初中数学人教版七年级上册1.3.2 有理数的减法优质第2课时教案设计

1.3.2 有理数的减法（第2课时） 教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第一章“有理数”1.3有理数的加减法第4课时，内容包括有理数加减混合运算.

2.内容解析

本节课教材主要内容本质是上一课时有理数减法法则的应用，一是将有理数加减法混合运算中的减法运算统一转化为加法运算，进而运用有理数加法法则与运算律进行计算，其间体现了转化化归的思想；二是利用“归纳”指出，可以省略有理数加减法混合运算式子中的加号与括号，直接写成“＋”、“－”号与数字连接的形式，“＋”、“－”既可以理解为正、负号，也可以理解为运算符号，其间体现了有理数加减法的统一性，省略加号代数和的简捷性；三是给出的“探究”栏目，提出了利用有理数减法计算数轴上两点之间的距离问题.让学生结合数轴，并通过数字验证的形式探究发现，若数轴上点A、B对应的有理数分别为a、b，那么A，B两点之间的距离就是|a－b|.其间既体现了由特殊到一般的思想，也体现了数形结合的思想.

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：有理数的加减混合运算.

二、目标和目标解析

1.目标

（1）理解有理数加减法混合运算统一转化为有理数加法运算的依据——有理数减法法则.

（2）能够迅速、准确地进行有理数的加减混合运算.

（3）理解有理数减法运算可以表示数轴上两点之间距离，体会数形结合思想的应用.

2.目标解析

（1）依据有理数减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数），可以将有理数减法改写为加法，因此，有理数的加减混合运算可以统一改写为有理数加法.在有理数加减法相互转化的过程中，有理数之间的符号既可以看成是数的正、负号，也可以看作加减运算符号，因此在书写有理数加减混合运算算式时，可以省略括号与加号，从而使书写简便.

（2）有理数加减混合运算统一改写为有理数加法运算后，可以利用有理数加法法则及其运算律进行运算，从而可以简便、快捷地进行计算.

（3）借助数轴和特殊数字验证得知，数轴上两点之间的距离，等于右边的点表示的数减去左边的点表示的数的差，是数轴上表示这两个点对应的有理数的减法运算结果，其中体现了由特殊到一般的思想和数形结合思想.

三、教学问题诊断分析

对于有理数的加减混合运算，学生依据小学学习过的加减混合运算经验，可以按照从左到右的顺序去进行计算，在这一过程中本身也需要将减法统一成加法，但学生未必能感受这这转化的数学思想方法，未必能有将其先统一成加法然后再进行运算的意识.同时凭借学生以往的运算经验，不容易注意两种运算方法的对比，及在运算过程中应用加法运算律.

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能把加、减法正确地统一成加法运算，并用加法运算律合理地进行运算.

四、教学过程设计

（一）创设情境，引入新课

一架飞机作特技表演，起飞后的高度变化如下表：

此时，飞机比起飞点高了多少千米?

解法1：

4.5＋（－3.2）＋1.1＋（－1.4）

＝1.3＋1.1＋（－1.4）

＝1（千米）

解法2：

4.5－3.2＋1.1－1.4

＝1.3＋1.1－1.4

＝1（千米）

师生活动：学生快速组内思考思路回答.教师根据学生回答的情况给出两种解法，比较4.5＋（－3.2）＋1.1＋（－1.4）和4.5－3.2＋1.1－1.4，同时指出：我们实际问题中有时还要涉及有理数的加减混合运算，进而引入新知.

教师板书：4.5＋（－3.2）＋1.1＋（－1.4）＝4.5－3.2＋1.1－1.4，省略了加号和括号

把4.5－3.2＋1.1－1.4看作为4.5，－3.2，1.1，－1.4的和，也叫“代数和”.

【设计意图】通过生活中的现象和问题引入有理数的混合运算，引起学生的学习热情.

（二）典例分析

例1：计算 （－20）＋（＋3）－（－5）－（＋7）.

解：（－20）＋（＋3）－（－5）－（＋7）

＝（－20）＋（＋3）＋（＋5）＋（－7）

＝［（－20）＋（－7）］＋［（＋5）＋（＋3）］

＝（－27）＋（＋8）

＝－19.

针对训练：把下列算式改写为省略括号和加号的形式：

（1）(－40)－(＋27)＋19－24－(－32)；

（2）(－9)－(－2)＋(－3)－4.

师生活动：学生自主完成.学生可以按照从左到右的顺序去进行计算，在这一过程中本身也需要将减法统一成加法，可以先让学生感受这一方法.随后教师提出新问题，可否将其先统一成加法然后再进行运算？学生谈论后回答.

