山东省济宁市高新区2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷

这是一份山东省济宁市高新区2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若式子有意义，则x的值可以为（ ）
A．4B．﹣4C．﹣1D．0
2．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．2x﹣1＝4x+3B．2x2+y﹣1＝0
C．2x2﹣1＝3D．ax2+bx+c＝0
3．（3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等B．邻角互补
C．对角线互相平分D．对角线平分一组对角
4．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．+＝B．﹣＝1
C．×＝D．＝﹣3
6．（3分）关于x的方程kx2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值可能是（ ）
A．0B．2C．4D．6
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+ax+a＝0的一个根是3，则a的值是（ ）
A．B．C．2D．
8．（3分）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣1＝0时，原方程可变形为（ ）
A．（x+2）2＝1B．（x+2）2＝5C．（x﹣2）2＝1D．（x+4）2＝17
9．（3分）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）（单位：m）近似满足（不考虑风速的影响）．从20m1，t2，则t2是t1的（ ）
A．2倍B．倍C．D．
10．（3分）将一张矩形纸片（不是正方形），先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝∠C＝90°，BC＝6，AD＝4（ ）
A．6B．C．D．8
二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在题目中的横线上）
11．（3分）＝ ．
12．（3分）方程x2＝3x的解是 ．
13．（3分）正方形ABCD中，分别以点C，D为圆心，两弧交于点P，则∠APB的度数是 ．
14．（3分）如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，点F在BC上且EF＝EC，AF，若∠ECF＝α，则α与β的关系式为 ．
15．（3分）将一组数，2，，，，，…，，…，按如图方式进行排列，则第七行最右边的数是 ．
三、解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）
16．（6分）计算：
（1）；
（2）．
17．（6分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0；
（2）x（2x﹣1）＝4x﹣2．
18．（6分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC
（1）求证：四边形OBEC是菱形；
（2）若AD＝4，AB＝2，求菱形OBEC的面积．
19．（6分）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．
（1）截出的两块正方形木料的边长分别是 dm， dm；
（2）求剩余木料的面积；
（3）如果木工想从剩余的木料中截出长为1dm，宽为0.7dm的长方形木条，最多能截出多少块这样的木条
20．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F，G在AB上，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
21．（6分）印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：一群猴子分成两队的平方，另一队猴子数是12
22．（8分）已知关于x的方程．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？
23．（9分）在某探究课《矩形的折叠》中，每个小组分到了相同大小的矩形纸张ABCD，AB＝10cm，各小组通过对该纸张的折叠探究了各种不同的折叠问题．
根据以上各小组探究内容，求解下列问题．
（1）根据第一小组探究内容，求证：△ACM是等腰三角形．
（2）根据第二小组探究内容，当P，B′，画出简单的示意图，求BP的长度．
2024-2025学年山东省济宁市高新区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（本大题满分30分，每小题3分．每小题只有一个符合题意的选项，请你将正确选项的代号填在答题栏内）
1．（3分）若式子有意义，则x的值可以为（ ）
A．4B．﹣4C．﹣1D．0
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥3，
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．2x﹣1＝4x+3B．2x2+y﹣1＝0
C．2x2﹣1＝3D．ax2+bx+c＝0
