山东济宁高新区2022-2023学年上学期八年级期中考试数学试题(含答案)

这是一份山东济宁高新区2022-2023学年上学期八年级期中考试数学试题(含答案)，共28页。试卷主要包含了先化简，再求值等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年度第一学期期中质量检测八年级数学试题
一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）
1．（3分）在式子中，分式的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（3分）下列从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） B．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1
C．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2 D．（y﹣1）（y﹣2）＝y2﹣3y+2
3．（3分）一组数据2，3，5，5，4的众数、中位数分别是（　　）
A．5，4 B．5，5 C．5，4.5 D．5，3.8
4．（3分）已知，多项式x2﹣mx+n可因式分解为（x+3）（x﹣4），则m的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7
5．（3分）无论x取何值，下列分式总有意义的是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）在下列各多项式中，不能用平方差公式因式分解的是（　　）
A．a2﹣16b2 B．﹣1+4m2 C．﹣36x2+y2 D．﹣m2﹣1
7．（3分）把分式中的x、y都扩大3倍，则分式的值（　　）
A．扩大3倍 B．扩大6倍
C．缩小为原来的 D．不变
9．（3分）抗击疫情各地师生“停课不停学”，某中学随机抽查了50名学生，了解他们一周在家完成作业的时间，结果如下表所示：
时间（小时）
12
13
14
15
人数
10
20
15
5
则这50名学生一周在家完成作业的时间的平均数是（ ）
A. 13小时 B.13.3小时 C. 13.5小时 D.14小时
9．（3分）已知关于x的分式方程+2＝﹣的解为非负数，则正整数m的所有个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（3分）某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（　　）
A．＝+1 B．＝﹣1
C．＝+2 D．＝﹣2
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11．（3分）多项式2m2n3+6mn2的公因式是　 　．
12．（3分）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是8.5环，方差分别是：S甲2＝2，S乙2＝1.5，则射击成绩较稳定的是　 　（填“甲”或“乙“）．
13.计算：（-ab）÷2b2a= .
14．（3分）长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为　 　．
15．（3分）关于x的方程有增根，则k的值是　 　．
三．解答题（共8小题，满分58分）
16．（6分）因式分解：
（1）；4m2﹣25n2
（2）2ax2+4axy+ay2．
17．（8分）解分式方程：
（1）
（2）2-xx-3=13-x-－2．
18．（6分）先化简，再求值：，并在-3＜a＜2中选取的一个合适的数．
19．（8分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯； B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济； E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．

请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有　 　人；
（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）最关注话题扇形统计图中的a＝　 　，话题D所在扇形的圆心角是　 　度；
（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？
20．（10分）某文具店王老板用240元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600元购进第二批笔记本，所购本数是第一批的2倍，但进价比第一批每本多了2元．
（1）第一批笔记本每本进价多少元？
（2）王老板以每本12元的价格销售第二批笔记本，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批笔记本的销售总利润不少于48元，剩余的笔记本每本售价最低打几折？
21．（8分）对于二次三项式a2+6a+9，可以用公式法将它分解成（a+3）2的形式，但对于二次三项式a2+6a+8，就不能直接应用完全平方式了，我们可以在二次三项式中先加上一项9，使其成为完全平方式，再减去9这项，使整个式子的值保持不变，于是有：
a2+6a+8＝a2+6a+9﹣9+8＝（a+3）2﹣1＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]＝（a+4）（a+2）
请仿照上面的做法，将下列各式因式分解：
（1）x2﹣6x﹣16；
（2）x2+2ax﹣3a2．
22．（9分）探索发现：；；…根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）＝　 　，＝　 　；
（2）利用你发现的规律计算：＝　 　；
（3）灵活利用规律解方程：1x(x+1)+1(x+1)(x+2))+........1(x+2022)(x+2023))=1x+2023．