让学生尝试新的思路，然后与刚才的方法相比较.教师进一步提出问题：在刚才的过程中你是否注意到了加法运算律的应用？鼓励学生自己比较计算两种计算方法，方法二由于采用运算律变得简单，而使用运算律的前提是把加减混合运算统一成加法运算，这里也让学生体会把加减混合运算统一成加法运算的意义.

让学生再重新尝试做一做，之后师生共同归纳方法：引入相反数后，有理数的加减混合运算可以统一为加法运算：a＋b－c＝a＋b＋（－c）.

进一步挖掘：（－20）＋（＋3）＋（＋5）＋（－7）是－20，3，5，－7这四个数的和.

为书写简单，省略算式中的括号和加号写为－20＋3＋5－7.                        

我们可以读作负20、正3、正5、负7的和，或读作负20加3加5减7.

师生活动：注意让学生理解这两种读法，并让学生体会两种读法的区别．尤其是第一种，学生可能不习惯，但在后面学习到多项式的知识的时候还会涉及类似的问题.

【设计意图】一方面让学生体会混合运算中运算顺序确定的重要性，另一方面，先让学生按从左到右的顺序来计算，也是为了与接下去的加减混合运算统一成加法运算再利用运算律进行简便计算作出比较.通过教师的讲解和学生的练习，使学生掌握统一成加法以后的省略括号的书写形式及读法，感受数学的转化思想.

例2：计算：（－2）＋（＋30）－（－15）－（＋27）

方法一：减法变加法

解：原式＝(－2)＋(＋30)＋(＋15)＋(－27)（减法转化成加法）

＝[(－2)＋(－27)]＋[(＋30)＋(＋15)] （按有理数加法法则计算）

＝(－29)＋(＋45)

＝16.

方法二：去括号法

解：原式＝－2＋30＋15－27（省略括号）

＝－2－27＋30＋15（运用加法交换律使同号两数分别相加）

＝－2＋(－27)＋45

＝－29＋45（按有理数加法法则计算）

＝－ (29－45)

＝16.

师生活动：师生共同完成例1.教师板书例2，给学生一个规范的解题过程和完整的思路分析，这一过程要注重与前面学过的知识的结合，将加减法统一成加法，然后还要考虑运算律的应用.同时提醒学生运算的每一步要有依据.

师生共同归纳：有理数加减混合运算的步骤：

1. 将减法转化为加法运算；

2. 省略加号和括号；

3. 运用加法交换律和结合律，将同号两数相加；

4. 按有理数加法法则计算．

【设计意图】通过观察、比价、分析、归纳，使学生感受数学中的转化思想，探索归纳有理数的加减混合运算的思路.

（三）针对训练

计算：（1）（－72）－（－37）－（－22）－17；

（2）（－16）－（－12）－24－（－18）；

（3）23－（－76）－36－（－105）；

（4）（－32）－（－27）－（－72）－87.

答案：（1）－30；（2）－10；（3）168；（4）－20.

师生活动：学生思考，自主完成，师生共同纠错.

【设计意图】通过练习使学生掌握统一成加法后的省略括号的书写形式及读法，巩固和加深对这一内容的理解.

（四）探究归纳

问题：在数轴上，点A、B分别表示数a，b ，利用有理数减法法则探究：点A、B之间的距离与a，b的关系.

师生活动：教师引导学生用数来刻画直线上两点之间的距离.由于学生目前没有这样的认识基础，作出“设点A、B在数轴上分别表示数a，b，则点A，B之间的距离|AB|＝|a－b|”这样的一般概括有困难，因此只要求学生利用数轴，通过观察几组数的情况后，知道用较大的数减去较小的数，得到的差就是这两点的距离即可，不要求学生记住这个结论，更不需进行拓展.

【设计意图】提出了利用有理数的减法计算数轴上两点之间的距离问题，让学生进一步体会数形结合的数学思想．

（五）当堂巩固

1. 下列交换加数的位置的变形中，正确的是（   D  ）

A. 1－4＋5－4＝1－4＋4－5

    B.

    C. 1－2＋3－4＝2－1＋4－3

    D. 4.5－1.7－2.5＋1＝4.5－2.5＋1－1.7

2. 计算：

（1）；                 （2）27－18＋（－7）－32；

（3）；       （4）33.1－（－22.9）＋（－10.5）；

（5）. 

答案：（1）；（2）－30；（3）；（4）45.5；（5）.

3. 计算：

（1）－11－9－7＋6－8＋10；

（2）－5.75－（－3）＋（－5）－3.125；

（3）.

答案：（1）－19；（2）－10.875；（3）.