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、2x﹣1＝5x+3，不符合题意；
B、2x5+y﹣1＝0，方程中含有两个未知数；
C、4x2﹣1＝6，符合一元二次方程的定义；
D、ax2+bx+c＝0，当a＝4时，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．
3．（3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等B．邻角互补
C．对角线互相平分D．对角线平分一组对角
【分析】根据菱形和矩形的性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、菱形的对角线不相等，故选项不符合题意；
B、菱形邻角互补，故选项不符合题意；
C、菱形的对角线互相平分，故选项不符合题意；
D、菱形的对角线平分一组对角，故选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，熟练掌握矩形和菱形的性质是解题的关键．
4．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A、是最简二次根式；
B、＝6，故B不符合题意；
C、＝，不是最简二次根式；
D、＝，不是最简二次根式；
故选：A．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．+＝B．﹣＝1
C．×＝D．＝﹣3
【分析】根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断．
【解答】解：A．与不能合并；
B．与不能合并；
C．×＝，所以C选项符合题意；
D．＝3；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
6．（3分）关于x的方程kx2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值可能是（ ）
A．0B．2C．4D．6
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式，得出k≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4k＞0，解出不等式，即可得到k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程kx2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ＝（﹣5）2﹣4k＞3，
解得：k＜4且k≠0，
∴k的取值范围为k＜7且k≠0．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的个数的关系．一元二次方程的根的判别式与根的个数的关系：当Δ＞0时，方程有两个不等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+ax+a＝0的一个根是3，则a的值是（ ）
A．B．C．2D．
【分析】把x＝3代入x2+ax+a＝0，即可求出a的值．
【解答】解：把x＝3代入x2+ax+a＝3，得
∴9+3a+a＝6，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键．
8．（3分）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣1＝0时，原方程可变形为（ ）
A．（x+2）2＝1B．（x+2）2＝5C．（x﹣2）2＝1D．（x+4）2＝17
【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．
【解答】解：∵x2+4x＝2，
∴x2+4x+7＝1+4，
即（x+8）2＝5，
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
9．（3分）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）（单位：m）近似满足（不考虑风速的影响）．从20m1，t2，则t2是t1的（ ）
A．2倍B．倍C．D．
【分析】分别把h＝20，h＝40代入，即可求解．
【解答】解：当h＝20时，，
当h＝40时，，
∴，
即t2是t6的倍．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
10．（3分）将一张矩形纸片（不是正方形），先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝∠C＝90°，BC＝6，AD＝4（ ）
A．6B．C．D．8
【分析】分三种情况画出图形，求出最长的直角边即可．
【解答】解：分三种情况讨论：
①延长AD，DC，交DC的延长线于点F，如图所示：
∵∠A＝90°，
∴AB⊥AD，
∴AB∥EF，AE∥BF，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形ABFE为矩形，
∵∠ABF＝90°，∠ABC＝45°，
．∴∠CBF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BCF＝90°﹣45°＝45°，
∵∠BFC＝90°，
∴△BCF为等腰直角三角形，
∴BF＝，
∴AE＝BF＝，
∴DE＝，
