上的高CE，并说明理由；
（2）求出△ABC的面积．
【分析】（1）根据三角形高的定义画出图形即可；
（2）根据三角形的面积公式求解．
解：（1）如图，延长BA，过点C作BA延长线的垂线段，交BA延长线于点E，
故CE为△ABC的AB边上的高；
（2）△ABC的面积＝×6×2＝6．
【点评】本题考查应用设计与作图，三角形的高，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
18．如图，在10×10的方格中有一个四边形和两个三角形（所有顶点都在方格的格点上）
（1）请你画出三个图形关于直线MN的对称图形；
（2）将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数．
【分析】找出各图形的关键点，从点向对称轴引垂线并延长相同长度，就可找到各点的轴对称点，然后顺次连接就是．
【解答】答：（1）所画图形如下所示：
（2）这个整体图形共有4条对称轴．
【点评】本题考查了轴对称变换的作图问题，注意作轴对称图形的关键是找到关键点的对称点．
19．用尺规作图的方法，画出与下面△ABC全等的△DEF（保留作图痕迹）．
【分析】先作线段EF＝BC，再分别以E、F为圆心，BA和CA为半径画弧，两弧相交于点D，则根据“SSS”可判断△DEF≌△ABC．
解：如图，△DEF为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．
20．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图为该空地的示意图，已知AB＝4m，BC＝3m，AD＝12m，CD＝13m，∠B＝90°，现计划在空地上种草，若每平方米草地造价30元，在这块空地上全部种草的费用是多少元？
【分析】连接AC，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论．
解：连接AC，
∵∠B＝90°，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝42+32＝52，
在△ACD中，CD2＝132，AD2＝122，
∵52+122＝132，
∴AC2+AD2＝CD2，
∴∠DAC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝×3×4+×5×12＝36（平方米），
36×30＝1080（元），
答：这块地全部种草的费用是1080元．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键．
21．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，DB＝DC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若∠A＝135°，∠BDC＝30°，求∠BEC的度数．
【分析】（1）由全等三角形的判定方法：ASA，即可证明：△ABD≌△EDC；
（2）根据三角形内角和定理可求出∠1的度数，进而可得到∠2的度数，再根据三角形的外角的性质，即可求出∠BEC的度数
【解答】（1）证明：
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（ASA），
（2）解：∵∠ABD＝∠EDC＝30°，∠A＝135°，
∴∠1＝∠2＝15°，
∵DB＝DC，
∴∠BEC＝∠BDC+∠2＝30°+15°＝45°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的运用，解题的关键是利用全等三角形的性质求出∠DCB的度数．
22．LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新型智能照明产品．当人（或动物）移至LED灯一定距离时灯亮，人走开灯灭，给人们的生活带来了极大的方便．如图，有一个由传感器A控制的LED灯安装在门的上方，离地面高4.5m的墙壁上，当人移至距离该灯5m及5m以内时，灯就会自动点亮．请问：如果一个身高1.5m的人走到离门多远的地方，该灯刚好点亮？
【分析】根据题意作出图形，根据勾股定理计算即可．
解：AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3（m），AC＝5m．
由勾股定理，得CE2＝AC2﹣AE2＝52﹣32＝16，
所以CE＝4（m）．
因此，当人走到离门4m的地方，该灯刚好点亮．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，正确构造直角三角形、掌握勾股定理是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．
（1）若∠DAC＝20°，求∠FDC的度数；
（2）试判断∠B与∠AED的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADC＝∠ADB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到AF＝DF，求得∠ADF＝∠DAF＝20°，于是得到∠FDC的度数；
（2）根据平行线的判定定理得到EF∥BC，根据平行线的性质定理得到∠AEF＝∠B，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝DE，由等腰三角形的性质得到∠AEF＝∠DEF，于是得到结论．
解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵EF垂直平分AD，
∴AF＝DF，
∴∠ADF＝∠DAF＝20°，
∴∠FDC＝90°﹣20°＝70°；
（2）∠AED＝2∠B，
理由：∵AD⊥BC，EF⊥AD，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，
∵EF垂直平分AD，
∴AE＝DE，
∴∠AEF＝∠DEF，
∴∠B＝∠AEF＝∠DEF，
∴∠AED＝2∠B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
24．[阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，在△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，其理由是什么？
（2）AD的取值范围是什么？
[感悟]解题时，条件中出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和结论转化到一个三角形中．
[问题解决]
（3）如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点F，且AE＝EF，试说明AC＝BF．
【分析】（1）根据AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根据全等得出BE＝AC＝6，AE＝2AD，由三角形三边关系定理得出8﹣6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠CAD＝∠M，根据AE＝EF，推出∠CAD＝∠AFE＝∠BFD，求出∠BFD＝∠M，根据等腰三角形的性质求出即可．
【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴全等的理由是：SAS；
（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7；
（3）证明：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，
∵AD是△ABC中线，
∴CD＝BD，
∵在△ADC和△MDB中
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
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