2022-2023学年度第一学期期中质量检测八年级数学试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）
1．（3分）在式子中，分式的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】分式的定义．菁优网版权所有
【专题】分式；数感．
【分析】如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
【解答】解：在式子中，属于分式的有：
，，，共三个，
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式的定义，分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
2．（3分）下列从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） B．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1
C．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2 D．（y﹣1）（y﹣2）＝y2﹣3y+2
【考点】因式分解的意义．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【解答】解：A、左边是多项式，右边是整式的积的形式，符合因式分解的定义，故此选项符合题意；
B、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；
C、左边的多项式不能用完全平方公式分解，因式分解错误，故此选项不符合题意；
D、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
3．（3分）一组数据2，3，5，5，4的众数、中位数分别是（　　）
A．5，4 B．5，5 C．5，4.5 D．5，3.8
【考点】众数；中位数．菁优网版权所有
【专题】统计的应用．
【分析】根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数；根据中位数定义，将该组数据按从小到大依次排列，处于中间位置的两个数的平均数即为中位数．
【解答】解：这组数据的众数是5，中位数是4，
故选：A．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
4．（3分）已知，多项式x2﹣mx﹣12可因式分解为（x+3）（x﹣4），则m的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．菁优网版权所有
【专题】计算题；因式分解．
【分析】分解因式结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可．
【解答】解：根据题意得：x2﹣mx﹣12＝（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12，
则m＝1，
故选：B．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（3分）无论x取何值，下列分式总有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】分式有意义的条件．菁优网版权所有
【专题】分式；数感．
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．
【解答】解：A．当x＝0时该分式无意义，不合题意；
B．当x＝时该分式无意义，不合题意；
C．无论x取何值，该分式分母不为零，故总有意义，符合题意；
D．当x＝1时该分式无意义，不合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．
6．（3分）在下列各多项式中，不能用平方差公式因式分解的是（　　）
A．a2﹣16b2 B．﹣1+4m2 C．﹣36x2+y2 D．﹣m2﹣1
【考点】因式分解﹣运用公式法．菁优网版权所有
【专题】整式；符号意识．
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】解：A．原式＝（a﹣4b）（a+4b），不符合题意；
B．原式＝（2m+1）（2m﹣1），不符合题意；
C．原式＝（6x+y）（y﹣6x），不符合题意；
D．原式不能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
7．（3分）把分式中的x、y都扩大3倍，则分式的值（　　）
A．扩大3倍 B．扩大6倍
C．缩小为原来的 D．不变
【考点】分式的基本性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】根据分式的基本性质进行解答即可．
【解答】解：∵分式中x、y都扩大3倍可变为．
故选：D．
【点评】本题考查的是分式的基本性质，即分式的分子与分母同时乘以或除以一个不为0的数，分式的值不变．
8．（3分）已知关于x的分式方程+2＝﹣的解为非负数，则正整数m的所有个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】分式方程的解．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为非负数，可得不等式，解不等式，可得答案．
【解答】解：去分母，得：m+2（x﹣1）＝3，
移项、合并，得：x＝，
∵分式方程的解为非负数，
∴5﹣m≥0且≠1，
解得：m≤5且m≠3，
∴正整数解有1，2，4，5共4个，
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出不等式的解．
9．（3分）抗击疫情各地师生“停课不停学”，某中学随机抽查了50名学生，了解他们一周在家完成作业的时间，结果如下表所示：
时间（小时）
12
13
14
15
人数
10
20
15
5
则这50名学生一周在家完成作业的时间的平均数是（ ）
B. 13小时 B.13.3小时 C. 13.5小时 D.14小时
【考点】加权平均数．菁优网版权所有
【专题】图表型．
【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．
【解答】解：该组数据的平均数＝（12×10+13×20+14×15+15×5）＝265÷50＝5.3（小时）．
故答案为：13.3
故选：B．
【点评】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求12，13，14，15这四个数的平均数，对平均数的理解不正确．