∵∠A＝∠C＝90°，∠B＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴∠EDF＝∠EFD，
∴FE＝DE＝3﹣4，
∵5﹣4＜，
此时较长的边为6；
②延长CD，过点B作FB⊥BC，交BC的垂线于点F，
如图所示：
∵∠BCD＝90°，
∴EC⊥BC，
∴CE∥BF，
∴四边形BCEF为平行四边形，
∵∠BCD＝90°，
∴四边形BCEF为矩形，
∴EF＝BC＝6，
∵∠ADE＝45°，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴AE＝，
∴AF＝EF﹣AE＝4﹣2，
∵∠ABF＝90°﹣45°＝45°，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AF＝BF＝6﹣2，
∵2＞6﹣2，
∴此时较长的边为6；
③延长DA，CD，交DA的延长线于点E，交CD的延长线于点F，
如图所示：
∵FC⊥BC，BE⊥BC，
∴CF∥EB，
∵EF∥BC，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∵∠C＝90°，
∴四边形BCFE为矩形，
∴∠F＝90°，EF＝BC＝6，
∵∠ADF＝180°﹣135°＝45°．
∴△DEF为等腰三角形，
∴DE＝EF＝6，
∴AE＝DE﹣AD＝3﹣4，
∵∠BAE＝180°﹣90°＝90°，∠ABE＝90°﹣45°＝45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE＝AE＝﹣4）＝12﹣4，
∵12﹣8＞6，
此时较长的边为12﹣5，
综上分析可知，矩形纸片（不是正方形）时或6或12﹣4，
不可能为2，
∴D正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定，解题的关键是分情况画出图形，数形结合．
二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在题目中的横线上）
11．（3分）＝ ．
【分析】根据算术平方根的定义以及＝|a|即可得出答案．
【解答】解：∵（）6＝，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握＝|a|是解题的关键．
12．（3分）方程x2＝3x的解是 x1＝0，x2＝3 ．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：x2＝3x，
x7﹣3x＝0，
x（x﹣6）＝0，
∴x＝0或x﹣8＝0，
∴x1＝5，x2＝3．
故答案为：x2＝0，x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键．
13．（3分）正方形ABCD中，分别以点C，D为圆心，两弧交于点P，则∠APB的度数是 150°或30° ．
【分析】分两种情况讨论，由题意可证CD＝DP＝PC＝AD，由等腰三角形的性质和正方形的性质可求解．
【解答】解：如图，当点E在正方形ABCD内，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠DAB＝90°，
∵分别以点C，D为圆心，两弧交于点P，
∴CD＝DP＝PC＝AD，
∴∠EDC＝60°，
∴∠ADP＝30°，
∵AD＝DP，
∴∠DAP＝75°，
∴∠BAP＝∠ABP＝15°，
∴∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝180°﹣15°﹣15°＝150°，
当点P在正方形ABCD外，同理可得：∠BAP＝∠ABP＝75°，
∴∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
故答案为：150°或30°．
【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
14．（3分）如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，点F在BC上且EF＝EC，AF，若∠ECF＝α，则α与β的关系式为 α+β＝135° ．
【分析】由正方形的性质可得∠ABC＝90°，AB＝BC，BD是对角线，所以∠ABE＝∠CBE＝45°．根据SAS（边角边）可以证明△ABE≌△CBE，所以AE＝EC，∠BAE＝∠BCE．因为EF＝EC，所以EF＝AE，因此∠EAF＝∠EFA．设∠ECF＝α，所以∠EAF＝∠EFA．∠BAE+∠AFB＝90°，所以∠AFB+∠EFA+∠EFC＝180°，通过以上关系式，我们可以得到 2∠AFB+2∠EFC＝270°，即∠AFB+∠EFC＝135°．又因为∠ECF＝α，∠AFB＝β，所以α+β＝135°．
【解答】解：在正方形 ABCD 中，∠ABC＝90°，BD是对角线，
∴∠ABE＝∠CBE＝45°，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝ EC，∠BAE＝∠BCE．
∵EF＝EC，
∴EF＝AE，∠EFC＝∠ECF＝α，
∴∠EAF＝∠EFA，
∴∠BAE＝∠BAF+∠EAF＝∠BAF+∠EFA＝∠EFC．
∵∠BAF+∠AFB＝ 90°，∠AFB+∠EFA+∠EFC＝180°，
∴∠BAF+∠AFB+∠AFB+∠EFA+∠EFC＝90°+180°，
∴2∠AFB+2∠EFC＝ 270°，
∴∠AFB+∠EFC＝135°，