4. 某公路养护小组乘车沿南北方向公路巡视维护，某天从A地出发，约定向南行驶为正，到收工时的行驶记录如下：（单位：千米）

8，－5，7，－4，－6，13，4，12，－11

（1）问收工时，养护小组在A地的哪一边？距离A地多远？
（2）若汽车行驶毎千米耗油0.5升，求从A出发到收工共耗油多少升？

答案：（1）养护小组在A地的南边，距离A地18千米；

（2）从A出发到收工共耗油35升.

【设计意图】巩固所学知识，加深对加减混合运算的方法的理解与掌握.

（六）能力提升

1. 若a＝－2，b＝3，c＝－4 ，则a－(b－c)的值为            .

2. －4，－5，＋7这三个数的和比这三个数的绝对值的和小_____.

3. 计算1－2＋3－4＋5＋ …＋99－100＝________.

4. 计算：

（1）；

（2）.

5. 一辆货车从超市出发，先向东走了3千米到达小彬家，继续走了1.5千米到达小颖家，然后向西走了9.5千米到达小明家，最后回到超市.

（1）以超市为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，你能在数轴上表示出小明家、小彬家和小颖家的位置吗？

（2）小明家距小彬家多远？

（3）货车一共行驶了多少千米？

答案：1.－9；2.18；3.－50；

4. 解：（1）原式＝－1＋1＝0；

（2）原式＝0＋0＝0；

5. 解：（1） ；

（2）3－(－5)＝3＋5＝8（千米）；或|3－(－5)|=8（千米）；

（3）|3|＋|1.5|＋|－9.5|＋|5|=3＋1.5＋9.5＋5=19（千米）.

【设计意图】加深对加减混合运算的方法的理解与掌握，进一步培养学生的运算能力.

（七）感受中考

（2021•河北5/26）能与－（）相加得0的是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：－（）＝，与其相加得0的是的相反数．

的相反数为，

故选：C．

【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考考什么，进一步了解考点.

（八）课堂小结

1. 本节课学习的主要内容有哪些？这些内容中体现了哪些数学思想方法？

2. 解答有理数加减混合运算需要注意的事项有哪些？其基本的运算步骤是什么？

有理数加减法混合运算的步骤为：

方法一：减法转化成加法

1. 减法变加法：a＋b－c＝a＋b＋(－c)；

2. 运用加法交换律使同号两数分别相加；

3. 按有理数加法法则计算.

方法二：省略括号法

1. 省略括号；

2. 同号放一起；

3. 进行加减运算.

师生活动：学生思考、归纳、交流.教师补充归纳.

【设计意图】让学生自己对本节课所学知识进行梳理，巩固所学知识，加深对加减混合运算方法的理解与掌握．

（九）布置作业

P24：习题1.3：第2题；

P25：习题1.3：第5题；

P26：习题1.3：第8、9、10、13题.

五、教学反思

对于有理数加减混合运算统一为加法运算是这样突破的：1.根据有理数减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）可知，有理数的减法可以改写为加法，即a＋b－c＝a＋b＋（－c），既可以按左式理解为a加b减c，也可以按右式理解为a，b，－c的和（代数和），因此“＋”、“－”既可以理解为加号与减号(左式，运算符号)，也可以理解为正号与负号（右式）.需要注意的是，a，b，c都是有理数，都含有自身的符号. 2.由于“＋”、“－”既可以理解为加、减号（运算符号），也可以理解为正、负号（性质符号），所以，通常情况下，可以将有理数加减法混合运算中的加号和括号省略，直接写成“＋”、“－”号与数字连接的形式，从而使书写算式更简捷，便于直接运用加法的运算律.

对于有理数加减混合运算基本方法是这样突破的：1.有理数加减混合运算的一般步骤是：①把减法统一改写为加法；②写成省略加号和括号的形式；③运用运算律进行简便运算. 2.在进行有理数加减混合运算时，通常需要灵活运用如下一些基本方法：①正负数归类法；②凑整法；③同分母分数结合法；④相反数结合法等.

对于数轴上两点之间的距离是这样突破的：设点A、B在数轴上分别表示数a，b，则点A，B之间的距离|AB|＝|a－b|.分以下几种情况：（1）若点A、B有一个点在原点，不妨设点A在原点，如图（1）所示，则|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b|；（2）若点A、B都不在原点，①设点A、B都在原点右侧，如图（2）所示，则|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；②设点A、B都在原点左侧，如图（3）所示，则|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b―（―a）＝|a－b|；③设点A、B在原点两边，如图（4）所示，则|AB|＝|OB|＋|OA|＝|b|＋|a|＝－b＋a＝|a－b|；综合可得，数轴上A，B两点之间的距离为|AB|＝|a－b|.