10．（3分）某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程为（　　）
A．＝+1 B．＝﹣1
C．＝+2 D．＝﹣2
【考点】由实际问题抽象出分式方程．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；推理能力．
【分析】由原计划每周生产的口罩只数结合一周后提高的速度，可得出一周后每周生产1.5x万个口罩，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前一周完成任务（第一周按原工作效率），即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵原计划每周生产x万个口罩，一周后以原来速度的1.5倍生产，
∴一周后每周生产1.5x万个口罩，
依题意，得：＝+1．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）多项式2m2n3+6mn2的公因式是　2mn2 　．
【考点】因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】直接根据公因式的定义分析得出答案．
【解答】解：把多项式2m2n3+6mn2分解因式，应提取公因式：2mn2．
故答案为：2mn2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法，正确找出公因式是解题关键．
12．（3分）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是8.5环，方差分别是：S甲2＝2，S乙2＝1.5，则射击成绩较稳定的是　乙　（填“甲”或“乙“）．
【考点】方差．菁优网版权所有
【分析】直接根据方差的意义求解．
【解答】解：∵S甲2＝2，S乙2＝1.5，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙的射击成绩较稳定．
故答案为：乙．
【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差通常用s2来表示，计算公式是：s2＝[（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（xn﹣x¯）2]；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
13．（3分）长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为　30　．
【考点】因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】直接利用矩形面积求法结合提取公因式法分解因式计算即可．
【解答】解：∵长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为6，
∴2（a+b）＝10，ab＝6，
故a+b＝5，
则a2b+ab2＝ab（a+b）＝30．
故答案为：30．
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及提取公因式法分解因式，正确得出a+b的值是解题关键．
14．（3分）关于x的方程有增根，则k的值是　2　．
【考点】分式方程的增根．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣3）＝0，得到x＝3，然后代入化为整式方程的方程算出k的值．
【解答】解：∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣3＝0，
解得x＝3，
方程两边都乘（x﹣3），
得：x﹣1＝2（x﹣3）+k，
当x＝3时，3﹣1＝2（3﹣3）+k，
解得k＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
三．解答题（共8小题，满分58分）
15．（3分）（1）因式分解：a（x+2y）﹣（3x+6y）；
（2）计算：．
【考点】分式的加减法；因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有
【专题】整式；分式；运算能力．
【分析】（1）利用提公因式法进行分解即可得出答案；
（2）利用异分母分式的加法法则进行计算，即可得出答案．
【解答】解：（1）a（x+2y）﹣（3x+6y）
＝a（x+2y）﹣3（x+2y）
＝（x+2y）（a﹣3）；
（2）
＝﹣
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了因式分解—提公因式法，分式的加减法，掌握提公因式法分解因式和异分母分式的减法法则是解决问题的关键．
16．（6分）因式分解：
（1）；4m2﹣25n2
（2）2ax2+4axy+ay2
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【专题】因式分解；运算能力．
【分析】（1）；原式利用平方差公式分解
（2）即可原式提取2a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝(2m+5n)(2m-5n)；
（2）原式＝2a（x2+2xy+y2）＝a（x+y）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
17．（8分）解分式方程：
（1）
（2）2-xx-3=13-x-－2．
【考点】解分式方程．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】（1）方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，代入检验即可得到原分式方程的解；
（2）方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，代入检验即可得到原分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：3x＝4（x﹣1），
去括号得：3x＝4x﹣4，
移项合并得：﹣x＝﹣4，
解得：x＝4，
经检验x＝4是原分式方程的解．

（2） 去分母得：2﹣x＝﹣1-2(x-3)，
移项合并得：x＝3，
经检验x＝3是原分式方程的增根
所以次方程无解；
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
18．（6分）先化简，再求值：，并在-3＜a＜2中选取的一个合适的数．

【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当a＝﹣1，0，1时，原式没有意义；
当a＝﹣2时，原式＝；
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（8分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯； B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济； E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．

请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有　200　人；
（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）最关注话题扇形统计图中的a＝　25　，话题D所在扇形的圆心角是　36　度；
（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．菁优网版权所有
【专题】统计与概率；数据分析观念．
【分析】（1）根据选择B的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的居民人数；
（2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以计算出选择A和C的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以得到a和话题D所在扇形的圆心角的度数；
（4）根据题意和统计图中的数据，可以计算出计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少．
【解答】解：（1）调查的居民共有：60÷30%＝200（人），
故答案为：200；
（2）选择C的居民有：200×15%＝30（人），
选择A的有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）a%＝50÷200×100%＝25%，
话题D所在扇形的圆心角是：360°×＝36°，
故答案为：25，36；
（4）10000×30%＝3000（人），
答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有3000人．