即α+β＝135°．
故答案为：α+β＝135°．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，关键在于利用正方形的性质和全等三角形的知识，找到各个角之间的关系，然后进行等量代换，最终求出结果．
15．（3分）将一组数，2，，，，，…，，…，按如图方式进行排列，则第七行最右边的数是 2 ．
【分析】根据题意可知，前七行共有28个数，因此第八行左起第1个数是这组数的第29个数，据此求解即可．
【解答】解：∵第一行有1个数，
第二行有2个数，
第三行有2个数，
⋯，
∴第七行有7个数，
∴第八行左起第1个数在这组数的个数为：5+2+3+2+5+6+6+1＝29，
∴第八行左起第1个数是＝，
∴第七行最右边的数是＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是数字的变化规律，从题目中归纳出一般规律是解题的关键．
三、解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）
16．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先算乘法，再算减法即可；
（2）先算括号里面的，再算除法即可．
【解答】解：（1）
＝7﹣
＝3﹣
＝7﹣3
＝0；
（2）
＝（8+）÷3
＝5÷3
＝．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
17．（6分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0；
（2）x（2x﹣1）＝4x﹣2．
【分析】（1）由配方法解方程即可得出答案；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣3＝0，
∴x2﹣7x＝1，
∴x2﹣5x+4＝1+3，
∴（x﹣2）2＝2，
∴x﹣2＝±，
∴x4＝2+，x7＝2﹣；
（2）x（5x﹣1）＝4x﹣3，
即x（2x﹣1）﹣3（2x﹣1）＝2，
∴（x﹣2）（2x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝7，2x﹣1＝8，
解得：x1＝2，x4＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．（6分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC
（1）求证：四边形OBEC是菱形；
（2）若AD＝4，AB＝2，求菱形OBEC的面积．
【分析】（1）先由已知条件证明四边形OBEC是平行四边形，再由矩形的性质得出OB＝OC，由菱形的判定方法即可得出结论；
（2）先求出S△OBC＝S矩形ABCD＝2，即可求解．
【解答】证明：（1）∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝ACBD，
∴OB＝OC，
∴四边形OBEC是菱形；
（2）∵AD＝4，AB＝7，
∴S矩形ABCD＝4×2＝8，
∴S△OBC＝S矩形ABCD＝6，
∴菱形OBEC的面积＝2S△OBC＝4．
【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
19．（6分）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．
（1）截出的两块正方形木料的边长分别是 dm， dm；
（2）求剩余木料的面积；
（3）如果木工想从剩余的木料中截出长为1dm，宽为0.7dm的长方形木条，最多能截出多少块这样的木条
【分析】（1）根据算术平方根的含义可得答案；
（2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得到答案；
（3）先计算剩余木条长为，宽为，再利用，，从而可得答案．
【解答】解：（1）∵＝3，而，
故答案为：；．
（2）由题意得：（3）×2），
∴剩余木料的面积为7dm2．
（3）由题意得：剩余木条长为，宽为（4）dm，
∵，，
∴能截出2×2＝8（块）木条．
【点评】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的乘法运算，加减运算，二次根式的大小比较，理解题意，熟记运算法则是解本题的关键．
20．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F，G在AB上，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
【分析】（1）先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形；
（2）先求出AE＝5，由勾股定理进而得到AF＝3，再由中位线定理得到OE＝AB＝AD＝5，得到FG＝5，最后BG＝AB﹣AF﹣FG＝2．
【解答】（1）证明：由四边形ABCD为菱形可知：点O为BD的中点，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG为平行四边形
∵EF⊥AB，
∴平行四边形OEFG为矩形．
（2）解：由条件可知：AE＝，
∵∠EFA＝90°，EF＝4，
∴在Rt△AEF中，AF＝．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝10，