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（10分）某文具店王老板用240元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600元购进第二批笔记本，所购本数是第一批的2倍，但进价比第一批每本多了2元．
（1）第一批笔记本每本进价多少元？
（2）王老板以每本12元的价格销售第二批笔记本，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批笔记本的销售总利润不少于48元，剩余的笔记本每本售价最低打几折？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【分析】（1）设第一批笔记本每本进价为x元，则第二批每本进价为（x+2）元，由题意：某文具店王老板用240元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600元购进第二批笔记本，所购本数是第一批的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设剩余的笔记本每本打y折，由题意：王老板以每本12元的价格销售第二批笔记本，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批笔记本的销售总利润不少于48元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设第一批笔记本每本进价为x元，则第二批每本进价为（x+2）元，
由题意得：，
解之得：x＝8，
经检验，x＝8为原方程的解，
答：第一批笔记本每本进价为8元．
（2）第二批笔记本有：＝60（本），
设剩余的笔记本每本打y折，
由题意得：，
解得：y≥7.5，
答：剩余的笔记本每本最低打七五折．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式．
21．（8分）对于二次三项式a2+6a+9，可以用公式法将它分解成（a+3）2的形式，但对于二次三项式a2+6a+8，就不能直接应用完全平方式了，我们可以在二次三项式中先加上一项9，使其成为完全平方式，再减去9这项，使整个式子的值保持不变，于是有：
a2+6a+8＝a2+6a+9﹣9+8＝（a+3）2﹣1＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]＝（a+4）（a+2）
请仿照上面的做法，将下列各式因式分解：
（1）x2﹣6x﹣16；
（2）x2+2ax﹣3a2．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等；因式分解﹣运用公式法；因式分解﹣分组分解法．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据完全平方公式的结构特征是两数的平方和加上或减去它们乘积的2倍，因此对一些不完全符合完全平方公式的代数式，可在保证代数式不变的情况下通过加项或减项的方法配成完全平方公式，据此解答即可．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣16
＝x2﹣6x+9﹣9﹣16
＝（x﹣3）2﹣25
＝（x﹣3+5）（x﹣3﹣5）
＝（x+2）（x﹣8）；
（2）x2+2ax﹣3a2
＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2
＝（x+a）2﹣（2a）2
＝（x+a+2a）（x+a﹣2a）
＝（x+3a）（x﹣a）．
【点评】本题考查了公式法因式分解，熟记完全平方公式和平方差公式，并能灵活运用是解题的关键．因此要牢记完全平方公式和平方差公式的结构特征．
22．（9分）探索发现：；；…根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）＝　﹣　，＝　﹣　；
（2）利用你发现的规律计算：＝　　；
（3）灵活利用规律解方程：（3）灵活利用规律解方程：1x(x+1)+1(x+1)(x+2))+........1(x+2022)(x+2023))=1x+2023．

．
【考点】解分式方程；有理数的混合运算；规律型：数字的变化类．菁优网版权所有
【专题】规律型；实数；分式方程及应用；运算能力．
【分析】（1）观察已知等式，写出所求即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）根据得出的规律化简方程，求出解即可．
【解答】解：（1）＝﹣，＝﹣；
故答案为：﹣，﹣；
（2）原式＝1﹣+﹣+﹣+...+﹣
＝1﹣
＝；
故答案为：；
（3） 方程变形得：1x﹣1x+1+1x+1-﹣1x+2+........1x+2022-1x+2023=1x+2023
整理得：1x﹣1x+2023＝1x+2023，
去分母得：x+2023﹣x＝x，
解得：x＝2023，
检验：当x＝2023时，最简公分母不为0，
∴分式方程的解为x＝2023．
【点评】此题考查了解分式方程，有理数的混合运算，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．

考点卡片
1．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
2．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
3．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：

3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
4．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
　　（1）找出公因式；
　　（2）提公因式并确定另一个因式：
　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
5．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
　　平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
　　完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
　2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
6．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
7．因式分解-分组分解法
1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．
例如：①ax+ay+bx+by
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy﹣x2+1﹣y2
＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1
＝1﹣（x﹣y）2
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）
8．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）

②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
9．分式的定义
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
10．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
11．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
12．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
13．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
14．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
15．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
16．分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
17．由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
18．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
19．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
20．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
21．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．　　②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
22．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
23．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
24．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
25．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
26．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
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