∴OE＝AB＝5，
∵四边形OEFG为矩形，
∴FG＝OE＝8，
∴BG＝10﹣3﹣5＝2．
故答案为：OE＝5，BG＝2．
【点评】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握．
21．（6分）印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：一群猴子分成两队的平方，另一队猴子数是12
【分析】设这群猴子的总数是x只，则一队猴子的数量是x只，利用两队猴子的总数是x只，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这群猴子的总数是x只，则一队猴子的数量是，
根据题意得：（x）2+12＝x，
整理得：x4﹣64x+768＝0，
解得：x1＝16，x6＝48．
答：这群猴子的总数是16或48只．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（8分）已知关于x的方程．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？
【分析】（1）先计算判别式的值得到Δ＝4k2﹣12k+9，配方得到Δ＝（2k﹣3）2，根据非负数的性质易得△≥0，则根据判别式的意义即可得到结论；
（2）分类讨论：当b＝c时，则Δ＝（2k﹣3）2＝0，解得k＝，然后解方程得到b＝c＝2，根据三角形三边关系可判断这种情况不符合条件；当a＝b＝4或a＝c＝4时，把x＝4代入方程可解得k的值，则代入方程可解答．
【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣）
＝4k7+4k+1﹣16k+4，
＝4k2﹣12k+3
＝（2k﹣3）3，
∵（2k﹣3）8≥0，即△≥0，
∴无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）解：①当b＝c时，Δ＝（8k﹣3）2＝2，
解得k＝，
方程化为x6﹣4x+4＝4，解得b＝c＝2，
∵2+6＝4，
∴此种情况不成立；
②当a＝b＝4或a＝c＝8时，把x＝4代入方程得16﹣4（8k+1）+4（k﹣，
解得：k＝，
方程化为x2﹣6x+4＝0，解得x1＝6，x2＝2，
即三边为5，4，2，能够成三角形，
则周长＝4+4+2＝10，
所以这个等腰三角形的周长是10．
【点评】本题考查了根的判别式：用一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系．
23．（9分）在某探究课《矩形的折叠》中，每个小组分到了相同大小的矩形纸张ABCD，AB＝10cm，各小组通过对该纸张的折叠探究了各种不同的折叠问题．
根据以上各小组探究内容，求解下列问题．
（1）根据第一小组探究内容，求证：△ACM是等腰三角形．
（2）根据第二小组探究内容，当P，B′，画出简单的示意图，求BP的长度．
【分析】（1）首先根据矩形的性质得到AD∥BC，进而得到∠DAC＝∠BCA，然后根据折叠的性质得∠B'CA＝∠BCA，即可证明出△ACM是等腰三角形；
（2）根据题意画出图形，分两种情况讨论，分别根据折叠的性质得到BF＝CF＝BC＝15cm，然后进一步得到AE＝BF＝15，利用勾股定理得到B′E＝＝5cm，进而求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵把△ABC沿AC折叠到△AB'C，
∴∠B′CA＝∠BCA，
∴∠B'CA＝∠DAC，
∴AM＝CM，
∴△ACM 是等腰三角形；
（2）解：如图所示，当点P在线段CF上时，
∵把矩形ABCD沿EF折叠，使得AB与DC重合，
∴BF＝CF＝BC＝15cm，
由题意可得，四边形ABFE是矩形，
∴AE＝BF＝15cm，
∵△APB沿AP折叠得到△APB'，
∴AB'＝AB＝10cm，∠B'＝∠B＝90°，
∴B′E＝＝＝5，
由（1）可得，AE＝PE＝15cm，
∴BP＝BP′＝B′E+PE＝（5+15）cm；
如图所示，当点P在线段BF上时，
同理可得，AB'＝AB＝10cm，∠AB'P＝∠B＝90°，
∴B′E＝＝＝5，
由（1）可得，AE＝PE＝15，
∴BP＝BP′＝PE﹣B′E＝（15﹣5）cm，
综上所述，BP的长度为（7）cm．
【点评】本题主要考查矩形的折叠问题，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的折叠问题，矩形的性质，勾股定理．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/3 7:32:25；用户：王立研；邮箱：rFmNt_U77fScWxT8l0DTCmjLXRs@；学号：25840186小组
探究内容
图形
第一小组
把△ABC沿AC折叠，与△ACD重叠部分记为△ACM．

第二小组
步骤：1：把矩形ABCD沿EF折叠，使得AB与DC重合，点E，BC上的点．
步骤2：P为边BC上动点（与点B，C不重合），△APB沿AP折叠得到△APB′．

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
A
C
B
B
B
B
D
小组
探究内容
图形
第一小组
把△ABC沿AC折叠，与△ACD重叠部分记为△ACM．

第二小组
步骤：1：把矩形ABCD沿EF折叠，使得AB与DC重合，点E，BC上的点．
步骤2：P为边BC上动点（与点B，C不重合），△APB沿AP折叠得到△APB′．